Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

(1)

Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 26 juin 2020

(2)

Conversion de puissance mécanique en puissance électrique Conversion de puissance électrique en puissance mécanique

Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 26 juin 2020

sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 2/42

(3)

I en présence de #»

Bstationnaire:

I un courantipermet de développer une force (Laplace) : création d’un moteur électrique

I un mouvement du conducteur permet de générer une tension (Faraday) : création d’ungénérateur électrique

I ces phénomènes permettent laconversiond’énergie entre les formes électrique et mécanique

(4)

Bstationnaire:

(5)

Bstationnaire:

(6)

Bstationnaire:

(7)

Bstationnaire:

(8)

on va étudier

I le fonctionnementgénérateur:

I pour un rail de Laplace ; pour dégager les concepts et notions importantes

I pour une spire en rotation ; pour modéliser les alternateurs industriels

I le fonctionnementmoteur:

I le rail de Laplace peut aussi (surtout) être utilisé enmoteur, on étudiera enexercicece mode de fonctionnement

I on traitera le cas particulierd’oscillations en translationdu rail de Laplace pour modéliser un haut-parleur (facile à traiter)

I on présentera quelques caractéristiques des moteurs industriels, en rotation

(9)

on va étudier

I pour une spire en rotation ; pour modéliser les alternateurs industriels I le fonctionnementmoteur:

(10)

on va étudier

(11)

on va étudier

I pour une spire en rotation ; pour modéliser les alternateurs industriels

I le fonctionnementmoteur:

(12)

on va étudier

(13)

on va étudier

(14)

on va étudier

(15)

on va étudier

(16)

Auto-induction

I on aura des courants variables dans un circuit électrique

I comme en électrocinétique, il apparaîtra une fem d’auto-induction eautodue au champ magnétique créé par le courantvariabledans le circuit lui-même

I on l’a vue au chapitre précédent, on la caractérise par l’auto-inductanceL

I Enconvention récepteure_auto=Ldi

dt, qu’on rajoute dans le circuit équivalent

(17)

Auto-induction

(18)

Auto-induction

(19)

Auto-induction

(20)

Rail de Laplace Spire rectangulaire en rotation Freinage par induction

1. Conversion de puissance mécanique en puissance électrique 2. Conversion de puissance électrique en puissance mécanique

(21)

1. Conversion de puissance mécanique en puissance électrique 1.1 Rail de Laplace

1.2 Spire rectangulaire en rotation 1.3 Freinage par induction

2. Conversion de puissance électrique en puissance mécanique

(22)

Point de vue mécanique

I courantstationnairedans un circuitdéformableinitialement au repos, dans # »

B0stationnaire

I la force de Laplace # »

F_Lapropulse la barre mobile

I loi de l’énergie cinétique∆E_c=W: la barre reçoit untravail mécanique

I la puissance de la force de Laplace est (en négligeant le champ magnétique dû au courant induit)

P(# »

FLa) =i`B0v

(23)

Point de vue mécanique

B0stationnaire I la force de Laplace # »

FLapropulse la barre mobile

P(# »

FLa) =i`B0v

(24)

Point de vue mécanique

P(# »

FLa) =i`B0v

(25)

Point de vue mécanique

P(# »

FLa) =i`B0v

(26)

Point de vue mécanique

P(# »

FLa) =i`B0v

(27)

Point de vue mécanique

P(# »

FLa) =i`B0v

(28)

Point de vue électrique

qui fournit ce travail ?

I translation d’un conducteur dans # »

B0stationnaire

I il apparaît une fem d’induction e=−dΦ

dt =−B0`v, (en négligeant l’auto-induction)

I le circuitreçoitla puissance :

P_élec=−ei=B0`vi=P(# » FLa)

(29)

Point de vue électrique

B0stationnaire I il apparaît une fem d’induction

e=−dΦ

(30)

Point de vue électrique

B0stationnaire I il apparaît une fem d’induction

e=−dΦ

(31)

Généralisation

on admet la généralisation de ces observations

(32)

Généralisation

Couplage électromécanique

La force de Laplace et les phénomènes d’induction permettent la conversiond’énergie entre les formesmécaniqueetélectrique. Lors du déplacement d’un conducteur dans un champ magnétiquestationnaire, La somme de la puissance de la force de Laplace et de la puissance fournie par la force électromotrice d’inductionest nulle :

P(# »

FLa) +eindi= 0 Le fonctionnement du dispositif sera :

moteur pourP(# »

FLa)>0, soiteindi<0, générateur poureindi>0, soitP(# »

FLa)<0.

