Conlusions et perspetives

Nous avons utilisé la tehnique de détetion de ssures, qui s'appuie sur le

gra-dient topologique, dans le but d'étudier plusieurs aspets du traitement d'images :

inpainting, restauration, segmentation, lassiation. Dans toutes es appliations,

nous avons obtenu de très bons résultats, et surtout dans un temps de alul très

ourt.

Les méthodes présentées ii peuvent s'appliquer indiéremment aux images en

noir et blan, en ouleur, bi- ou tri-dimensionn elles, ainsi qu'aux lms. En eet, la

omplexité à la fois théorique et numérique que nous obtenons pour tous es

algo-bi-proesseur, ave un programmeérit en++ ).

Unautreavantagerésidedanslefaitquetouslesalgorithmesquenousavons

pré-sentésiis'appuientsurlemêmenoyau,puisqueleséquationsauxdérivéespartiellesà

résoudresonttoutes dumême type.Cela simpliepartiulière ment lamiseen÷uvre

pratiquede esalgorithmes grâeà ette baseommune.

Plusieurs pistes restent à l'étude, omme par exemple la possibilitéd'utiliser des

opérateurs diérentiels d'ordre plus élevé que le Laplaien, dans le but de

reons-tituer une information sur le gradient de l'image. Par exemple, dans le as de

l'in-painting,l'image reonstruiteestaneparmoreauxdanshaquezone délimitéepar

les ontours identiés. En utilisant le même type de tehnique, la reonstrution du

gradient de l'image devrait permettre de reonstruireplus préisément l'image.

Assimilation de données : le

nudging diret et rétrograde

Cehapitre résumeles travauxontenus dans[8,11, 14, 18, 21, 24, 25℄.

3.1 Introdution

L'assimilationdedonnées,enmétéorologieommeenoéanographie,onsiste

sou-ventà identier l'étatinitiald'un systèmedynamiqueàpartir d'observations.Lebut

prinipal estd'améliorerlaonnaissane del'étatatuel dusystème,pourendéduire

desprévisions ables desonévolution future[116, 53, 163℄.

Le nudging est une méthode d'assimilation de données basée sur la relaxation

dynamique,danslebutd'ajusterlemodèleet deleontraindreverslesobservations.

L'algorithmestandarddunudgingonsisteàajouterauxéquationsd'étatdusystème

unterme de rappel, proportionnel à ladiérene entrelesobservations etlaquantité

orrespondante alulée par la résolution des équations d'état. Le modèle apparaît

alors omme une ontrainte faible et leterme derappelfore lesvariablesdu modèle

à oller aux observations. Ce terme de rappel peut être ajusté grâe à un ÷ient

(ou unematrie,suivantles as).Ilest généraleme nt hoisidelafaçon suivante dans

les expérienes numériques : susamment petit pour que le terme de nudging reste

faible en omparaison ave les autres termes deséquations du modèle, et également

assez grand pour ontraindresusamment lemodèle versles observations.Le terme

denudgingpeutêtrevuommeuntermedepénalisationdumodèlelorsqu'ils'éloigne

trop des données. À noter que la méthode du nudging diret est également appelée

observateurde Luenberger dansle domaine del'automatique et duontrle [129℄.

Le nudging est une méthode d'assimilation de données très simple, et nettement

pluséonomique (d'unpoint devuedelamiseen÷uvrepratique)quelaplupartdes

autres méthodes, et en partiulier des algorithmes variationnels omme le 4D-VAR

[123℄. Initialement introduiten météorologi e [106℄,le nudging (enore appelé

relaxa-tion newtonienne ) a ensuite été utilisé ave suès en oéanographie sur un modèle

quasi-géostrophique[168,170,57℄,puisappliquéàunsystèmeoéanographique

méso-éhelle opérationnel [160℄. Les ÷ients du nudging peuvent être hoisis de façon

optimaleenutilisantuneméthoded'estimationdeparamètresparapprohe

variation-nelle[159,180℄.Les÷ientsainsiobtenus sontoptimauxausensoùils permettent

d'obtenir la plus petite diérene entre la trajetoire du modèle et les observations.

