Exercices : s´ eance 1: Unit´ es et analyse dimensionnelle
Exercices ´el´ementaires :
- Exercice 1: Exprimer dans les unit´es fondamentales du Syst`eme International (m,kg,s,. . .) les unit´es d´eriv´ees suivantes: le Newton:N, le Joule:J, le Watt:W
- Exercice 2: Les fonctions f1(x, y) =x2/y, f2(x, y, z) = x.y+z,f3(x, y) = sin(x/y) sont-elles homog`enes en leurs variables?
- Exercice 3: D´eterminer la dimension des deux param`etresαet β qui apparaissent dans la loi : f =α m v+β v2
o`ums’exprime enkg,v enm/s.
- Exercice 4: Montrez queM: la masse d’une plan`ete,R: son rayon et%: sa masse par unit´e de volume ne sont pas ind´ependants dimensionnellement, c’est-`a-dire que l’on peut les lier dimensionnellement par une relation.
- Exercice 5: Donnez la relation qui lieM,R et%si la plan`ete est consid´er´ee comme une sph`ere homog`ene.
- Exercice 6: Montrez qu’il est impossible avecM,T etR de construire un nombre sans dimension : α.
- Exercice 7: Si on ajoute la constante gravitationnelleG:
G= 6.67259×10−11m3 kg−1 s−2
trouverunerelation entreG, T,M, R qui n’a pas de dimension (il y a une infinit´e de realtion, trouver la plus simple alg´ebriquement).
- Exercice 8: Simplifiez cette relation en utilisant la masse sp´ecifique%.
- Exercice 9: d´eterminez les dimensions dans le SI de la constante de gravitationGsachant qu’elle est d´etermin´ee par l’´equation (o`uF est la force de gravitation,m1,m2 sont les deux masses qui subissent cette attraction, etrest la distance qui s´epare ces deux masses):
F=Gm1m2 r2
- Exercice 9: d´eterminez une loi, compatible avec les dimensions, et qui d´eterminegen fonction des param`etres gravitationnels de la Terre, `a savoir sa masseM, son rayonR, et la constante de gravitationG.
- Exercice 11: Les plan`etes tournent autour du Soleil en un temps T. Ce temps est li´e `a la distanceR de la plan`ete au Soleil, `a la masseM du Soleil, et `a la constante de gravitationG. Comment?
- Exercice 12: une pressionP est dimensionellement le rapport entre une force F et une surfaceS: P =F/S.
Quelles sont les dimensions deP dans le SI ?
- Exercice 13: construisez une pressionP “ gravitationnelle ” qui ne contient que la masseM, le rayonR, et la constanteG.
S´eminaire no¯1- 1
- Exercice 14: une ´energieE est dimensionellement le produit d’une forceF et d’un d´eplacementL. Quelles sont les dimensions de l’´energieE dans le SI ?
- Exercice 15: montrez qu’une pressionP est une ´energieE par unit´e de volumeV.
- Exercice 16: calculez la dimension de la permittivit´e du vide0et de la perm´eabilit´e du videµ0en sachant que ces deux constantes apparaissent dans les ´equations suivantes (o`u F est une force,Qune charge ´electrique qui a les dimension [Q] =A×s,Let rdes distances,I un courant ):
F = 1 4π0
Q2
r2 F = µ0 2π
LI2 r
- Exercice 17: d´eterminez les dimensions dans le SI d’une r´esistance ´electrique R via l’´equation dites “d’effet Joule” qui lie la puissance dissip´eeP `a l’intensit´e de courantI et `a la r´esistanceR: P=I2R, une puissance
´etant par d´efinition une ´energie par unit´e de temps.
- Exercice 18: connaissant les dimensions de 0 et de µ0, construisez 1o¯) une vitesse c et 2o¯) une r´esistance
´electriquer. Sachant que 0 = 8.85419 10−12 et queµ0 = 4π 10−7 dans le SI, d´eterminez num´eriquement ces deux valeurscetr.
S´eminaire no¯1- 2