(33)

Généralisation

Couplage électromécanique

La force de Laplace et les phénomènes d’induction permettent la conversiond’énergie entre les formesmécaniqueetélectrique. Lors du déplacement d’un conducteur dans un champ magnétiquestationnaire, La somme de la puissance de la force de Laplace et de la puissance fournie par la force électromotrice d’inductionest nulle :

P(# »

FLa) +eindi= 0 Le fonctionnement du dispositif sera :

moteur pourP(# »

F_La)>0, soiteindi<0, générateur poureindi>0, soitP(# »

F_La)<0.

Aeindne contient par l’éventuelle force électromotrice d’auto-induction, e_autoqui ne traduit pas un couplage électro-mécanique

(34)

Généralisation

cette somme représente en fait la puissance totale de la force de Lorentz magnétique,# »

FL(#»

B), dont on sait qu’elle est nulle

I # »

FLaest la composante de # » FL(#»

B)due à la vitesse des électrons par rapport au conducteur : #»v

I la fem d’induction est la manifestation de # » FL(#»

B)due à la vitesse d’entraînement des électrons par le conducteur : #»

V

(35)

Généralisation

FL(#»

B), dont on sait qu’elle est nulle I # »

FLaest la composante de# » FL(#»

V

(36)

Généralisation

FL(#»

B), dont on sait qu’elle est nulle I # »

FLaest la composante de# » FL(#»

V

(37)

Équations couplées : cas général

on a un couplage entre le mouvement de la barre et le comportement électrique

I barre (massem) soumise à# »

FLaet à une autre force extérieure# » Fext

somme vectorielle de celle d’un opérateur et d’éventuels frottements I circuit de résistance totaleR, d’auto-inductanceL, avec une source

idéale de tension, de femE

I on noteeindla force électromotriced’inductionqui ne dépend que de B0et pas du champ propre

eind=−B0ldx dt

(38)

Équations couplées : cas général

équation mécanique loi de la quantité de mouvement

md²x

dt² =FLa+Fext=i`B0+Fext

équation électrique loi des mailles E=Ri+dLi

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt

(39)

Équations couplées : cas général

md²x

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt

(40)

Équations couplées : cas général

md²x

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt

(41)

Équations couplées : cas général

équation mécanique loi de la quantité de mouvement md²x

équation électrique loi des mailles

E=Ri+dLi

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt

(42)

Équations couplées : cas général

E=Ri+dLi

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt

(43)

Équations couplées : cas général

dt² =F_La+Fext=i`B0+Fext

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt

I on a considéré le champ # »

B0uniforme sur tout le conducteur I les coefficientsLetRvarieront au cours du mouvement pour cette

configuration

I on anégligéle champ magnétique induit devantB0pour la force de Laplace, ce ne sera pas le cas dans uncanon électrique

(44)

Équations couplées : cas général

dt −eind=Ri+dLi

dt +B0`dx dt I on a considéré le champ # »

B0uniforme sur tout le conducteur

I les coefficientsLetRvarieront au cours du mouvement pour cette configuration

(45)

Équations couplées : cas général

dt −eind=Ri+dLi

configuration

(46)

Équations couplées : cas général

dt −eind=Ri+dLi

configuration

(47)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

Fextest motrice,E= 0

I on négligeLpour un rail de Laplace

I Rreprésente la charge qu’on souhaite alimenter I idéterminée par l’équation électrique :

i=−B0` R

dx dt due au mouvementimposéà la barre I pour assureri=cste, il faut compenser# »

F_Laen exerçant :

# »

Fext=−# » FLa=B²0`²

R dx dt

e#»x

I ici, connaître # »

Fextpermet de résoudre le système différentiel pour obtenirx(t)eti(t)

(48)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

F_Laen exerçant :

# »

R dx dt

e#»x

(49)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

F_Laen exerçant :

# »

R dx dt

e#»x

(50)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

I Rreprésente la charge qu’on souhaite alimenter

I idéterminée par l’équation électrique :

i=−B0` R

F_Laen exerçant :

# »

R dx dt

e#»x

(51)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

dx dt due au mouvementimposéà la barre

I pour assureri=cste, il faut compenser# »

F_Laen exerçant :

# »

R dx dt

e#»x

(52)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

dx dt due au mouvementimposéà la barre

I pour assureri=cste, il faut compenser# »

F_Laen exerçant :

# »

R dx dt

e#»x

(53)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

FLaen exerçant :

# »

R dx

dt e#»x

(54)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

FLaen exerçant :

# »

R dx

dt e#»x

(55)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I # »

i=−B0` R

FLaen exerçant :

# »

R dx

dt e#»x

(56)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I pour une barre

|eind|=B0`v I pour un cadre deNspires

dont seul un côté ressent# » B0

|eind|=NB0`v

(57)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I pour une barre

|eind|=B0`v

I pour un cadre deNspires dont seul un côté ressent# » B0

|eind|=NB0`v

(58)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I pour une barre

|eind|=NB0`v

(59)

