R 2 (ou R 3). On onsidère une équation aux

(1)

présenté en vue de l'obtention de

L'Habilitation à Diriger des Reherhes

Université Paul Sabatier Toulouse 3

Spéialité : Mathématiques Appliquées

par

Didier Auroux

Algorithmes rapides pour le trai tement d'images

et l'assimilation de données

Soutenue le 26 Novembre 2008

Après avis de :

G.Aubert, Professeur Université de Nie Sophia-Antipolis

P. Rouhon , Professeur Mines ParisTeh

F. Santosa ,Professeur University of Minnesota

Devant le jury omposé de :

G.Aubert, Professeur Université de Nie Sophia-Antipolis (Rapporteur)

J. Blum , Professeur Université de Nie Sophia-Antipolis (Examinateur)

L. Cohen , Direteur de Reherhe CNRS &Université ParisDauphine (Examinateur)

P. Degond ,Direteurde Reherhe CNRS &Université PaulSabatier (Examinateur)

M. Masmoudi , Professeur Université PaulSabatier, Toulouse (Coordinateur)

J.-P. Puel , Professeur UniversitédeVersaillesSaint-Quentin (Examinateur)

(2)

(3)

Remeriements

Il est venuun imbéile qui ne lesavait paset qui l'a fait.

MarelPagnol(dans : Papillotes Révillon)

Je tiens à remerier en tout premier lieu Gilles Aubert, Pierre Rouhon et Fa-

dil Santosa, qui ont onsaré une partie de leur temps à l'étude de mes travaux de

reherhe en aeptant de rapporter sur e mémoire d'habilitati on. Ils m'ont fourni

par lamême oasiondenombreusespistesdereherhe,toutesplusintéressantesles

unesque lesautres.

Je remerie également Laurent Cohen et Jean-Pie rre Puel, qui ont aepté ave

bienveillane defaire partie dujury et d'étudierave attentionmontravail.

Jesuistrès reonnaissantàPierre Degondpour m'avoirfaitl'amitié departiiper

à monjury.

Je souhaite maintenant exprimer toute ma gratitude et reonnaissane (quasi-

éternelle) aux deux personnes qui ont rendu possible e travail : Jaques Blum et

Mohamed Masmoudi. Je onnais le premierdepuis dix ansmaintenant, il m'a formé

et fait déouvrir les problèmes inverseset l'assimilation de données lors de ma thèse

sous sa diretion. Cinq années ont passé depuis ma soutenane de thèse et je les ai

passées à étudier le traitement d'images auprès du seond, qui m'a montré tous les

jours àquel point esproblèmes étaient diiles pour lui et soure de bonheur pour

moi(oul'inverse,peut-être).Leursvastesativitésdereherheet leurdéterminati on

impressionante àrésoudrelesproblèmes (aussibienthéoriquesqu'industriels)enfont

desdireteursdereherheetollaborate urs inestimables(quandilsn'essaientpasde

sedébarasser de moi,ouquand ils nesont pasenfermés dansleurbureau).

Unepartie importante dee travailn'auraitpasétépossiblesansplusieursautres

ollaborate urs (etnéanmoinsamis).En premierlieu,LamiaJaafarBelaid,ave quiil

esttoujoursfaileetagréabledetravailler,àToulouseommeàTunis,etgrâeàquije

mesensunpeuomme hez moiauLAMSIN.Je suiségalementravi d'avoirtravaillé

aveMaëlle Nodet,aprèstant d'annéespasséesensembleauxquatreoinsdusud-est

de la Frane... J'espère que e n'est là que le début d'une longue ollaboration.

Meri à Jérme Fehrenbah, ave qui les disussions nombreuses et variées dans le

ouloir ont ni par engendrer une ollaboration passionnante. Meri aussi à Silvère

Bonnabel, quiaontribuéà mefaire déouvrirlathéoriedesobservateurs.Enn, j'ai

prisénormémem entdeplaisiràtravailleravePatrikBansart,SébastienMarinesque,

Thomas Migliore,BadreddineRjaibi, EdithTaillefer, et ThierryTouyapendant leur

thèse (terminée, enours,ou toutjuste ommenée ).

(4)

Certaines personnesont rendu es quelquesannées toulousainespartiulière ment

agréablesparleurdisponibilité,leurbonnehumeuretsurtoutleuramitié:Marjolaine

Puel(majumelledeposte,qui m'anourriunnombreinalulable demerredissoirs,

etquej'aiapprisànepasontrarier),PierreRaphaël(mêmes'ilestunassezmauvais

supporterde l'OL,nousavonssouvent refaitlemonde autourd'unebonne bouteille)

et leurs deux magniques enfants Paul et Maud, Guillaume Chèze (mon partenaire

de blagues en tous genres, tondeuse, tête de erf, et plus si anités) et son harem

(Véronique,ÉmèlieetÉloïse),LuaAmodei(dontj'airompulatranquilitéaubureau,

malgréson passé trouble), Jean-Pier re Dedieu (fournisseuroiel de miel et ontre-

péteur professionnel), Pierre Maréhal (qui a désormaispeur des artons et des lés

surles portes), Jean-MihelRoquejore (ledoyen du labo,que je regrette de ne pas

avoironnuquandilétaitjeune),Jean-Claude Yakoubsohn(quinousarégalé jusqu'à

Hong-Kong ave le

4408

^), Jean-Pie rre Raymond (son plus beau oup : le hien de Mohamed),Komla Domelevo (probablement ommerial hez Apple dans une autre

vie), Lu Mieussens (pour ses préieux onseils), Marie-Hélène Vignal (meri de ne

pasavoiraouhé dansmonbureau!), NaoufelBenAbdallah (pour avoirannonéle

olloquedu1erAvril),EriLombardi(hampionde vitessetoutes atégoriesau205),

Marela Szopos (à qui je dois ertainement plein d'heures de TD à l'IUT), Mihel

Fournié (SOSdépannage briolage), quelquesMat(t)hieu, les FARCpour m'avoir li-

béré à temps, Biana pour ses gâteaux au hoolat, et plein d'autres enore, parmi

lesquelsde nombreux ollèguesdu département GMP del'IUT.

Ungrandmeriàtoutlepersonneladministratifdel'équipe (ex-laboratoire)MIP

del'Institutde Mathématiques deToulouse, d'uneompétene (saufpourles fourni-

turesdebureau,j'attendstoujourslebaby-foot)etdisponibilitérares,quej'aiembêté

tantde foisàladernièreminute: Christine etMarie-Louise, Valérie, Marie-Line,Sa-

rah, Françoise, Janani, Zohra, Anne, Marie-Laure, Delphine, Yannik. Par la même

oasion, je remerie les membres de la ellule informatique, ainsi que Monique qui

exportesabonne humeur permanente jusqu'au 3èmeétage.

Mesremerieme nt ss'adressentégalementàmesollèguesdel'équipe-projetMOÏSE

de l'INRIA Grenoble - Rhne-Alpes qui m'aueillent régulièrement (surtout en pé-

riodehivernale),et toutpartiulière ment àAntoine,Arthur,Innoent,Maëlle etOli-

vier, à FX pour m'avoir laissé un oin de table, ainsi qu'au grand hef (que dis-je,

notreguidespirituel!)Éri et l'irremplaçabl eImma.

Merien vraàAlexis,Jaqueline, Alexandreet Aurélienpour l'hébergem ent

5 ∗

^,

à Caroline, Céline et Florene pour leur amitié et amour, à mes frères, mes parents,

et magrand-mère,irremplaçab le.

Jeniraiparmessponsorsprinipaux:AirFrane(unebonnedizainedetoursdu

mondedepuis quejesuis àToulouse),diérentesmarquesdeafésansquijen'aurais

pasputravailler avant 15hdu matin,et l'imprimant e Dell3.