Uneomparaison entrelenudgingoptimalet lesméthodesbasées surleltrede

Kal-mana étéréalisée dans[172℄. Le prinipal inonvénient de es méthodes de nudging

optimal est qu'elles néessitent la mise en ÷uvre et la résolution des équations du

modèleadjoint, e quin'est pasutile pour lenudging standard.

Lenudgingrétrogradeonsisteàrésoudreleséquationsd'étatdumodèledefaçon

rétrograde en temps, en partant d'une observation de l'état du système à l'instant

nal. Un terme de rappel, ave un signe opposé à elui introduit dans le nudging

diret, est ajouté aux équations du système, et l'état obtenu à l'instant nal est en

faitunétat initial dusystème [1℄.

L'algorithme du nudging diret et rétrograde (Bak and Forth Nudging, BFN)

introduitdans[18℄ onsiste àrésoudred'abord les équationsdiretes du modèleave

le terme de nudging, puis en repartant de l'état nal ainsi obtenu, à résoudre les

mêmes équations de façon rétrograde ave un terme de rappel opposé à elui du

nudging diret. On obtient ainsi à la n de la résolution rétrograde une première

estimation de l'état initial. Ce proédé est alors répété de façon itérative jusqu'à

obtenir laonvergene del'état initial.

Cetalgorithmepeutêtreomparéau4D-VAR(algorithmevariationnel

d'assimila-tiondedonnéesendimension3d'espaeet1detemps[123℄),quionsisteaussienune

suession de résolutions de systèmes direts et rétrogrades. Mais dans l'algorithme

BFN, il est inutile, même pour des problèmes non linéaires, de linéariser le modèle

omme dans le 4D-VAR, et le système rétrograde n'est pas l'équation adjointe mais

lesystèmedeséquations dumodèle ave un terme derappelqui en faitunproblème

bienposé.

Nous pouvons iter ii quelques autres algorithmes reposant également sur des

résolutiondiretes et rétrogrades.Une approhesimilaireest étudiéedans[162, 161℄,

à la diérene prinipale qu'à haque instant d'observation, la trajetoire du

mo-dèle est remplaée par les observations. Cela orrespond à notre algorithme dans le

aspartiulier de ÷ients de nudging innis et d'un système physique réversible.

L'algorithme du quasi-inverse est une autre méthode direte-rétrograde, mais sans

rapport ave le nudging [116℄. Eneet, danset algorithme, le signe destermes

dis-sipatifsesthangé dansleséquations rétrogrades pour desraisonsdestabilité. Notre

algorithmeutilise unterme derelaxationpour stabiliserles équationsrétrogrades, et

ainsionserver lebonsigne pour lestermes dissipatifs.

Au ours de e hapitre, nous dénissons tout d'abord l'algorithme du nudging

diret et rétrograde, ou BFN, dans un adre général. Puis nous présentons des

ré-sultats théoriques de onvergene dans des as simpliés (observations omplètes et

nonbruitées),surdiérentstypesde modèles: modèles linéaires, équationsde

trans-port(linéairesounon,diusivesounon).Puisnouslistonslesdiérentesexpérienes

numériques qui ont été réalisées, et donnons les prinipales onlusions qui peuvent

l'automatique (où lenudgingpeut être reliéà ertainsobservateurs), nousmontrons

qu'ilestnotammentpossibledeorrigerlesvariablesdumodèlenonobservéesàpartir

de elles qui le sont, et grâe à elà améliorer les résultats obtenus. Enn, quelques

onlusionset perspetivessont donnéesà lande e hapitre.

3.2 Algorithmedu nudgingdiretetrétrograde,ouBak

and Forth Nudging (BFN) [8, 11, 18℄

3.2.1 Nudging diret

Pour simplierlesnotations, noussupposonsqueleséquations dumodèleontété

disrétiséesspatialement,àl'aided'une méthode auxdiérenesnies,élémentsnis

ouuneméthodespetrale.Nousonsidéronsainsiunmodèleontinuentempset régi

par deséquations dynamiques dutype

dX

dt = F (X), 0 < t < T,

^(3.1)

ave une ondition initiale

X(0) = x ₀

^. ^Dans ^ette ^équation,

F

^représente ^l'ensemble

des opérateurs diérentiels spatiaux et autres termes (linéaires ou non linéaires) du

modèle.

