L’application de la relation fondamentale de la dynamique conduit à l'équation différentielle du mouvement : f r P r T r m a r

OSCILLATIONS FORCÉES - RÉSONANCE

Lorsque le mouvement d'oscillation est entretenu périodiquement on dit que les oscillations sont forcées par opposition au cas où les oscillations sont non entretenues et où elles sont qualifiées de libres

L’application de la relation fondamentale de la dynamique conduit à l'équation différentielle du mouvement : f r P r T r m a r

= + +

L’allongement du ressort est alors : ^{∆ l}

^{+ x} ( ) ^{t − X} ( ) ^t

où X(t) correspond au déplacement, par rapport à la position d’équilibre, de l’extrémité du ressort reliée au vibreur.

Par projection:

mg x ) X x l ( k x

m & & = − ∆

+ − + α & + et − k ∆ l

+ mg = 0 (condition d'équilibre)

l’équation différentielle de l’oscillateur entretenu

) ( )

( t F t kX

kx x

x

m & & + α & + = =

Force excitatrice sinusoïdale: F ( t ) = kX ( t ) = ke cos( ω t ) = F

cos( ω t )

(e représente l'amplitude des oscillations du support et donc F

= ke représente l'amplitude de la force excitatrice)

SOLUTION:

Solution de l'équation différentielle sans second membre: voir oscillateur libre. La solution correspond à un régime transitoire (qui ne dure qu'un certain temps) avec retour vers la position d'équilibre

Solution particulière: régime permanent.: Le système adopte en régime permanent un mouvement de type sinusoïdal dont la pulsation est la même que la pulsation de la force

mouvement de m avec vibreur

tournant

l

k

l

+∆l

O

x

équilibre mouvement de m vibreur bloqué à vide

P r

T r

X(t)

x (t)

PHY102A: Mécanique du point

OSCILLATIONS FORCÉES - RÉSONANCE

Étude de l'amplitude ( ) ^{t = X cos( ω t + φ )}

x

notation complexe ⇒ x = X

e

et F = F

e

En transposant dans l'équation différentielle du mouvement il vient:

t j o t

j

o

e m j k F e

X

( − ω

+ ωα + ) =

Soit:

m F j m

e

X

( ω

− ω

+ ωα ) =

avec :

m

= k

2

ω

Amplitude:

) )

( ) )

( ) )

(

2 2 2 2 2 0

2 0

2 2 2 2 2 2 2 0

2 2 2 2 2

0

m

e

m ke m

m m F X

o

o

ω ω ω α

ω α

ω ω α ω

ω ω

ω − +

= +

−

= +

−

=

Phase:

) tan (

0 )

arg(

ω ω φ ωα ω ωα

ω

φ + − + = ⇒ = − −

o

o

j m m

L'amplitude et la phase dépendent de la pulsation de la force excitatrice L’amplitude des oscillations passe par un maximum si

= 0 ω d dX

2 2 0 2

2m ω α

ω = −

⇒

L’amplitude passe donc par un maximum non nul si la condition

0

2 m

ω > α est vérifiée.

Le document " Oscillations forcées et résonance" (page 34) montre l'évolution de l'amplitude

et de la phase en fonction de la fréquence. Il est important de noter que l'amplitude des

oscillations passe par un maximum (s'il existe) au voisinage de la pulsation propre de

l'oscillateur harmonique non entretenu (mais avec ω < ω

).

OSCILLATIONS FORCÉES ET RÉSONANCE Equation différentielle : m x & & + α x & + kx = F

cos ω t

Solution : régime permanent x ( t ) = X

cos( ω t + ϕ )

0 1 2 3 4 5

-200 -150 -100 -50 0

α =0,01 α =0,04 α =0,1

Φ (degré)

ω (rad.s

)

0 1 2 3 4 5

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

e

α>1,414ω

m k=0,1 N.m

m=0,05 kg e=2 cm α =0,01

α =0,04 α =0,1

X

(cm)

ω (rad.s

)

Courbes donnant l’amplitude et la phase de l’oscillateur en fonction de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amortissement. On notera que l’amplitude passe par un maximum pour une valeur proche mais inférieure à la pulsation propre sauf si l’amortissement devient trop fort. Il convient de noter qu’à basse fréquence le résonateur est en phase avec l’

l’excitateur puis vibre en opposition de phase avec celui-ci à haute fréquence. A la fréquence

propre, les deux systèmes sont en quadrature.