(5)

1 Introdution 9

2 Traitement d'images 13

2.1 Introdution . . . 13

2.2 Analyse asymptotiquetopologique . . . 14

2.2.1 Présentation de laméthode . . . 14

2.2.2 Résultatprinipal . . . 15

2.3 Inpainting [9,13℄ . . . 15

2.3.1 Problème deloalisation desssures . . . 16

2.3.2 Problèmes de Dirihlet et Neumannpour l'inpainting . . . 16

2.3.3 Développement asymptotique . . . 17

2.3.4 Algorithme . . . 18

2.3.5 Remarques . . . 18

2.4 Restauration [16, 22℄ . . . 19

2.4.1 Formulation variationnelle . . . 19

2.4.2 Gradient topologique . . . 20

2.4.4 Remarques . . . 21

2.4.5 Couplagedes anauxdansleas d'images ouleur. . . 21

2.5 Classiation [10,16℄ . . . 22

2.5.1 Introdutiondu problème . . . 23

2.5.2 Approhe ouplée restauration-l assia tion . . . 23

2.5.3 Extension auas nonsupervisé . . . 24

2.6 Segmentation [12,13℄. . . 24

2.6.1 Delarestauration àlasegmentation . . . 25

2.6.2 Développement ensérieentière . . . 26

2.7 Complexitédesalgorithmes [13, 16℄ . . . 27

2.7.1 Transformée de osinus disrète . . . 28

2.7.2 Gradient onjugué préonditionné. . . 28

2.8 Gradient topologique et heminsminimaux[26℄ . . . 29

2.8.1 Chemins minimaux . . . 29

2.8.2 Fast marhing. . . 30

(6)

2.8.3 Algorithme ouplé . . . 30

2.9 Conlusions et perspetives . . . 31

3 Nudging diret et rétrograde 33 3.1 Introdution . . . 33

3.2 Nudging diret et rétrograde [8,11,18℄ . . . 35

3.2.1 Nudging diret . . . 35

3.2.2 Nudging rétrograde . . . 36

3.2.3 Algorithme BFN . . . 36

3.2.4 Choix desmatriesde nudging et interprétations . . . 37

3.3 Expérienes numériques[11, 14,21℄ . . . 39

3.3.1 Valeursnumériquesdesmatries denudging . . . 39

3.3.2 Méthodologie expérimentale . . . 39

3.3.3 Modèles étudiés. . . 40

Système de Lorenz . . . 40

Équation deBurgers visqueux . . . 40

Modèleshallowwater (équationsde Saint-Venant) . . . 41

Modèlequasi-géostrophique multi-ouhes . . . 41

3.3.4 Conlusions relativesaux expérienes numériques . . . 42

3.4 Résultats théoriques deonvergene [18, 24℄ . . . 43

3.4.1 Cas linéaire . . . 43

3.4.2 Équations de transport. . . 44

Transportlinéaire visqueux . . . 44

Burgers visqueux . . . 46

Transportlinéaire non visqueux . . . 47

Burgers non visqueux . . . 48

3.5 Lien aveles observateurs [25℄ . . . 50

3.5.1 Observateurs pour un modèleshallow water . . . 50

3.5.2 Utilisation dessymétriesdumodèle. . . 51

3.5.3 Étude d'unelassed'observateurs dansunaslinéarisé . . . 52

3.5.4 Expérienesnumériques . . . 53

3.6 Conlusion. . . 54

4 Assimilation de données images 57 4.1 Introdution . . . 57

4.2 Modélisationet résolution du problème[23℄ . . . 58

4.2.1 Conservation del'intensité lumineuse . . . 58

4.2.2 Fontion oût . . . 58

4.2.3 Régularisation . . . 59

4.2.4 Approhe multi-grille et optimisation . . . 59

4.2.5 Estimateur de qualitédesrésultats . . . 60

4.3 Simulations numériques [23℄ . . . 61

4.3.1 Données synthétiques . . . 61

(7)

4.4 Conlusions . . . 63

5 Conlusions généraleset perspetives 65

Liste des publiations 67

Publiations en rapportave lathèse . . . 67

Publiations postérieures à lathèse . . . 68

Bibliographie 71

(8)

(9)

Introdution

Plusieurs thématiques ont été étudiées dans le adre de e travail, ave le point

ommun et la volonté de fournir des algorithmes eaes, robustes, failes à implé-

menter et partiulière ment rapides et performants. La rapidité des algorithmes est

renduenéessairepar leontextegénéraleme nt opérationne l desméthodes,et par un

besoin de traiter de plus en plus d'informations en un temps de plus en plus ourt.

L'autre ontrainte que nous avons partiulière ment prise en ompte est la failité

d'utilisation et demiseen ÷uvredes méthodesdéveloppées.

Dansle hapitre 2, nousaborderons diérentsproblèmes de traitement d'images

par une approhe originale dansledomaine : l'analyseasymptotique topologique, ou

plus simplement legradient topologique.

Letraitementd'images onnaîtàl'heureatuelleunnouvelélairage,grâed'une

partauxnouvellestehnologiesdetéléommuniationetdediusiondel'information,

qui reposent désormais sur l'envoi et laréeption de ux massifs de données numé-

riques sous forme d'images, et d'autre part au monde médial, dans lequel de très

grandes avanées ont étéréalisées,notamment pour ladétetionpréoe detumeurs,

grâe àde nouvelles tehniquesd'imagerie plusperformantes.

Notre étude est motivée par plusieurs onstatations. La première est que le gra-

dienttopologiqueestgénéralementutilisépourdesproblèmesdeméaniquedesstru-

tures, design,oneption et optimisation de formes.Il a également étéappliqué ave

suès en életromagnétisme pour la détetion de ssures ou d'objets enfouis. Or de

très nombreuses problématiques en traitement d'images reposent sur l'identiat ion

deformes, parexempleslesontours ouunobjetaratéristiquede l'image.Cepoint

ommunnousa paruintéressant,et nousapermisd'adapter laméthodedu gradient

topologique initialement utiliséepour ladétetion de ssures, à diérentsproblèmes

d'imagerie (restauration, lassiation, segmentation,inpainting).

Le deuxième aspet qui nous a paru intéressant est la rapidité de la méthode.

L'analyseasymptotiquetopologique apermisdansde très nombreuxdomaines d'ob-

tenir desrésultats extrêmement rapidement. Orque e soit dansl'imagerie médiale

ou dans la diusion audiovisuelle grand publi (par exemple la télévision par satel-

(10)

lite ou internet), le temps de traitement doit être négligeable pour ne pas retarder

respetivement le diagnosti médial ou la diusion du ux. Il est don important

d'apporterune réponseextrêmement rapideàesdiérentesquestions,entemps réel

pour deslms et en untemps négligeable (inférieur à laseonde) pour uneimage.

Commenousleverronsparlasuite,laméthodedugradient topologique aeeti-

vement pus'adapter parfaitement au traitement d'images, permettant d'obtenir des

résultatstrèsintéressants, et pour un oûtde alul partiulièrement faible.

Danslehapitre3,nousnousintéresseronsàl'assimilationdedonnéespourlespro-

blèmesgéophysiques et environnementaux, et plus partiulière ment dansleadre de

l'atmosphèreetdesoéans.Depuisplusieursannées,unedespréoupati ons majeures

onsisteàaméliorersensiblementlaonnaissane deessystèmesréputés turbulents,

l'undesbutsétantdepouvoirprédire leurévolutionàplusoumoinsourttermeave

unegrande abilité.

Depuis la prévision météorologi que grand publi pour les prohains jours, jus-

qu'àl'étudeduréhauement limatique,en passant parladétetiondephénomènes

limatiques extrêmes plusieurs semaines à l'avane, les enjeux sont sensiblement les

mêmes, et serésumeau problème suivant.Il s'agit d'estimer rapidement et ave une

très grande préision l'état d'un système turbulent, à partir d'une part d'équations

mathématiquesqui essayent de modéliser les phénomènesphysiquesrégissant lesys-

tèmeatmosphère-o éans,etd'autrepartd'observationsdediérentenature(insituet

satellitaires),portantsurdiérentes quantitésphysiques, etéparpilléesdansletemps

et l'espae.

Au delàde la tailleextrême du problème à traiter(plusieurs milliards de valeurs

à estimer, à partir de entaines de millions d'observations) et de fait du temps de

alul néessairepour le résoudre,un autre fateurrentre en jeu: leoût humain de

développement et d'utilisation d'une méthode d'assimilation de données. À l'heure

atuelle, il est extrêmement diile de mettre en ÷uvre une telle méthode, même

sur un problème relativement simple. Il nous a don paru intéressant d'étudier la

possibilitéd'améliorerunedesméthodeslesplussimplesd'assimilationdedonnées, le

nudging (ou relaxation newtonienne), an d'obtenir de bien meilleurs résultats sans

toutefoisompliquer laméthode.

En appliquant la méthode du nudging au problème rétrograde en temps, nous

avons onstatéqu'il est possible de stabiliser lesystème rétrograde, apriori instable

du fait de l'irréversibilité du problème physique. Ainsi, omme l'étude présentée au

hapitre 3 le montre, nous pouvons remonter le temps, et réupérer une estimation

plus able du système à un instant passé, à partir duquel des prévisions peuvent

êtredéduites. Enappliquantalternativementet itérativementlaméthodedunudging

standard au modèle diret et au modèle rétrograde en temps, nous obtenons un al-

gorithmeitératif extrêmement simpleà mettre en÷uvre, et qui fournitdes résultats

nettement meilleurs que le nudging simple. En eet, les résultats sont omparables

en qualité et obtenus souvent beauoup plus rapidement qu'en utilisant la méthode

variationnelle d'assimilation dedonnées.