Soit

C

l'opérateurd'observation, permettantderelierlesobservationsdusystème

X _obs (t)

^aux^quantitésorrespondante s

C(X(t))

^alulées^à^partir^destrajetoires

X(t)

du modèle. Dans la pratique, l'opérateur d'observation

C

^modélise essentiellement deux phénomènes. D'une part, les observations ne sont pasfaitesexatement sur les

points de grille du modèle numérique, et il faut don interpoler entre les points du

maillage.D'autrepart,lesobservationsneorrespondent pasforémentauxvariables

du modèle, mais à une autre quantité physique pouvant s'y relier. Par exemple, les

satellites mesurent des radianes, qui peuvent être reliées aux variables du modèle

ommelatempératureoulahauteurd'eau.Saufmentionontraire,nousnesupposons

pasdansette étudeque

C

êstûn ôpérateur ^linéaire.

Lenudgingstandard appliqué àl'équation (3.1) donne lemodèlesuivant:

dX

dt = F (X) + K(X _obs − C(X)), 0 < t < T,

^(3.2)

enonservant lamême onditioninitiale,et où

K

^représente^la^matrie ^(ou

éventuel-lement un ÷ient) de nudging, ou gain. Le modèle devient ainsi une ontrainte

faible, puisqu'il n'est plus satisfait exatement. Le terme de nudging a pour but de

forer le modèle vers les observations. Dans un adre linéaire,'est exatement

l'ob-servateur de Luenberger, ou observateur asymptotique, danslequel lamatrie

K

^de

nudgingpeutêtrehoisiedesortequel'erreurtendevers

0

^en^tempsⁱⁿⁿⁱ^[129℄.^Mais

danslesappliationsgéophysiques,nousnepouvonspastoujoursonsidéreruntemps

3.2.2 Nudging rétrograde

L'idée du nudging rétrograde onsiste à repartir de la ondition nale obtenue à

lan de larésolution de (3.2) et à revenir à l'instant initial grâe aux équations du

modèle. Si l'ononsidère lemodèle rétrogradeorrespondant à (3.1),on obtient

d X ˜

dt = F ( ˜ X), T > t > 0,

^(3.3)

ave une ondition nale

X(T ˜ ) = ˜ x _T

^. ^Lorsque ^le ^modèle ^diret ^est irréversible (ou dissipatif),e problème est généralement mal posé. Pour lestabiliser, nousajoutons

unterme de rappelauxobservations ave unsigne opposé:

d X ˜

dt = F ( ˜ X) − K ^′ (X _obs − C( ˜ X)), T > t > 0,

^(3.4)

où

K ^′

^est^la^matrie ^de ^nudging rétrograde.

La résolution de e modèle rétrograde permet d'obtenir une solution à l'instant

t = 0

^, ^qui ^peut ^être^vueômme ûne ^nouvelleêstimation ^de ^l'étatînitial ^du ^système.

3.2.3 Algorithme BFN

L'algorithme du nudging diret et rétrograde (Bak and Forth Nudging) a été

introduitdans[18℄.Il onsisteà résoudrealternativement et itérativement l'équation

direteave nudging(3.2)et l'équationrétrogradeave nudging(3.4),en repartantà

haque fois de ladernière solution alulée. L'algorithme peut s'ériresous la forme

On peut remarquer que si les trajetoires direte et rétrograde onvergent vers

la même limite, alors en faisant la somme et la diérene des deux équations dans

(3.5),latrajetoirelimite estsolution dumodèle diret (3.1) etelle oïnide ave les

observations à travers l'opérateur d'observation

C

^et ^la^matrie ^de^gain

K

Dans la pratique, les observations sont disrètes en temps, e qui revient à dire

quele veteur

X _obs

^n'est ^disponible êt ûtilisable ^qu'à êrtains înstants

(t _i ) _i=1...N

^. ^Le

terme denudgingest alors ajoutéuniquement à esinstants-là :

dX

dt = F (X) + X N

i=1

K(X _obs − C(X))δ(t − t _i ), 0 < t < T.

