1.Champdesvecteurstangents TDn˚6M´ethoded’Euler

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Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Algorithmique

TD n˚6

M´ ethode d’Euler

La méthode d’Euler fournit un algorithme permettant de construire des solutions approchées de solutions d’équations différentielles (linéaires d’ordre 1). Avant de l’expliquer, on introduit le champ des vecteurs tangents d’une

équation différentielle (linéaire d’ordre 1) qui peut aider à saisir la démarche.

1. Champ des vecteurs tangents

On fixe un rep`ere orthonorm´e du planR= (O;−→ i ,−→

j).

Considérons une équation différentielle linéaire d’ordre 1

(E) y^′+a(t)y=b(t)

sur un intervalleI, o`ua:I→Retb:I→Rsont deux fonctions continues surI.

Soity:I →R une solution de (E) surI. La courbe représentativeC_y de y dans R, appelée courbe intégrale, est l’ensemble des pointsM de coordonnées

(t, y(t) o`ut∈I.

Soitt∈I. La tangente `a C_y au point d’abscisseta comme pente : y^′(t) =b(t)−a(t)y(t).

Ainsi, si une courbe intégraleC (i.e. une courbe représentative d’une solution de (E)) passe par le point de coordonnées (t, y) alors sa tangente en ce point a pour pente :

b(t)−a(t)y

en d’autres termes elle est dirigée par le vecteur de coordonnées (1, b(t)−a(t)y). Définition (champ des vecteurs tangents)

Le champ des vecteurs tangents est l’application

ϕ:I×R; (t, y)7→(1, b(t)−a(t)y).

Exemple

Pour voir un exemple de représentation graphique de champ de vecteurs tangents, cf. Figure 1 du document Maple. Sur ce graphique, les vecteurs tangents représentés ont été normés, i.e. divisés par leur norme, de fa¸con

`

a obtenir des vecteurs de norme 1.

Propriété (les courbes intégrales s’appuient sur des vecteurs du champ des vecteurs tangents) D’après l’interprétation géométrique de la tangente à une courbe, on peut en déduire qu’une courbe intégrale longe ou s’appuie sur des vecteurs du champ des vecteurs tangents.

Exemple

Pour observer la propriété précédente, cf. Figure 2 du document Maple.

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2. Un exemple d’application de la m´ ethode d’Euler

Consid´erons le probl`eme de Cauchy

(S) :

y^′+ty= 0 (E) y(0) = 1.

sur l’intervalle [0,10].

Bien que l’on sache trouver la solution exacte à ce problème, nous allons essayer de construire une solution approchée en mettant en œuvre la méthode d’Euler.

SoitN un entier naturel non nul. Les (N+ 1) points : t0= 0 = 0×10

N ; t1= 1×10

N ; t2= 2×10

N ; . . . ; tk =k×10

N ; . . . ; tN =N×10 N = 10

permettent de subdiviser l’intervalle [0,10] en N intervalles de même longueur. On construit une valeur ap- prochéeeyN de la solution du problème de Cauchy (S) comme suit (méthode d’Euler).

• Sur l’intervalle [t0, t1] =

0,10 N

,yeN co¨ıncide avec la fonction affine

prenant la valeury0= 1 ent0= 0 ; de pente−t0×y0= 0 (cf. (E)).

Soity1la valeur deyeN ent1=10

N ainsi obtenue.

• Sur l’intervalle [t1, t2] = 10

N,20 N

, eyN co¨ıncide avec la fonction affine

prenant la valeury1 ent1= 10 N ; de pente−t1×y1(cf. (E)).

N ainsi obtenue.

• Sur l’intervalle [t2, t3] = 20

N,30 N

, eyN co¨ıncide avec la fonction affine

prenant la valeury2 ent2= 20 N ; de pente−t2×y2(cf. (E)).

N ainsi obtenue.

• Etc...

On construit ainsi de proche en proche des couples :

(t0, y0) = (0,1) ; (t1, y1) ; (t2, y2) ; . . . ; (tN;yN) = (10, yN).

La solution approchée est la fonction affine par morceaux, définie sur [0,10], dont la courbe représentative est la ligne brisée passant par les points de coordonnées :

(t0, y0) = (0,1) ; (t1, y1) ; (t2, y2) ; . . . ; (tN;yN) = (10, yN).

Exercice 1

1. D´eterminer les points :

(t0, y0) ; (t1, y1) ; (t2, y2) caract´erisant la fonction ey2, i.e. eyN dans le cas o`u N = 2.

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2. D´eterminer les points :

(t0, y0) ; (t1, y1) ; (t2, y2) ; (t3, y3) ; (t4, y4) ; (t5, y5) caract´erisant la fonction ey5, i.e. ey5 dans le cas o`uN = 5.

3. La m´ ethode d’Euler − cas g´ en´ eral

Soit t0 ∈ R et soit T ∈ R^+∗. Soient a: [t0, t0+T] → R et b: [t0, t0+T] → R deux fonctions continues sur [t0, t0+T]. Soity0∈R.

On se propose de construire un algorithme donnant une solution approch´ee du probl`eme de Cauchy : (S) :

y^′+a(t)y=b(t) (E) y(t0) =y0.

sur l’intervalle [t0, t0+T].

Exercice 2

Soit N un entier naturel non nul.

1. Donner les(N + 1)points :

t0; t1; t2; . . . ; tk ; . . . ; tN =t0+T

obtenus lorsque l’on subdivise l’intervalle [t0, t0+T] en N intervalles de mˆeme longueur.

2. Le point (t0, y0) est déjà construit. Généraliser le processus de construction de proche en proche des N couples :

(t1, y1) ; (t2, y2) ; . . . ; (tN;yN) = (t0+T, yN)

en s’inspirant de la démarche expliquée dans l’exemple précédent (méthode d’Euler). On ne demande pas un calcul ici, mais simplement une explication de la construction.

3. ´Ecrire un algorithme qui affiche la liste des (N+ 1) couples :

(t0, y0) ; (t1, y1) ; (t2, y2) ; . . . ; (tN;yN) = (t0+T, yN) obtenus par la m´ethode d’Euler.

4. Expliquer comment on obtient une solution approchée yeN de la solution du problème de Cauchy (S), à partir des (N+ 1) couples :

(t1, y1) ; (t2, y2) ; . . . ; (tN;yN) = (t0+T, yN).

Remarque

Pour chaque valeur deN ∈N^∗, on a construit une solution approchéeyeN de la solution du problème de Cauchy (S). Se pose alors la question de la qualité de cette approximation, par exemple a-t-on pour toutt∈[t0, t0+T]:

e

yN(t) →

N→+∞y(t)

oùy est la solution (exacte) du problème de Cauchy ? Nous examinerons ces questions plus tard, lorsque nous aurons forgé des outils d’analyse nécessaires.

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