(11)

Lehapitre 4présente uneétudeàl'interfaedeesdeuxdisiplines,laprobléma-

tiqueétantl'assimilationdedonnéesimages.Àl'heureatuelle,unetrèsgrandequan-

tité d'observations provenant d'images satellitaires n'est quasiment pasutilisée pour

améliorer laonnaissane del'état du système. Pourtant, surles séquenes d'images

ainsi obtenues, on peut voirtrès nettement ertaines strutures aratéristiques(y-

lones,tourbillons, ourantsd'eauhaude,pollution, ...)évoluer etsedéplaer aul

du temps.

Plusieurs approhes peuvent être onsidéréespour résoudree type deproblème,

et nous avons fait le hoix d'essayer d'identier et extraire des hamps de vitesse à

partir de séquenesd'images. Cela nousaparu êtrele hoix leplusapproprié pour à

lafois extrairerapidement desdonnées onventionnelles (ar diretement reliées aux

variables du modèle), et pouvoir les utiliser ensuite dans un système d'assimilation

standard.

L'idéeque nousdévelopponsauhapitre 4reposesurlaméthodedu otoptique,

quionsisteàherher unhampdedéplaement quienvoieuneimage suruneautre.

L'originalité de notre approhe réside dansla non linéarisation de la fontionnelle à

minimiser, ombinée à une façon rapide d'assembler la matrie jaobienne. Une ap-

prohemulti-grillepermetenndegarantirlaqualitéduminimum.Grâeàtoutela,

nous arrivons à extraire des hamps de vitesse omplets en un temps très ourt, et

il est également possible de fournir un estimateur de laqualité du hamp de vitesse

obtenu, e qui peut être vu omme une information sur les statistiques d'erreur de

espseudo-observations dansleadrede l'assimilation dedonnées.

Ennquelquesonlusionsgénéralesetperspetivesdereherhesont donnéesau

hapitre 5.

(12)

(13)

Traitement d'images par analyse

asymptotique topologique

Cehapitre résumeles travauxontenus dans[9,10, 12, 13, 16, 22, 26℄.

2.1 Introdution

Le gradient topologique onsiste à étudier la variation d'un ritère lorsqu'on

perturbe le domaine d'étude. Nous onsidérons ii l'approhe qui a été introduite

pour étudier les problèmes d'optimisation topologique, dans lequel il faut généra-

lement trouver une forme optimale et son omplément air e dans un domaine donné

[133, 98, 104℄.

Cetteméthode semblepartiulière ment adaptée au traitement d'images, puisque

de nombreux problèmes d'imagerie (telsque lalassiation, la segmentation, ledé-

bruitage, l'inpainting, ...) reposent sur l'identiat ion d'un sous-domaine partiulier

de l'image,elui desontours.

Ladiulté généraleme nt renontrée dansun problèmed'optimisation deformes

est la non diérentiabilit é. En eet, reherher un domaine optimal est équivalent

à reherher safontion aratéristique. Plusieurs méthodes lassiquesont été déve-

loppées pour rendre e problème diérentiable. Nous pouvons iter par exemple les

méthodesderelaxation,permettantàlafontionaratéristiquedeprendretoutesles

valeursentre0et 1,etl'approhepar ourbesdeniveaux(oulevelset)quionsiste à

remplaer lafontionaratéristique par unefontion régulière quiprend desvaleurs

positivesdansledomaine reherhéet négativesen dehors[133, 34,33, 36, 51, 157℄.

L'optimisatio n topologique onsiste à faire varier la fontion aratéristique de

0 à 1, mais uniquement dans des zones de taille innitésimale. De ette façon, la

variation de la fontion oût est faible quand une petite zone du domaine passe du

sous-domaine reherhé àsonomplémentaire (ou l'inverse). L'analyseasymptotique

topologiquepermet justementd'étudier ettevariation,et dedériver ungradient,dit

topologique,de lafontion oût[133, 98, 158, 157℄.

Auoursde ehapitre, nousrappelons dansunpremiertemps lesoutils debase

(14)

liés à l'analyse asymptotique topologique, avant d'étudier plusieurs appliations en

traitement d'images : inpainting (reonstrution de l'image dans une zone où elle

n'était pas onnue), restauration et débruitage, lassiation, segmentation. Par la

suite, nous présentons une méthode d'aélération des algorithmes que nous avons

introduite,ens'appuyantsurlatransforméedeosinusdisrèteetunpréonditionne-

ment approprié. Enn, nous présentons un ouplage entrele gradient topologique et

laméthode desheminsminimauxpour améliorerladétetion desontours et éviter

queeux-i nesoient pasonnexes.

2.2 Analyse asymptotique topologique

2.2.1 Présentation de la méthode

Soit

Ω

^un ^ouvert ^borné ^régulier ^de

R ²

^(ou

R ³

^). Ôn ônsidère ûne ^équation âux

dérivéespartielles déniesur

Ω

^, ^que ^l'on^peut représenter sousforme variationnelle : trouver

u ∈ V

^tel^que

a(u, w) = l(w), ∀ w ∈ V ,

^(2.1)

où

V

^représente ^un ^espae ^de ^Hilbert ^sur

Ω

^, généralement

H ¹ (Ω)

^,

a

^est ^une ^forme

bilinéaire oerive ontinue sur

V

^, ^et

l

êst ûne ^forme ^linéaire ôntinue ^sur

V

^. ^On

onsidèreensuiteune fontionoût

J

^mesurant^un ^ritère^sur^la^solution

u

^de ^(2.1) ^:

J(Ω, u)

^.

Considérons maintenant une perturbation du domaine, par exemple représentée

par l'insertion d'une ssure de petite taille

σ _ρ = x ₀ + ρσ(n)

^, ^où

x ₀ ∈ Ω

^représente

le point d'insertion de la ssure,

σ(n)

êst ûne ^ssure ^plane ^de ^normale ûnitaire

n

ontenant l'origine du domaine. Enn

ρ > 0

^représente ^la ^taille ^de ^la perturbation, qui sera supposée petite. En notant

Ω _ρ = Ω \ σ _ρ

^le ^domaine ^ainsi ^perturbé, ^nous

pouvonsalors herher lasolutionde l'EDP sure nouveau domaine :

trouver

u _ρ ∈ V ρ

^tel^que

a _ρ (u ρ , w) = l _ρ (w), ∀ w ∈ V ρ ,

^(2.2)

où

V ρ

^,

a _ρ

^et

l _ρ

représententrespetivementl'espaedeHilbert

V

^restreint^à

Ω ρ

^, ^et^les

formesbilinéaireet linéaire perturbées.

Lafontionoûtpeutalors êtreréériteommeune fontionde

ρ

uniquement,en onsidérant laarte suivante :

j : ρ 7→ Ω _ρ 7→ u _ρ

^solution ^de ^(2.2)

7→ j(ρ) := J (Ω _ρ , u _ρ ).

^(2.3)

La théorie de l'analyse asymptotique topologique donne alors un développement

asymptotiquede lafontionnelle

j

^lorsque

ρ

^tend ^vers

0

^:

j(ρ) − j(0) = f(ρ)G(x 0 ) + o(f (ρ)),

^(2.4)

où

f (ρ)

^est ^une ^fontion ^positive ^tendant ^vers

0

^lorsque

ρ

^tend ^vers

0

^, ^et

G(x ₀ )

^est

appelé legradient topologique au point

x ₀

d'insertion dela perturbation [133℄.

La minimisation du ritère

j

ônsiste âlors ^à ^perturber ^le ^domaine âux êndroits

oùle gradient topologique

G

^est ^le^plus^négatif, ^en ^s'appuyant ^sur^le développement

(15)

2.2.2 Résultat prinipal

Danslasuite destravaux, nousnousappuieronssur lerésultat suivant [37℄ :

Théorème 2.1 S'il existe une forme linéaire

L _ρ

^dénie ^sur

V ρ

^, ^une ^fontion

f : R ⁺ → R ⁺

^, ^et

4

^nombres ^réels

δJ ₁

^,

δJ ₂

^,

δa

^et

δl

^tels ^que

• lim

ρ→0 f (ρ) = 0

^,

• J (Ω ρ , u _ρ ) − J (Ω ρ , u ₀ ) = L _ρ (u ρ − u ₀ ) + f(ρ)δJ 1 + o(f (ρ)),

• J (Ω _ρ , u ₀ ) − J (Ω, u ₀ ) = f (ρ)δJ ₂ + o(f (ρ)),

• (a _ρ − a ₀ )(u ₀ , p _ρ ) = f (ρ)δa + o(f (ρ)),

• (l ρ − l ₀ )(p ρ ) = f (ρ)δl + o(f (ρ))

^,

où

p _ρ

^est ^l'état^adjoint,^solution ^de

a _ρ (w, p _ρ ) = − L _ρ (w), ∀ w ∈ V ρ ,

^(2.5)

et

u _ρ

êst ^solution ^de^(2.2),âlors ^la ^fontionôût

j

^admet^le développement asymptotique (2.4), oùle gradient topologique est déni par

G(x) = δJ ₁ + δJ ₂ + δa − δl.