^(3.6)

3.2.4 Choix des matries de nudging et interprétations

Nousallons maintenant expliquer et justier le hoix desmatries de nudging, à

traversdiérentes interprétations dunudging.

Interprétation variationnelle du nudging

Conernantlamatriedenudgingdiret,laméthodeayantétébeauoupétudiéeet

utiliséedansles

30

^dernièresânnées^[106,^168,^160,^159℄,îlêxiste^plusieurspossibilités pourxerlamatrie

K

^de^nudging^diret.^La^plus^onnue^est^la^méthode^du^nudging

optimal, permettant de déterminer les ÷ients optimaux grâe à une méthode

variationnelle d'estimation de paramètres [180, 172℄.

Nous pouvons déjà noter qu'imposer

K = 0

^dans ^(3.2) ^nous ^ramène ^aux

équa-tions du modèle (3.1). D'un autre té, imposer

K = + ∞

^revient ^à ^substituer ^les

observations à la trajetoire du modèle à haque instant d'observation. L'unomme

l'autre ont l'inonvénient deprivilégier l'unedesdeux souresd'information(modèle

et données) auxdépensde l'autre.

Soit

R

^la^matrie^deôvâriane^desêrreursd'observation.Cettematrieintervient danslesméthodeslassiquesd'assimilationdedonnées,aussibienvariationnelles

(3D-VAR,4D-VAR, 4D-PSAS,...)que séquentielles(ltres dérivés dultre de Kalman)

[78, 90, 144, 99, 100℄. En pratique, on ne onnaît pas exatement les statistiques

d'erreur, et on onsidère don une approximation de ette matrie, qu'on suppose

symétriquedénie positive.

On suppose ii que le modèle est linéaire, i.e. que

F

êst ûn ôpérateur ^linéaire.

Onsupposeégalement que

F

^représente ^un^opérateur symétrique. Une disrétisation temporellelassique (méthoded'Euler impliite) de l'équation(3.2) estlasuivante :

X ⁿ⁺¹ − X ⁿ

∆t = F X ⁿ⁺¹ + K(X _obs − CX ⁿ⁺¹ ),

^(3.7)

où

∆t

^représente ^le^pas^de disrétisation temporelle, et

X ⁿ

^représente ^la^solution ^du

problème disretà l'insant

t _n

Enhoisissant

K = C ^T R ⁻¹ ,

^(3.8)

alors leproblème (3.7) estéquivalent au problèmed'optimisation suivant:

X ⁿ⁺¹ =

^arg

min

X

1 2 h X − X ⁿ , X − X ⁿ i − ∆t

2 h F X, X i

^(3.9)

+ ∆t

2 h R ⁻¹ (X _obs − CX ), X _obs − CX i

.

Les deux premiers termes orrespondent exatement à l'énergie du modèle diret

disrétisé,etlederniertermeestlapartierelativeauxobservationsdelafontionnelle

oûtde l'algorithme4D-VAR [123℄.Ceprinipe variationnelmontre qu'àhaquepas

detemps,lenudgingdiret revient àfaireunompromisentreminimiserl'énergie du

Commeonséquene direte,nousonstatonsqu'iln'yaauune néessité

d'intro-duireunterme supplémentaire de régularisation,omme 'estleasdansle4D-VAR

ave un terme de rappel à une ébauhe de la ondition initiale. Dans l'algorithme

BFN,ilsut d'initialiser ave l'ébauhe, sansbesoin d'avoirune information surses

statistiquesd'erreur,etsanslaprendreenonsidérationdanslerestedel'algorithme.

Le BFN fournit automatiquement une orretion du modèle grâe aux

observa-tions, et le modèle est alors une ontrainte faible. L'énorme avantage est que ette

méthodeestmoinssensibleaufaitquelemodèlethéoriquenemodélisepasforément

bienlaréalité.