PHY102A: Mécanique du point Résonance de vitesse

) ( )

2 / (

)

(ω φ

ω

ω

=

=

=

=

t j o t

j

o

e X e V e

X dt j

v dx

2 φ π ϕ

ω = +

= X et

V

L'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur s’écrit en termes de vitesse:

t j o

e F t kv t v

m ^d _d v + α + ∫ ^d =

Résonance de vitesse

F

e

j

mj k e

V

α ω

ω + + =

+ ⁾

( )

(

Amplitude pour la vitesse:

2

2

( )

ω ω

α k

m

V

F

− +

=

Phase pour la vitesse:

α ω ϕ ω

ω ω α

ϕ

m k m k

j

− −

=

⇒

=

− +

+ arg( ( ) 0 tan

Lorsque la pulsation de l'excitateur ( ω ) est égale à la pulsation propre ( ω

) de l'oscillateur la force et la vitesse sont en phase. De plus la vitesse est alors maximale ; on dit qu’il y a résonance de vitesse. A la résonance de vitesse nous avons donc :

φ

F α

V

et =

= 0 (V

maximale pour ω = ω

)

Le document "résonance de vitesse" (page 29) montre l'évolution de l'amplitude et de la phase

de la vitesse en fonction de la fréquence.

0 1 2 3 4 5 0

5 10 15

20 k=0,1 N.m

m=0,05 kg e=2 cm α =0,01

α =0,04 α =0,1

V

(cm.s

)

ω (rad.s

)

Évolution de la vitesse du résonateur en fonction de la pulsation de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amortissement. Il convient de noter que la résonance de vitesse se produit toujours à la pulsation propre du résonateur et qu’elle est d’autant plus aigue que l’amortissement est faible

0 1 2 3 4 5

-100 -50 0 50 100

α =0,01 _α =0,04 α =0,1 Φ

(degré)

ω (rad.s

)

Évolution de la phase de la vitesse du résonateur par rapport à la phase de l’excitateur en

fonction de la pulsation de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amortissement. Il

convient de noter qu’à la résonance la vitesse du résonateur et la force excitatrice sont en

PHY102A: Mécanique du point

Résonance de vitesse Facteur de qualité

Il est possible de qualifier l'acuité de la résonance de vitesse par un facteur de qualité Q. Pour cela on considère les pulsations ω

et ω

pour lesquelles on a :

) 2 ( )

(

o

V V

V ω = ω =

Ces deux pulsations peuvent facilement se mesurer sur la courbe de résonance de vitesse (voir document page 6)

Elles définissent la bande passante en pulsation : ∆ ω = ω

− ω

Le facteur de qualité se définit alors par :

ω ω

= ∆

Q

Les deux pulsations qui limitent la bande passante peuvent être déterminées analytiquement.

La définition de la bande passante à partir de la vitesse conduit à : ω α ω ω α

ω

α + − = ⇒ − k = ± m

k ) m

(

2

2

Les solutions physiquement acceptables (pulsations positives) donnent :

2 0 2 2

2 0 2

1

2 α 2 α ω ω 2 α 2 α ω

ω  +



 

 +  +

=

 +



 

 + 

−

= et m m

m m

On obtient donc:

0 0

αω α

α ω

ω m k

Q

m et = =

=

∆

Bande passante

Représentation en hachurés des bandes passantes observées pour deux valeurs de l'amortissement.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0 5 10 15 20

Bandes passantes

∆ω k=0,1N.m^-1 m=0,05kg e=2cm

=0,01

=0,04

V 0 (cms-1 )

ω

(rad.s

)

Représentation en hachurés des bandes passantes observées pour deux valeurs de

l’amortissement