^(2.6)

2.3 Inpainting [9, 13℄

Dansette setion, nous appliquons la méthode dugradient topologique au pro-

blème de l'inpainting d'une image. L'inpainting onsiste à reonstituer les parties

ahées d'une image, par exemple par un masque, ou à ause d'une détérioratio n,

an de réupérer l'image entière et originale. Les appliations sont nombreuses, par

exemple pour enlever les tâhes sur une image ou sur un lm mal onservé, pour

supprimer un logoou uneimage inrustée surune autre image,...

Ceproblèmeestlassiquementrésoluparl'unedesapprohessuivantes:méthodes

d'apprentissage(e.g.réseauxdeneurones)[177,178℄,minimisationd'unefontionnelle

d'énergiereposantsurlavariationtotale[67,68℄,analysemorphologiquepourséparer

latexture dudéor [87℄, ...

Pour étudier e problème, nousallonsdans unpremier temps essayer d'identier

et reonstituer les ontours (ou arêtes) prinipaux de l'image dans la zone ahée

(et don inonnue). La tehnique de détetion des ssures est basée sur la diusion

thermiquelassique [142, 66, 174,175, 150℄, quenousavonsamélioréeen modélisant

les ontours de l'image omme desssures. Àl'aidede laonnaissane àlafois dela

onditiondeDirihletetdeelledeNeumannauborddelazoneahée,nouspouvons

dénir un ritère, mesurant l'éart entre la solution d'un problème de Dirihlet et

elle d'un problème de Neumann [118℄. Ce problème est analogue au problème de

ondutivitéinverse,aussionnusouslenomdeproblèmedeCalderón[65℄.Seulement

deuxmesuressontnéessairespourretrouverdesssuressimples[30,31,48℄.Plusieurs

approhes numériques ont été proposées dans [40, 49, 50, 64, 96, 152, 151℄, mais la

(16)

minimisation du ritère nous permettra alors d'identier les prinipales ssures de

l'image dans la partie inonnue. Enn, l'image sera reonstituée entre les ssures

grâeau Laplaien.

Cettesetionrésumelestravauxprésentésdans[9,13℄.Denombreux testsnumé-

riquessont également présentés dansesréférenes.

2.3.1 Problème de loalisation des ssures

Dans ette partie, nous supposons que ledomaine

Ω

^ontient ^une ^ssure

σ ^∗

^. ^On

imposeun ux

φ ∈ H ^−1/2 (Γ)

^sur^le ^bord

Γ

^du ^domaine

Ω

^, ^et ^on^veut ^trouver

σ ⊂ Ω

tellequelasolution

u ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^de

 



∆u = 0 dans Ω \ σ,

∂ _n u = φ sur Γ,

∂ _n u = 0 sur σ,

(2.7)

vérie

u | Γ = T

^où

T ∈ H ^1/2 (Γ)

^est^donnée.^Certaines^onditions ^deompatibilité sur lesdonnées assurent queleproblème estbienposé.

Une approhe par gradient topologique a été introduite dans [37℄, et onsiste à

dénirdeuxsolutions diérentesàpartirdesdeuxdonnéesdeDirihletetNeumann:

u _D ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^telle ^que

 



∆u _D = 0 dans Ω \ σ, u _D = T sur Γ,

∂ _n u _D = 0 sur σ,

(2.8)

u _N ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^telle ^que

 



∆u _N = 0 dans Ω \ σ,

∂ _n u _N = φ sur Γ,

∂ _n u _N = 0 sur σ.

(2.9)

En remarquant que les deux solutions oïnident si

σ = σ ^∗

^, ^l'idée ^onsiste ^à

minimiser lafontion oût

J (σ) = 1

2 k u _D − u _N k ² L ² (Ω) .

^(2.10)

Le développement asymptotique topologique de ette fontionnelle est détaillé

dans[37℄.

2.3.2 FormulationdesproblèmesdeDirihletetNeumannpourl'in-

painting

Dans notre approhe,

Ω

^représente ^désormais ^l'image, ^on ^note

Γ

^sa ^frontière, ^et

ondénote par

ω ⊂ Ω

^la^partie ^ahée ^(inonnue) ^de ^l'image, ^et

γ

^sa^frontière. ^Soit

v

l'imagedégradéeet quel'onsouhaitereonstituer. Onsupposedonque

v

^est^onnue

sur

Ω \ ω

^, ^et^inonnue ^sur

ω

^.

L'idée onsiste à adapter la méthode de loalisation des ssures à l'inpainting :

nousallonsherheràidentierlesssures, ouontours,

σ

^dans^la^partie ^ahée

ω

^de

(17)

l'image,puisimposerqueleLaplaiendel'image reonstruitesoitnuldans

ω \ σ

^.^Pour

une ssure

σ

^donnée ^(i.e. ^pour ûn ôntour ^donné ^dans ^la ^partie âhée ^de ^l'image),

et en utilisant la onnaissane de

v

^(donnée ^de ^Dirihlet) ^et ^de ^son ^ux ^(donnée

de Neumann) sur le bord

γ

^de

ω

^, ^on ^peut reonstruire deux solutions diérentes à l'intérieur de

ω

^.

Pour une ssure

σ

^donnée ^dans

ω

^, ^la^solution

u _D (σ) ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^du ^problème ^de

Dirihletvérie

 

 

 



∆u _D = 0 dans ω \ σ, u _D = v sur γ,

∂ _n u _D = 0 sur σ, u _D = v dans Ω \ ω.

(2.11)

En dehors de

ω

^, ^la ^solution êst ^égale ^à ^l'image ôriginale, êt ^à l'intérieur de

ω

^, ^nous

reprenons l'équation (2.8). De même, en supposant

v

^régulière, ^on ^peut ^dénir ^une

solution

u _N ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^du ^problème^de ^Neumann ^:

 

 

 



∆u _N = 0 dans ω \ σ,

∂ _n u _N = ∂ _n v sur γ,

∂ _n u _N = 0 sur σ, u _N = v dans Ω \ ω.

(2.12)

Ànoterqued'un point devuenumérique,ilestbeauoupplussimplederésoudreun

problème deNeumann approhé :

 

 

 



∆u N = 0 dans ω \ σ,

∂ _n u _N = ∂ _n v sur γ,

∂ _n u _N = 0 sur σ,

− α∆u N + u _N = v dans Ω \ ω,

(2.13)

où

α > 0

^est^petit.

2.3.3 Développement asymptotique

Lafontionoûtresteinhangéeetestdéniepar(2.10),puisquenoussouhaitons

trouverlesssures

σ ⊂ ω

^qui^minimisent^l'éartêntreês^deux^solutions.Ên^supposant

que la ssure

σ

^est ^égale ^à

x + ρσ

^, ^où

x

^est ^le ^point d'insertion de la ssure,

ρ

^est

la taille de la ssure insérée (supposée petite) et

σ

^est ^une ^ssure ^de ^référene, ^de

normale

n

^, âlors ôn ^peut ^réérire ^la^fontion ôût

J

^dénie ^par ^(2.10) ^omme ^étant

une fontion

j(ρ)

^de

ρ

uniquement.Le développement asymptotiqueest alors donné par

j(ρ) − j(0) = f (ρ)g(x, n) + o(f (ρ)),

^(2.14)

où legradient topologique

g

^est ^donné^par

g(x, n) = − [( ∇ u _D (x).n)( ∇ p _D (x).n) + ( ∇ u _N (x).n)( ∇ p _N (x).n)] ,

^(2.15)

(18)

où

u _D

^et

u _N

^sont ^solutions ^de ^(2.11) ^et ^(2.12) respetivement, mais sans ssure

σ

insérée (

σ = ∅

^).

p _D

^et

p _N

^sont ^les ^états ^adjoints ^assoiés, respetivement solutions dans

H ¹ (Ω)

^de

 



p _D = 0 dans Ω \ ω, p _D = 0 sur γ,

− ∆p _D = − (u _D − u _N ) dans ω,

(2.16)

 



p _N = 0 dans Ω \ ω,

∂ _n p _N = 0 sur γ,

− ∆p _N = +(u _D − u _N ) dans ω.