À noterquedansles asnonlinéaires, leterme

h F X, X i

^de ^l'équation^(3.9) ^peut

êtreremplaé par unterme

− G(X)

^, ^où

G

^est ^l'énergie ^du^système ^àl'équilibre.

Interprétation séquentielle

Une interprétation stohastique (ou séquentielle) du nudging est également

pos-sible, en le rapprohant du ltre de Kalman. En eet, dans les périodes de temps

oùles observations ne sont pas disponibles, le nudging serésume, omme leltre de

Kalman, à intégrer les équations du modèlepour propager lasolution dansle temps

[8℄.

Lorsque des observations sont disponibles, la solution du modèle est orrigée en

utilisantl'éartentrelesobservationset latrajetoiremodèle,omme dansleltrede

Kalman.Toutefois,nousneonsidéronspasdansleBFNdematriesdegainoptimales

danslebut d'alléger lamise en ÷uvrepratique de l'algorithme, ainsi queson temps

de alul. Le nudging peut ainsi être vu omme un ltre de Kalman sous-optimal.

Toutefois,lefaitderésoudrealternativement deséquations diretesetrétrogrades en

tempspermet d'améliorertrèssensiblementlesrésultatspar rapportàlaméthodedu

nudgingstandard.

Méthode de plaement de ples et matriede nudging rétrograde

Le terme de nudgingdans l'équationrétrograde a undouble rle : ontraindre le

modèleà resterprohe desobservations,et stabiliser larésolution rétrograde du

mo-dèle.Eneet,l'irréversibilitédesphénomènesphysiquesonsidérésfaitqu'en général

lesystèmerétrograde estinstable.

Enfaisant unhangement de variabledansl'équation(3.4) pour serameneràun

temps roissant, onobtient (en supposant une foisenore lesopérateurslinéaires) :

− d X ˜

dt ^′ = F X ˜ − K ^′ (X _obs − C X), ˜

^(3.10)

ave

t ^′ = T − t

^. ^La^matrie^de^stabilité^du^système^est^don

− F − K ^′ C

^,^et ^la^stabilité

numérique est garantie si toutes les valeurs propres de ette matrie sont à partie

réellenégative.

Lethéorèmesuivant[80,41,60,167℄,onnusouslenomdeméthodedeplaement

de ples, permet d'obtenir l'existene d'une matrie de nudging rétrograde

K ^′

^qui

Théorème 3.1 Si le système

(F, C)

^est observab l e, alors il existe une matrie

K ^′

telleque toutes les valeurs propres de

− F − K ^′ C

^soient ^à ^partie ^réelle ^né^gative.

L'observabilité du système est équivalente au fait que le rang de la matrie

[C, CF, . . . , CF ⁿ⁻¹ ]

^est ^égal ^à

n

^, ^où

n

^est ^la ^dimension ^du ^problème ^physique

dis-rétisé.

Unetellematrie

K ^′

^peut^parfois^êtreêxhibée,^àôndition^de^résoudreâu^préalable

deséquations du typeRiati, e qui s'avère relativement oûteux en pratique.

3.3 Expérienes numériques [11, 14, 21℄

3.3.1 Valeurs numériques des matries de nudging

D'un point de vue pratique, les expérienes numériques ont pour la plupart été

réalisées ave une matrie de nudgingfaileet rapide à implémente r:

K = C ^T (kI ) = kC ^T ,

^(3.11)

où

k

êst ûn ^÷ient ^salaire ^de ^gain, êt

I

^est ^la ^matrie ^identité ^de ^l'espae ^des

observations.Cehoixestmotivéparplusieursremarques.Premièrement,lesmatries

de ovariane telles que

R

^sont généraleme nt mal déterminées. Par ailleurs, e hoix estextrêmement simple et nenéessitepasd'appliquerune méthode d'estimation de

paramètres. Enn, lehoix naturel de lamatrie de nudgingest

K = C ^T L

^où

L

^est

un opérateur linéaire sur l'espae des observations. En eet, si les observations ne

sont pas loalisées aux points du maillage, la matrie

K

^aura ^le ^rle ^de ^ramener ^la

orretion

X _obs − C(X)

^des^points d'observation versles points dumaillage.

