Cours de math´ematiques
Triangles isom´etriques
1 Triangles isom´ etriques
D´efinition. Deux triangles sont dits isom´etriques si leurs cˆot´es sont ´egaux deux `a deux.
A B
C
M N
P
R S
T
Les triangles ABC et RST sont directement isom´etriques et les triangles ABC et M N P indirectement isom´etriques.
Propri´et´e. Si deux triangles sont isom´etriques, il existe une isom´etrie qui permet de passer de l’un `a l’autre. En cons´equence, une isom´etrie conservant les angles, les angles de deux triangles isom´etriques sont ´egaux.
D´emonstration. admis.
Propri´et´e 1. Deux triangles dont deux cˆot´es sont ´egaux deux `a deux ainsi que les angles compris entre ces cˆot´es sont isom´etriques.
D´emonstration. Consid´erons deux triangles ABC etM N P tels queAB =M N,AC =M P et
\BAC =N M P\ :
A B
C
M N
P
I J
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Soient I le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC et J le pied de la hauteur issue deP dans le triangle M N P . Dans le triangleAIC rectangle en I, on a :
IC =AC×sin\BAC Dans le triangle M P J rectangle en J, on a :
J P =M P ×sinN M P\
En utilisant les hypoth`eses, on obtient donc : IC = J P . On montre de la mˆeme fa¸con que J M =IAdoncJ N =IB .
Dans le triangle BIC rectangle en I, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore : BC2=IC2+IB2
Dans le triangle P J N rectangle en J, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore : P N2 =J P2+J N2
On obtient donc :BC =P N . Les triangles ABC etM N P sont isom´etriques.
Propri´et´e 2. Deux triangles dont deux cˆot´es sont ´egaux ainsi que leurs angles adjacents deux
`
a deux sont isom´etriques.
D´emonstration. mˆeme principe que pour la propri´et´e pr´ec´edente.
2 Triangles de mˆ eme forme
D´efinition. Deux triangles sont dits de mˆeme forme (ou semblables) si leurs angles sont ´egaux deux `a deux.
A
B C
M
N P
\
BAC = N M P\
\ABC = M N P\
\ACB = M P N\
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Propri´et´e. Deux triangles sont de mˆeme forme si et seulement si leurs cˆot´es sont proportion- nels :
ABC et M N P de mˆeme forme avec Ab=M ,c Bb=N ,b Cb =Pb ⇔ AB
M N = BCN P = M PAC =k Le rapport kest appel´e coefficient d’agrandissement ou de r´eduction.
D´emonstration. Consid´erons deux triangles ABC etM N P de mˆeme forme :
A
B C
M
N P
I J
Pla¸cons sur la demi-droite [AB) le pointI tel que AI =M N et sur la demi-droite [AC) le pointJ tel queAJ =M P . Comme\BAC =N M P\, les trianglesM N P etAIJ sont isom´etriques doncIJ =N P et de plus AIJd =M N P\ donc les droites (IJ) et (BC) sont parall`eles.
On peut donc appliquer le th´eor`eme de Thal`es dans le triangle ABC : AI
AB = AJ AC = IJ
BC D’o`u :
M N
AB = M P
AC = N P BC
Pour la r´eciproque, il suffit d’utiliser cette fois la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es : on en d´eduit que les droites (IJ) et (BC) sont parall`eles et que IJ=N P, les triangles ABC etAIJ ont donc les mˆemes angles et les trianglesAIJ etM N P les mˆemes longueurs. Les trianglesAIJ et M N P sont donc isom´etriques et sont donc de mˆeme forme, on en d´eduit que les triangles ABC etM N P sont de mˆeme forme.
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