Cas particulier du fonctionnement générateur

I pour une barre

|eind|=NB0`v

I pour`'10 cm,B0'10 mT,v'5 cm·s⁻¹, on calcule :

|eind|=0,12 V

I on vérifie la proportionnalité avec le nombre de tours

(60)

Bilan énergétique

couplage électromécanique

P(# »

F_La) =−P_ind=−B²₀`²x˙² R électrique on multiplie la loi des mailles pari

P_Joule=P_ind

mécanique on multiplie la loi de la quantité de mouvement parx˙ dEc

dt =P(# »

FLa) +P(# »

Fext) =−P_Joule+P(# » Fext)

(61)

Bilan énergétique

P(# »

P_Joule=P_ind

dt =P(# »

FLa) +P(# »

(62)

Bilan énergétique

P(# »

P_Joule=P_ind

dt =P(# »

FLa) +P(# »

(63)

Bilan énergétique

P(# »

P_Joule=P_ind

mécanique on multiplie la loi de la quantité de mouvement parx˙

dEc

dt =P(# »

FLa) +P(# »

(64)

Bilan énergétique

P(# »

FLa) =−P_ind=−B²₀`²x˙² R électrique on multiplie la loi des mailles pari

P_Joule=P_ind

mécanique on multiplie la loi de la quantité de mouvement parx˙ dE_c

dt =P(# »

FLa) +P(# »

I en régime stationnaire,i=cste,x˙ =csteet la puissanceP(# » Fext)>0 est entièrement dissipée dans la chargeR

I einda un comportementgénérateuret# »

FLaest résistive I P_Joulecroît commex˙²

(65)

Bilan énergétique

P(# »

P_Joule=P_ind

dt =P(# »

FLa) +P(# »

Fext) =−P_Joule+P(# » Fext) I en régime stationnaire,i=cste,x˙=csteet la puissanceP(# »

Fext)>0 est entièrement dissipée dans la chargeR

FLaest résistive I P_Joulecroît commex˙²

(66)

Bilan énergétique

P(# »

P_Joule=P_ind

dt =P(# »

FLa) +P(# »

Fext) =−P_Joule+P(# » Fext) I en régime stationnaire,i=cste,x˙=csteet la puissanceP(# »

Fext)>0 est entièrement dissipée dans la chargeR

FLaest résistive

I P_Joulecroît commex˙²

(67)

Bilan énergétique

I en régime stationnaire,i=cste,x˙=csteet la puissanceP(# » Fext)>0 est entièrement dissipée dans la chargeR

F_Laest résistive I P_Joulecroît commex˙²

(68)

1. Conversion de puissance mécanique en puissance électrique 1.1 Rail de Laplace

1.2 Spire rectangulaire en rotation 1.3 Freinage par induction

2. Conversion de puissance électrique en puissance mécanique

(69)

I le fonctionnement du rail est limité par sa longueur I on utilise donc un dispositif en rotation pour obtenir un

fonctionnement permanent

(70)

I une bobine deNspires de surfaceSen rotation dans le champ magnétiquestationnaire# »

B0d’une paire de bobines de Helmholtz I le flux de# »

B0à travers la bobine dépend de l’angleθ Φ =NB0Scos(θ)

I il y a induction d’une force électromotrice dans la bobine en rotation I l’auto-induction n’est plus négligeable a priori : le flux du champ

propre estLi, indépendant deθ

(71)

I une bobine deNspires de surfaceSen rotation dans le champ magnétiquestationnaire# »

B0d’une paire de bobines de Helmholtz I le flux de# »

B0à travers la bobine dépend de l’angleθ Φ =NB0Scos(θ)

I il y a induction d’une force électromotrice dans la bobine en rotation I l’auto-induction n’est plus négligeable a priori : le flux du champ

propre estLi, indépendant deθ

on utilise ici des contacts glissants pour se brancher aux bornes de la bobine en rotation

(72)

Équations couplées

I la bobine est branchée sur une chargeR

I son moment d’inertie par rapport à∆estJ, on noteM/∆(ext)le moment résultant extérieur (opérateur et frottements)

I le moment résultant de la force de Laplace est :

M/∆(La) =−NSiB0sin(θ)

(73)

Équations couplées

(74)

Équations couplées

(75)

Équations couplées

(76)

Équations couplées

(77)

Équations couplées

I son moment d’inertie par rapport à∆estJ, on noteM_/∆(ext)le moment résultant extérieur (opérateur et frottements)

I le moment résultant de la force de Laplace est : M_/∆(La) =−NSiB0sin(θ)

Ri=eind+eauto=NB0Ssin(θ) ˙θ−Ldi dt

aveceindla fem d’inductioneteautola fem d’auto-induction (en conventiongénérateur)

équation mécanique théorème du moment cinétique Jd²θ

dt² =M_/∆(La)+M/∆(ext) =−NSiB0sin(θ)+M/∆(ext)

(78)

Équations couplées

(79)