(2.17)

Le gradient topologique déni par(2.15)peut seréérire souslaforme

g(x, n) = n ^T M (x)n,

^(2.18)

où

M (x)

^est ^une ^matrie ^symétrique

2 × 2

^(ou

3 × 3

^dans ^le ^as ^d'images ^tri-

dimensionnelles, ou lms)déniepar

M(x) = − sym( ∇ u _D (x) ⊗ ∇ p _D (x) + ∇ u _N (x) ⊗ ∇ p _N (x)).

^(2.19)

Onendéduitquelavaleurminimalede

g(x, n)

^est^atteinte^lorsque

n

^est^le^veteur

propreassoiéà lavaleur propre

λ _min (M(x))

^la^plus ^négative ^de

M (x)

^.

2.3.4 Algorithme

L'algorithme quenousavonsdéniest don lesuivant :

•

^Résolution ^des^deux ^problèmes^direts ^(2.11) ^et ^(2.12) ^non ^perturbés⁽

σ = ∅

^).

•

^Résolution ^des^deux ^problèmes^adjoints^(2.16) ^et ^(2.17) ^non ^perturbés.

•

^Assemblage^en ^haque^point

x ∈ ω

^de ^la^matrie

M(x)

^dénie^par ^(2.19).

•

^Dénition ^de ^l'ensemble^des^ssures^identiées^:

σ = { x ∈ ω; λ _min (M(x)) < δ < 0 } ,

^(2.20)

où

δ

^est ^un^seuil^négatif.

•

^Résolution ^du ^problème^de ^Neumann^diret ^(2.12) ^perturbé^par

σ

^.

L'imageainsiobtenueoïnideave l'image originaleen dehorsde

ω

^, ^et^a ^été^reons-

truiteàl'intérieur de

ω

^.

2.3.5 Remarques

D'un point de vue numérique, les ssures sont généraleme nt modélisées par une

ondutivitétrèsfaiblepluttqueparuntroueetifdansledomainedealul.L'al-

gorithmedéni préédemment a une omplexité en

O (n. log(n))

^, ^où

n

^est ^le^nombre

depixels de l'image,omme expliqué auparagraphe 2.7.

L'avantagedeetteméthodeestdepermettrelareonstrutiondel'image àl'aide

d'uniquement

5

résolutions d'EDPs, les deux problèmes direts, les deux problèmes

(19)

laqualitédesrésultatsobtenusenappliquantainsiseulementuneitérationdugradient

topologique.

Leparamètrede ontrle delaméthodesesituedansleseuillagedugradient: en

dessous d'un ertain seuil, nous estimonsque les pixels onsidérés sont des ontours

de l'image, alors qu'au-dessus, nous estimons que e n'est pas le as. La résolution

du dernier problème perturbé (2.12) pour trouver l'image reonstruite repose sur la

résolution du problème de Poisson, et la netteté de l'image obtenue dépend de la

onnexité desontours identiés.Eneet,siunontourn'est pasfermé,leLaplaien

rée une zone oue. De fait, le ÷ient de seuillage est généralement alé pour

assurer lafermeture des prinipaux ontours de l'image, quitteà prendre en ompte

despixelsquinesontenfaitpassurlesontoursdel'image.Nousavonsonstatéque

numériquement , eparamètre dépendtrès peu desimagestraitées et peut être xéa

priori.

Unesolution à eproblème de seuillageestétudiée en setion2.8.

2.4 Restauration [16, 22℄

Nousonsidérons dans ette setion le problème de la restauration d'une image,

essentiellement dans le but de la débruiter. L'idée prinipale de la méthode est de

déteter les ontours de l'image bruitée, en utilisant legradient topologique,an de

les préserver dansle proessusde restauration.

Laméthode estégalement dérivée deladiusion thermique. Lesméthodes varia-

tionnelles généralement onsidérées reposent sur la diusion isotrope ou anisotrope

non linéaire,et surlaminimisation dela variation totale [142, 66, 124, 174, 175, 43℄.

D'autres approhesnonvariationnellesontégalementétédéveloppées,et notamment

desméthodesstatistiques [86℄.

Cette setion résume les travaux présentés dans [16, 22℄. Nous ne détaillons pas

ii lesrésultats destestsnumériques quisetrouvent dansesréférenes.

2.4.1 Formulation variationnelle

Soit

Ω ⊂ R ²

ûn ôuvert ^borné, êt ^soit

v ∈ L ² (Ω)

^l'image ^bruitée. ^Le ^débruitage

d'uneimage passe généralement par larésolution du problèmesuivant:

trouver

u ∈ H ¹ (Ω)

^telle^que

− div(c ∇ u) + u = v dans Ω,

∂ _n u = 0 sur ∂Ω,

^(2.21)

où

n

^représente^la^normale^unitaire^extérieure^à

∂Ω

^,^et

c

^est^laondutivité, quenous allonsdénir par lasuite. Diérentshoix deondutivité sont possibles, essentielle-

ment

c

^onstant ^(méthode ^de ^diusion ^linéaire, ^rapide ^mais ^qui ^rend ^l'image ^oue),

et

c

^déni^par^une^fontion ^non^linéaire^de

∇ u

^(diusion^non^linéaire,^qui^préserve^les

ontours [175, 43℄). Dansnotre approhe,

c

^ne ^prendra^que ²^valeurs,^soit ^une ^valeur

de l'ordre de

1

ên^dehors ^des ôntours ^de^l'image ân ^de ^lisser ^l'image,^soit

0

^sur ^les

(20)

Imposer

c = 0

^surûne^partie^de^l'image^revient^à^perturber^le^domaineênînsérant

desssures. Pour unpoint

x ₀ ∈ Ω

^xé, ^et^pour^un^paramètre

ρ > 0

^supposé^petit,^on

onsidèreledomaineperturbé

Ω _ρ = Ω \ σ _ρ

^parl'insertiond'unessure

σ _ρ = x ₀ +ρσ(n)

^,

où

σ(n)

êst ûne ^ssure ^de ^normale ûnitaire

n

^ontenant ^l'origine ^du ^domaine. ^Le

problèmeperturbé peut s'érire souslaforme variationnelle suivante :

trouver

u _ρ ∈ H ¹ (Ω _ρ )

^telle ^que

a _ρ (u _ρ , w) = l _ρ (w), ∀ w ∈ H ¹ (Ω _ρ ),

^(2.22)

où

a _ρ

^(resp.

l _ρ

⁾ ^est ^une ^forme ^bilinéaire ^(resp. ^linéaire) ^dénie ^sur

H ¹ (Ω _ρ )

^(resp.

L ² (Ω _ρ )

⁾^par

a _ρ (u, w) = Z

Ω ρ

(c ∇ u ∇ w + uw) dx, l _ρ (w) = Z

Ω ρ

vw dx.

^(2.23)

Ladétetion desontoursde l'imagerevientà minimiser parrapportau domaine

lafontionnelled'énergie suivante :

j(ρ) = J (Ω ρ , u _ρ ) = Z

Ω ρ

k∇ u _ρ k ² .

^(2.24)

2.4.2 Gradient topologique

En s'appuyant sur le théorème 2.1, un développement asymptotique peut être

dérivépour lafontion oût(2.24) et s'érit sousla forme:

j(ρ) − j(0) = ρ ² G(x ₀ , n) + o(ρ ² ),

^(2.25)

ave

G(x 0 , n) = − πc( ∇ u ₀ (x 0 ).n)( ∇ p ₀ (x 0 ).n) − π |∇ u ₀ (x 0 ).n | ² ,

^(2.26)

où

p ₀

^est^la^solution ^du^problème ^adjoint ^non ^perturbé ^:

− div(c ∇ p ₀ ) + p ₀ = − ∂ _u J(Ω, u ₀ ) dans Ω,

∂ _n p ₀ = 0 sur ∂Ω.

^(2.27)

Comme préédemment , le gradient topologique peut se réérire sous la forme

G(x, n) = h M (x)n, n i

^, ^où

M (x)

^est ^la ^matrie ^symétrique

2 × 2

^(en ^dimension ²⁾

déniepar

M(x) = − πc ∇ u ₀ (x) ∇ p ₀ (x) ^T + ∇ p ₀ (x) ∇ u ₀ (x) ^T

2 − π ∇ u ₀ (x) ∇ u ₀ (x) ^T .

^(2.28)

2.4.3 Algorithme

L'algorithme onsiste à insérer des petites inhomogéné ités (ou ssures) dans les

zones de l'image où le gradient topologique est inférieur à un ertain seuil, e qui

signieraqu'il s'agitvraisemblablement deontours del'image. Notrealgorithmeest

(21)

•

Initialisation:

c = c ₀

^(valeur ^onstante, ^imposée ^partout).