Demême,pour lamatrierétrograde, noushoisissons généralement

K ^′ = C ^T (k ^′ I ) = k ^′ C ^T ,

^(3.12)

ommedansleasdiret.Cehoixestégalementmotivéparlasimpliitéetlarapidité

de notreméthode danse aslà.

Lesdeuxuniquesparamètres de ette méthode deviennent alors les salaires

k

^et

k ^′

^. ^Le^salaire

k > 0

^estgénéralement xédesorte queleterme denudgingsoit petit par rapportaux termesdu modèle ande respeterle ompromisentrele modèleet

les observations. Le salaire

k ^′ > 0

^est ^quant ^à ^lui ^hoisi ^omme ^étant ^le ^plus ^petit

÷ient quistabilise larésolution numérique de l'équationrétrograde.

3.3.2 Méthodologie expérimentale

Nous avons ensuite testé notre algorithme sur de nombreux modèles linéaires et

nonlinéaires,haotiquesougéophysiquessimpliés.L'approheestlamêmedanstous

lesas.Elleonsisteàréaliserdesexpérienesjumellesavedesdonnéessimulées.Une

premièrerésolutionpermetd'extrairedesdonnéesdisrètesentempsetenespae.Ces

Laonditioninitialeutiliséepourinitialiserl'algorithmeorrespondsuivantlesas

à un hamp onstant, ou à lasolution du modèle de référeneà un instant diérent

etavedu bruit.Cettetehniquepermetde simulerdesdonnéesaveunerépartition

spatio-tempore lleetunbruitdemesureàpeuprèsréalistes,avel'avantagedepouvoir

omparerlesrésultatsàlasolutionexate,i.e.elleutiliséepour générerles données.

3.3.3 Modèles étudiés

Nousprésentonsiilesdiérentsmodèlessurlesquelsnousavonstesté etomparé

notrealgorithme. Nousrenvoyonsdanshaque asàdesréférenespour ledétaildes

expérienes et lesrésultatsorrespondants.

Système de Lorenz

NousavonsonsidérélesystèmedeLorenzdansuneonguratio nhaotique[127℄:

 

Cesystèmed'équationsdiérentiellesordinaires en dimension 3,dont lestrajetoires

prennentlaformearatéristiquedesailesd'unpapillon,possèdedeuxattrateurs,

au-tourdesquelslasolutionosille,passantdel'unàl'autredefaçonhaotique.Lestests

numériques, résultatsde onvergene,et omparaison ave laméthodevariationnelle ,

sontdétaillés dans[11℄.

Équation de Burgers visqueux

Nous avons ensuite onsidéré un modèle non linéaire géophysique extrêmement

simple,orrespondantàl'équationdeBurgerssurundomainepériodiqueendimension

où

s

^représente ^l'absisse ^urviligne ^sur ^le

45 ^o

^parallèle ^nord, ^et

t

^est ^le ^temps. ^Ce

modèlepeut êtrevuomme laprojetion 1Dd'un modèlebi-dimensionnel de

irula-tionmétéorologiqueàunepression(oualtitude)xée.Nousavonshoisilapériodedu

domaine,lesintervallesdetempsonsidérés,ainsiquelarépartitionspatio-temporelle

desobservations and'obtenir une situationomparable à laréalité.

