S18 - Fonc/usuelles 5 Logarithme Népérien TaleES
1 Propriété fondamentale
la fonction logarithme véri- fief(a×b) =f(a) +f(b)
Remarque.
Soient aetbdeux réels strictement positifs et nest un entier relatif :
• produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• inverse : ln
1
a
=−ln(a) quotient : ln
a
b
= ln(a)−ln(b)
• puissance : ln(an) =nln(a) racine carrée : ln (√ a) = 1
2ln(a) Propriété 1.
En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications.
La propriété fondamentale se généralise au cas d’un produit den facteurs : ln(a1×a2× · · · ×an) = ln(a1) + ln(a2) +· · ·+ ln(an)
la fonction x 7→ lnx est définie pourx >0
Rappel.
Exemple 2
• ln(x+ 2)(x+ 3) = ln(x+ 2) + ln(x+ 3), pour toutx >−2.
• ln
16
9
= ln(16)−ln(9) = ln(24)−ln(32) = 4 ln(2)−2 ln(3).
2 Résolution d’équations
Soit uet v deux fonctions définies et strictement positives surI :
• l’équation ln(u) = ln(v) possède comme unique solution u=v.
Soit kun réel strictement positif et nun entier naturel non nul :
• l’équation xn=kpossède une unique solution x=kn1 ; le nombrekn1 est appelé racinen-ième dek.
Propriété 3.
Exemple 4
• 2 ln(x)−ln(x3) =−5⇐⇒ln(x2)−ln(x3) = ln(e−5)
⇐⇒ln x2
x3
= ln(e−5)kn1 ⇐⇒ln
1
x
= ln(e−5)
⇐⇒ 1
x = e−5⇐⇒x= e5.
pour x >0 .
• La consommation d’électricité est passée de 993 kWh à 2 455 kWh en 8 ans.
On suppose que, chaque année, l’augmentation a été multipliée par le nombrek.
993×q8= 2 455⇐⇒q8=2 455
993 ⇐⇒q= 2 455
993
1 8
= 1,1198.
L’augmentation a donc été de environ 12 % par an.
suite géométrique de pre- mier terme 993 de raisonq
.
N.Daval - mathematiques.daval.free.fr 1/1 Lycée Georges Brassens