•

^Résolution ^des^problèmes ^diret ^(2.21) ^et ^adjoint ^(2.27) ^non ^perturbés.

•

^Assemblage ^de ^la ^matrie

2 × 2 M(x)

^dénie ^par ^(2.28) ^en ^haque ^point ^de

l'image,et alul desavaleur proprelaplus négative

λ _min (M(x))

^.

•

^On^dénit ^la^nouvelle ^ondutivité ^:

c ₁ =

ε

^si

x ∈ Ω

^est^tel ^que

λ _min (M (x)) < α < 0,

c ₀

^sinon, ^(2.29)

où

ε > 0

^est^supposé^petit,^et

α

^est^un ^÷ient ^de^seuillage^négatif.

•

^Résolution ^du^problème ^diret ^(2.21) ^en ^utilisant

c = c ₁

^.

L'imageainsiobtenue est l'image débruitée.

2.4.4 Remarques

D'un point de vue numérique, il est beauoup plus faile d'imposer

c

^égal ^à ^une

valeur très faible (ii

ε

⁾ ^plutt ^que ^de ^travailler ^sur ^un ^domaine ^perturbé

Ω ρ

^. ^La

résolution duproblème (2.21) ave

c = c ₁

^est^une approximationde larésolution du problème perturbé (2.22),d'autant pluspréiseque

ε

^est^petit.

Comme préédemment, et algorithme est extrêmement eae, et ne néessite

que3résolutionsd'uneEDPsurledomainedel'image:lesproblèmesdiretetadjoint

non perturbés,puis leproblèmediret perturbé.La omplexitéde etalgorithmeest

une foisenore en

O (n. log(n))

^(voir^le^paragraphe ^2.7).

Les résultats ainsi obtenus, présentés par exemple dans [16℄, sont de très bonne

qualité, omme on peut le onstater visuellement, ou en utilisant le ratio signal sur

bruit(SNR).Ilfautnoterquelàenore,l'algorithmenéessiteleseuillagedugradient

topologique,andedéidersilespointsonsidérésfontpartiedesontoursdel'image

ou non.Contrairement à l'inpainting, le faitde ne pasidentier desontours fermés

n'estpasessentiel,ausensoùelainueassezpeusurlerésultat.Toutefois,laméthode

présentéeauparagraphe2.8permetiiaussid'obtenirdesontoursfermés,avemoins

depointsfaussementidentiésommeappartenantauxontours.Laqualitédel'image

restaurée estainsimeilleure.

2.4.5 Couplage des anaux dans le as d'images ouleur

Ilexisteplusieursfaçonsdeonsidéreruneimageenouleur.Enutilisantunespae

adaptépourlareprésentationmulti-dimensionnelle,parexemplel'espaeRGB(rouge-

vert-bleu), l'image en ouleur peut être modélisée par une fontion de

Ω

^dans

R ³

^au

lieu de

R

^. Ûne ^première âpprohe ônsiste ^à ^déoupler ^les ânaux, êt ^résoudre ûn

problème diret et un problème adjoint pour haun desanaux.Mais eséquations

peuvent également être résolues diretement de façon vetorielle pour identier les

images vetorielles

u

^et

p

^. ^Le développement asymptotique topologique reste donné par les équations (2.25-2.26) et (2.28), où les fontions impliquées sont vetorielles,

i.e. le gradient topologique vetoriel est la somme des expressions orrespondant à

(22)

Une autre approhe a été étudiée dans [22℄, en utilisant une norme qui permet

deoupler lesdiérentsanauxentreeux. Dansl'approhedénie parDi Zenzo[83℄,

l'idéeonsiste àonsidérer letenseur destruture

T =

t ₁₁ t ₁₂ t ₂₁ t ₂₂

, t _ij = X 3

k=1

∂u ^k

∂x _i

∂u ^k

∂x _j , 1 ≤ i, j ≤ 2,

^(2.30)

dans le as d'images bi-dimensionnelles. Ce tenseur dérit la struture diérentielle

de l'image, et le gradient de Di Zenzo est dénipar laplus grande valeur propre de

etenseur :

k∇ u k DZ = 1

√ 2

t ₁₁ + t ₂₂ + q

(t ₁₁ − t ₂₂ ) ² + 4t ² ₁₂ ¹ ₂

.

^(2.31)

Grâeàune réériture du gradient à l'aidede lafontion suivante :

H( ∇ u) = 1 + p

1 − 4f ( ∇ u)

2 ,

^(2.32)

ave

f ( ∇ u) = det ² ( ∇ u ¹ , ∇ u ² ) + det ² ( ∇ u ¹ , ∇ u ³ ) + det ² ( ∇ u ² , ∇ u ³ )

( |∇ u ¹ | ² + |∇ u ² | ² + |∇ u ³ | ² ) ² ,

^(2.33)

det ² ( ∇ u ^s , ∇ u ^t ) = ∂u ^s

∂x ₁

∂u ^t

∂x ₂ − ∂u ^t

∂x ₁

∂u ^s

∂x ₂ 2

,

^(2.34)

il est possible de dériver le développement asymptotique de la fontion oût dénie

parl'équation (2.24) danslaquellelanorme utiliséeest elledénieen (2.31) :

G(x ₀ , n) = X 3

k=1

h − πc( ∇ u ^k ₀ (x ₀ ).n)( ∇ v ^k ₀ (x ₀ ).n) − πH( ∇ u ₀ (x ₀ )) |∇ u ^k ₀ (x ₀ ).n | ² i

(2.35)

enutilisant les mêmesnotations quepréédemment .

Dans [22℄, nous montrons que ette approhe a le même oût de alul que l'al-

gorithme où les diérents anaux sont déouplés, alors qu'il permet d'améliorer la

détetion des ontours de l'image, et par onséquent d'obtenir une image restaurée

pluspréiseaux abords desontoursde l'image.

2.5 Classiation [10, 16℄

Dans ette setion, nous nous intéressons au problème de la lassiation d'une

image endiérenteslasses,de façon régularisée et nonsupervisée.

L'idéereposesuruneidéeintroduitedans[150,43℄,onsistantàouplerlalassi-

ationavelarestauration.Nousadaptonsiietteidéeànotreapproheparanalyse

asymptotiquetopologique.

Cettesetionrésumelestravauxprésentésdans[16,10℄sansdétaillerlesrésultats

(23)

2.5.1 Introdution du problème

Soit

v

^l'image ^originale ^dénie ^sur

Ω

^, ^et ^soient

n

^lasses ^(i.e. ^niveaux ^de ^gris, ^ou

ouleurs)

C _i , 1 ≤ i ≤ n

^, ^que ^l'on ^suppose ^prédénies ^pour ^le ^moment. ^Le ^but ^de ^la

lassiation estdetrouverune partitionde

Ω

^ensous-ensembles

Ω i

^,^reouvrant^tout

ledomaine

Ω

^, ^et ^tels ^que

v

^soit ^prohe ^de

C _i

^dans

Ω _i

^.

Uneapprohevariationnellepeutêtredénieàl'aidedelafontionoûtsuivante:

J((Ω _i ) _i=1...n ) = X n

i=1

Z

Ω i

(v(x) − C _i ) ² dx + α X

i6=j

| Γ _ij | ,

^(2.36)

où

Γ _ij

^représente ^l'interfae ^entre ^deuxsous-domaines

Ω _i ∩ Ω _j

^.

La diulté majeure de ette approhe est que les inonnues sont des ensembles

et non des variables, e qui rend l'approhe par analyse asymptotique topologique

partiulière ment appropriéepour traitere problème. Le développement du gradient

topologique ainsiqueles résultatsnumériquessont présentésdans[10℄.

2.5.2 Approhe ouplée restauration-lassiati on

Une autre solution onsiste à oupler la lassiation ave la restauration, en

reprenant l'approhe présentée dans la setion préédente 2.4. L'idée est de lisser

beauoupplus fortement l'image, puis de lalassier sansauune régularisation. En

eet,sil'onenlèveletermederégularisationdel'équation(2.36),elarevientàdénir

Ω _i

^omme ^étant ^l'ensemble ^des ^pixels ^qui ^sont ^plus ^prohes ^de

C _i

^que ^des ^autres

valeurs prédénies. En d'autres termes, les pixels sont assignés aux sous-domaines

représentant leur lasselaplus prohe.

Au lieu de hoisir

c = ε

^ou

c = c ₀

^pour ^le ^problème ^perturbé ^(équation ^(2.29)),

noushoisissonsde dénir

c = c ₁

^ave

c ₁ =

( ε

^sur ^les^ontours ^identiés,

c ₀

ε

^en ^dehors.