Ilfautnoterquee systèmeestnonlinéaire,etsurtout irréversible(ardissipatif)

à ause du terme de diusion. Néanmoins, nous avons onstaté qu'il était possible

derésoudre leproblème rétrograde grâeaux observations. Lesrésultats numériques

montrant laonvergene et la omparaison de etalgorithme ave la méthode

varia-tionnellesontdétaillésdans[11℄.D'autresexpérienes numériquesdansunesituation

Modèle shallow water (ou équations de Saint-Venant)

Lemodèleshallow water (ou équations de Saint-Venant) estgénéralement utilisé

en oéanographie, en hydrologie et en méanique des uides. Il dérit l'évolution

d'un uide bi-dimensionnel à l'aidede 3 équations. Ces équations proviennent d'une

intégration vertiale deshamps tri-dimensionnels, dansle adre de l'approximatio n

hydrostatique (i.e. en négligeant l'aélérati on vertiale). Plusieurs variantes de e

modèle existent, etnousnouslimitonsà laformulation suivante qui faitintervenirla

hauteur duuide :

Bernoulli,

g ^∗

^est^la^gravité^réduite,

f

^la^fore^de ^Coriolis,

ρ ₀

^la^densité^du^uide,

r

^le

÷ientdefritionlatérale,et

ν

^la^visosité.^Les^trois^variables^sont

(u, v, h)

respe-tivementlesdeuxomposanteslongitudinale ettransversaledelavitessehorizontale,

et lahauteurd'eau. Enn,

τ

^représente ^le^terme^de^ouplage ^du^modèle,représentant un forçagepar levent.

Deplus amplesdétails sur e modèle sont disponibles dans[56℄. Lesrésultats de

Dans le document R 2 (ou R 3). On onsidère une équation aux (Page 31-0)

dX

dt = F (X), 0 < t < T,

X(0) = x 0

F

C

X obs (t)

C(X(t))

X(t)

C

C

dX

dt = F (X) + K(X obs − C(X)), 0 < t < T,

K

K

0

d X ˜

dt = F ( ˜ X), T > t > 0,

X(T ˜ ) = ˜ x T

d X ˜

dt = F ( ˜ X) − K ′ (X obs − C( ˜ X)), T > t > 0,

K ′

t = 0

C

K

X obs

(t i ) i=1...N

dX

dt = F (X) + X N

i=1

K(X obs − C(X))δ(t − t i ), 0 < t < T.

30

K

K = 0

K = + ∞

R

F

F

X n+1 − X n

∆t = F X n+1 + K(X obs − CX n+1 ),

∆t

X n

t n

K = C T R −1 ,

X n+1 =

min

X

1

2 h X − X n , X − X n i − ∆t

2 h F X, X i

+ ∆t

2 h R −1 (X obs − CX ), X obs − CX i

.

h F X, X i

− G(X)

G

− d X ˜

dt ′ = F X ˜ − K ′ (X obs − C X), ˜

t ′ = T − t

− F − K ′ C

K ′

(F, C)

K ′

− F − K ′ C

[C, CF, . . . , CF n−1 ]

n

n

K ′

K = C T (kI ) = kC T ,

k

I

R

K = C T L

L

K

X obs − C(X)

K ′ = C T (k ′ I ) = k ′ C T ,

k

k ′

k > 0

X(0) = x ₀

X _obs (t)

dt = F (X) + K(X _obs − C(X)), 0 < t < T,

X(T ˜ ) = ˜ x _T

dt = F ( ˜ X) − K ^′ (X _obs − C( ˜ X)), T > t > 0,

K ^′

X _obs

(t _i ) _i=1...N

K(X _obs − C(X))δ(t − t _i ), 0 < t < T.

X ⁿ⁺¹ − X ⁿ

∆t = F X ⁿ⁺¹ + K(X _obs − CX ⁿ⁺¹ ),

X ⁿ

t _n

K = C ^T R ⁻¹ ,

X ⁿ⁺¹ =

2 h X − X ⁿ , X − X ⁿ i − ∆t

2 h R ⁻¹ (X _obs − CX ), X _obs − CX i

dt ^′ = F X ˜ − K ^′ (X _obs − C X), ˜

t ^′ = T − t

− F − K ^′ C

K ^′

K ^′

− F − K ^′ C

[C, CF, . . . , CF ⁿ⁻¹ ]

K ^′

K = C ^T (kI ) = kC ^T ,

K = C ^T L

X _obs − C(X)

K ^′ = C ^T (k ^′ I ) = k ^′ C ^T ,

k ^′

k ^′ > 0

45 ^o

g ^∗

ρ ₀