Master 2 EADM 2012-2013 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 12 Th` eme : ´ Equations diff´ erentielles
L’exercice propos´e au candidat M´ethode de Runge-Kutta d’ordre 2
Nous allons int´egrer num´eriquement l’´equation diff´erentielle suivante : y0= f (x, y).
1. Pour f (x, y) = y, donner la solution de cette ´equation en fonction de la condition initiale y(x0) = y0.
2. Dans un logiciel de g´eom´etrie dynamique muni d’un tableur, placer un point libre dans le plan, ses coordonn´ees dans les premi`eres lignes du tableur et d´efinir un petit r´eel h. Puis impl´ementer la m´ethode d’Euler sous forme de deux suites xn = x0+ n h et yn+1 = yn+ h × f (xn, yn).
On tracera les segments correspondants entre les points (xn, yn) pour une centaine de points.
3. La m´ethode du point milieu correspond `a la suite yn+1 = yn + h × f (xn+h2, yn+h2f (xn, yn)). Impl´ementer et visualiser cette m´ethode dans d’autres colonnes du tableur. Comparer visuellement la m´ethode d’Euler et la m´ethode du point milieu.
4. Dans le cas de f (x, y) = y, comparer les deux m´ethodes `a la solution exacte.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 4.
Comme pour l’exponentielle, la m´ethode d’Euler ne tourne pas as- sez et la m´ethode du point milieu donne la bonne solution. On voit que la diff´erence peut ˆetre grande apr`es peu de temps.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exer- cice.
2. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des ´equations diff´erentielles.