(2.37)

L'algorithme estalors lesuivant:

•

^Appliation ^del'algorithmederestaurationdénien setion2.4, enremplaçant (2.29) par (2.37).

•

Classiation non régularisée de l'image

u ₁

âinsi ôbtenue, ên âssignant ^par

exemple haque pixelà salasselaplus prohe.

Comme préédemment , la omplexité de l'algorithme est en

O (n. log(n))

^, ^et ^les

résultatsnumériquesprésentésdans[10℄omparent l'eaitérelative desdiérentes

approhes proposées. De plus, omme ela est présenté, en jouant sur le paramètre

c ₁

^, ^il ^est ^possible ^de régulariser plus ou moins la solution obtenue, et ela permet

(24)

2.5.3 Extension au as non supervisé

Ensupposantque lenombre de lasses

n

^soit ^donné,^mais^pas^leurs ^valeurs

C _i

^, ^il

estpossibledelesdéterminer defaçonoptimale enlesintégrantdanslaminimisation

delafontion oût:

(Ω min i ),(C i ) j((Ω i ), (C i )) = X n

i=1

Z

Ω i

| v(x) − C _i | ² dx + α X

i6=j

| Γ ij | .

^(2.38)

L'idée est de minimiser la fontionnelle

j

alternativement par rapport aux sous- domaineset parrapportauxlasses.Laminimisationpar rapportauxsous-domaines

revient à lassier l'image pour les valeurs

C _i

^, ^et ^la minimisation par rapport aux lassesrevient àimposer

C _i = 1

| Ω i | Z

Ω i

v(x) dx.

^(2.39)

L'algorithme de lassiation nonsuperviséeest alors :

•

Initialisation : hoisirunjeu de lasses

C ₁ , . . . , C _n

^, ^par ^exemple équi-réparties.

•

^Répéter ^jusqu'à^onvergene ^:

Trouverl'image lassiéepourleslasses

C ₁ , . . . , C _n

^en^utilisantl'algorithme préédent.

Mettreà jour leslasses ave (2.39).

De même, si le nombre

n

^de ^lasses ^n'est ^pas ^donné, ôn ^peut âjouter ûn ^terme

supplémentaire

+βn

^dans ^la^fontion ^oût^(2.38), ^et ^minimiser ^également ^par ^rap-

portà

n

^. ^Le^hoix ^du^paramètre^de régularisation

β

^inue^diretement ^sur^le^nombre

delasses qui seraidentié.

2.6 Segmentation [12, 13℄

Lasegmentation onsisteàdéteterautomatiquementlesdiérentesomposantes

d'uneimage.L'idée debaserestelamême,àsavoirqu'ilfautd'abordommener par

herher les ontours de l'image, e qui revient à séparer les diérentes omposantes

del'image.

Plusieurs approhes ont été proposées dans la littérature. On peut iter les ap-

prohesvariationnelles,par exemplebasées surlaminimisationdelafontionnellede

Mumford-Shah[136℄,lesontoursatifsetméthodesdeserpent[55,156℄,lesapprohes

stohastiques[54,61℄,lestransforméesd'ondelettes,...[43,45,42,140,149,150,176℄.

Cette setion présente les prinipaux résultats obtenus dans [12, 13℄. Des tests

numériques ont également été réalisés danses référenes an de montrer l'eaité

(25)

2.6.1 De la restauration à la segmentation

On onsidère à nouveau l'algorithme de restauration dans lequel on utilise la

ondutivité suivante pour leproblèmeperturbé :

c(ε) =

( ε

^sur

ω, 1

ε

^en^dehors ^de

ω,

^(2.40)

où

ω ⊂ Ω

représenteraparlasuitel'ensembledesontoursdel'image.Dansunpremier temps,onsupposeque

ω

^n'est^pasd'intérieurvide,i.e.qu'ilestdeo-dimension

0

^dans

Ω

^. ^En^utilisant ^(2.40), l'algorithmerevientalors à onsidérer leproblème suivant :

( P ε )

 

 

 



− div(ε ∇ u _ε ) + u _ε = v dans ω,

− div 1

ε ∇ u _ε

+ u _ε = v dans Ω \ ω,

∂ _n u _ε = 0 sur ∂Ω,

(2.41)

où

u _ε ∈ H ¹ (Ω)

^, î.e. âve ^la ôndition împliite ^de ^reollement ^de

c(ε)∂ _n u _ε

^des ^deux

tés de

∂ω

^.

Nousavonsalors lerésultat asymptotiquesuivant [12℄ :

Théorème 2.2 Si

u _ε

^est ^l'unique ^solution ^du ^problème

( P ε )

^dans

H ¹ (Ω)

^, ^alors

ε→0 lim ( k∇ u _ε − ∇ u ₀ k L ² (Ω\ω) + k u _ε − u ₀ k L ² (ω) ) = 0,

^(2.42)

où

u ₀ ∈ H ¹ (Ω \ ω) ∩ L ² (Ω)

^est ^la ^solution ^de

( P 0 )

 

 

 



u ₀ = v dans ω,

− div ( ∇ u ₀ ) = 0 dans Ω \ ω,

∂ _n u ₀ = 0 sur ∂ω,

∂ _n u ₀ = 0 sur ∂Ω.

(2.43)

Cerésultatnousindiquequ'onpeutapproherl'imagesegmentée

u ₀

^à^l'aide^de

u _ε

^.

Désormais,on suppose que

ω

^est ^de o-dimension

1

^dans

Ω

^, ^e ^qui^permet ^de ^mieux

gérer la situation réelle. En eet, du point de vue desappliations, il est naturel de

onsidérer que les ontours forment un ensemble de dimension

1

^lorsque ^l'image ^est

de dimension

2

^par êxemple.^Pour ^garder ^la ôhérene âve ^les ^setions préédentes, nousnoterons désormais

σ

êtênsemble,^qui^désigne ^don^lesôntours^de^l'image.Ôn

suppose que et ensemble est onnu, grâe à la méthode de détetion des ontours

quenousavonsvue àplusieurs reprises préédemment .

Leproblème

( P ε )

^devient ^désormais

( ˜ P ε )

 

 

 



− div 1

ε ∇ u _ε

+ u _ε = v dans Ω \ σ,

∂ _n u _ε = 0 sur σ,

∂ _n u _ε = 0 sur ∂Ω,

(2.44)

où

u _ε ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^. ^L'existene êt ûniité ^de ^la ^solution êst^garantie ^si

v ∈ L ² (Ω)

^. ^Le

(26)

Théorème2.3 Si

u _ε

^est ^l'unique ^solution^du ^problème

( ˜ P ε )

^dans

H (Ω \ σ)

^, ^alors

k u _ε k L ² (Ω) ≤ k v k L ² (Ω) , k∇ u _ε k L ² (Ω\σ) ≤ √

ε k v k L ² (Ω) ,

^(2.45)

et

ε→0 lim k∇ u _ε − ∇ u ₀ k L ² (Ω\σ) = 0,

^(2.46)

où

u ₀ ∈ H ¹ (Ω \ σ)

^est ^l'unique ^solution^de

( ˜ P 0 )

 

 

 

 



− div ( ∇ u ₀ ) = 0 dans Ω \ σ, Z

Ω i

u ₀ = Z

Ω i

v ∀ Ω _i

^omposante ^onnexe ^de

Ω \ σ,

∂ _n u ₀ = 0 sur σ,

∂ _n u ₀ = 0 sur ∂Ω.

(2.47)

La résolution direte du problème

( ˜ P 0 )

^peut ^s'avérer extrêmement oûteuse en pratique, à ause du très mauvais onditionnement du système. L'idée est alors de

résoudredesapproximations

( ˜ P ε )

^, ^et^d'approher ^la^solution

u ₀

^à^l'aide^des^solutions

u _ε

^ainsionstruites.

2.6.2 Développement en série entière

Nousallons nousappuyer sur ledéveloppement en série entière de lasolution

u _ε

pour onstruire une suite d'approximations [12℄ :

Théorème2.4 Il existe une onstante

ε _R > 0

^et^une ^famille^de ^fontion

(u n ) _n∈ ^N

^de

H ¹ (Ω \ σ)

^telle^que ^pour ^tout

0 ≤ ε ≤ ε _R

^,

u _ε = X ∞

n=0

u _n ε ⁿ .

^(2.48)

De plus,

u ₀

^est ^l'unique ^solution ^du ^problème

( ˜ P 0 )

^, ^et ^les ^autres ^fontions ^sont ^les

uniquessolutions dans

H ¹ (Ω \ σ)

^des ^problèmes^respetifs ^suivants ^:

( ˜ P 1 )

 

 

 

 



− div ( ∇ u ₁ ) = − u ₀ + v dans Ω \ σ, Z

Ω i

u ₁ = 0 ∀ Ω _i

Ω \ σ,

∂ _n u ₁ = 0 sur σ,

∂ _n u ₁ = 0 sur ∂Ω,

(2.49)

n ≥ 2, ( ˜ P n )

 

 

 

 



− div ( ∇ u _n ) = − u _n−1 dans Ω \ σ, Z

Ω i

u _n = 0 ∀ Ω i

Ω \ σ,

∂ _n u _n = 0 sur σ,

∂ _n u _n = 0 sur ∂Ω.

(27)

Onpeut alors dénir lafontion suivante :

f (ε) := u _ε ∈ H ¹ (Ω \ σ),

^(2.51)

qui admet le développement en série entière (2.48) autour de l'origine. On onsidère

alors unefamille depoints

(ε i )

^hoisis^dans^un^intervalle

[ε c , ε _R ]

^,^où

ε _c

^est ^une^valeur

ritique pour laquelle on estime qu'il n'est plus raisonnable de résoudre numérique-

mentleproblème

( ˜ P ε )

^,^et

ε _R

êstînférieurâu^rayon^deônvergene^de^la^série.^À^l'aide

deespoints,nouspouvonsdénirdespolynmesd'interpolat iondedegréarbitraire:

g _N (ε) = X N

i=1



 Y N

j=1,j6=i

ε − ε _j ε _i − ε _j



 u _ε _i ,

^(2.52)

où

N

^est^le ^nombre ^de ^points

ε _i

^hoisis,^et

g _N

^est^alors ^de ^degré

N − 1

^.

L'analyitéde lafontion

f

^permet ^d'estimer ^l'erreur d'approximation, et d'ar- mer que

k u ₀ − g _N (0) k H ¹ (Ω\σ) = O (ε ^N _c ).

^(2.53)

2.6.3 Algorithme

Onpeut alors dénir l'algorithme suivant, baséen partie surl'algorithme deres-

tauration dénien setion2.4:

•

^Résoudre ^les ^problèmes ^diret ^(2.21) êt âdjoint ^(2.27) ^non ^perturbés^(i.e. âve

c = c ₀

^partout).

•

^Assembler ^la ^matrie

M (x)

^dénie ^par ^(2.28) êt âluler ^la ^vâleur ^propre

λ _min (M(x))

^la^plus ^négative ^en ^haque ^point^du ^domaine.

•

^Dénir ^l'ensemble^des^ontours ^:

σ = { x ∈ Ω; λ _min < α < 0 }

^où

α

^est^un^÷-

ient de seuillagenégatif.

•

^Dénir ^la^valeur ^ritique

ε _c > 0

^en ^dessous^de ^laquelle^la^résolution ^numérique

duproblème

( ˜ P ε )

^est^diile.

•

^Choisir ^le ^degré

N

^de l'approximatio n pour que la norme du résidu soit en

O (ε ^N _c )

^, ^et

N

^valeurs^diérentes

(ε _i )

^.

•

^Résoudre ^les

N

^problèmes

( ˜ P ε i )

^.

•

^Caluler ^la^valeur ^en

0

^du^polynmed'interpolat ion

g _N

^déni^par ^(2.52).

Laomplexitédeetalgorithmeestdonen

O (N.n. log(n))

^,^où

n

^est^le^nombre^de

pixelsdel'image,et

N

^est^le^degré^del'approximatio nparinterpolatio n.Typiquement, dansles testsnumériques,

N

^est^de ^l'ordre^de

2

^à

5

^.

Destestsnumériquesont étéréalisés pour montrer l'intérêt de etalgorithme, et

sont présentésdans[12℄.

2.7 Complexité des algorithmes [13, 16℄

Nousprésentons ii les tehniques quenous avons utilisées pour résoudre les dif-

R 2 (ou R 3). On onsidère une équation aux

4408

5 ∗

Ω

R 2

R 3

Ω

u ∈ V

a(u, w) = l(w), ∀ w ∈ V ,

V

Ω

H 1 (Ω)

a

V

l

V

J

u

J(Ω, u)

σ ρ = x 0 + ρσ(n)

x 0 ∈ Ω

σ(n)

n

ρ > 0

Ω ρ = Ω \ σ ρ

u ρ ∈ V ρ

a ρ (u ρ , w) = l ρ (w), ∀ w ∈ V ρ ,

V ρ

a ρ

l ρ

V

Ω ρ

ρ

j : ρ 7→ Ω ρ 7→ u ρ

7→ j(ρ) := J (Ω ρ , u ρ ).

j

ρ

0

j(ρ) − j(0) = f(ρ)G(x 0 ) + o(f (ρ)),

f (ρ)

0

ρ

0

G(x 0 )

x 0

j

G

L ρ

V ρ

f : R + → R +

4

δJ 1

δJ 2

δa

δl

• lim

ρ→0 f (ρ) = 0

• J (Ω ρ , u ρ ) − J (Ω ρ , u 0 ) = L ρ (u ρ − u 0 ) + f(ρ)δJ 1 + o(f (ρ)),

• J (Ω ρ , u 0 ) − J (Ω, u 0 ) = f (ρ)δJ 2 + o(f (ρ)),

• (a ρ − a 0 )(u 0 , p ρ ) = f (ρ)δa + o(f (ρ)),

• (l ρ − l 0 )(p ρ ) = f (ρ)δl + o(f (ρ))

p ρ

a ρ (w, p ρ ) = − L ρ (w), ∀ w ∈ V ρ ,

u ρ

j

G(x) = δJ 1 + δJ 2 + δa − δl.

Ω

σ ∗

φ ∈ H −1/2 (Γ)

Γ

Ω

σ ⊂ Ω

u ∈ H 1 (Ω \ σ)

 



∆u = 0 dans Ω \ σ,

∂ n u = φ sur Γ,

∂ n u = 0 sur σ,

u | Γ = T

T ∈ H 1/2 (Γ)

R ²

R ³

H ¹ (Ω)

σ _ρ = x ₀ + ρσ(n)

x ₀ ∈ Ω

Ω _ρ = Ω \ σ _ρ

u _ρ ∈ V ρ

a _ρ (u ρ , w) = l _ρ (w), ∀ w ∈ V ρ ,

a _ρ

l _ρ

j : ρ 7→ Ω _ρ 7→ u _ρ

7→ j(ρ) := J (Ω _ρ , u _ρ ).

G(x ₀ )

x ₀

L _ρ

f : R ⁺ → R ⁺

δJ ₁

δJ ₂

• J (Ω ρ , u _ρ ) − J (Ω ρ , u ₀ ) = L _ρ (u ρ − u ₀ ) + f(ρ)δJ 1 + o(f (ρ)),

• J (Ω _ρ , u ₀ ) − J (Ω, u ₀ ) = f (ρ)δJ ₂ + o(f (ρ)),

• (a _ρ − a ₀ )(u ₀ , p _ρ ) = f (ρ)δa + o(f (ρ)),

• (l ρ − l ₀ )(p ρ ) = f (ρ)δl + o(f (ρ))

p _ρ

a _ρ (w, p _ρ ) = − L _ρ (w), ∀ w ∈ V ρ ,

u _ρ

G(x) = δJ ₁ + δJ ₂ + δa − δl.

σ ^∗

φ ∈ H ^−1/2 (Γ)

u ∈ H ¹ (Ω \ σ)

∂ _n u = φ sur Γ,

∂ _n u = 0 sur σ,

T ∈ H ^1/2 (Γ)

u _D ∈ H ¹ (Ω \ σ)

∆u _D = 0 dans Ω \ σ, u _D = T sur Γ,

∂ _n u _D = 0 sur σ,

u _N ∈ H ¹ (Ω \ σ)

∆u _N = 0 dans Ω \ σ,

∂ _n u _N = φ sur Γ,

∂ _n u _N = 0 sur σ.

σ = σ ^∗

2 k u _D − u _N k ² L ² (Ω) .

u _D (σ) ∈ H ¹ (Ω \ σ)

∆u _D = 0 dans ω \ σ, u _D = v sur γ,

∂ _n u _D = 0 sur σ, u _D = v dans Ω \ ω.

u _N ∈ H ¹ (Ω \ σ)

∆u _N = 0 dans ω \ σ,

∂ _n u _N = ∂ _n v sur γ,

∂ _n u _N = 0 sur σ, u _N = v dans Ω \ ω.

∂ _n u _N = ∂ _n v sur γ,

∂ _n u _N = 0 sur σ,

− α∆u N + u _N = v dans Ω \ ω,