Les symétries par rapport aux axes de symétrie du rectangle permettent d’en déduire 3 autres carrés inscrits donc N = 4

D663. La saga des carrés inscrits (2ème épisode) MB

Q3 Soit N le nombre des carrés que l'on peut inscrire dans (ABCD), quelles sont les valeurs respectives de N si (ABCD) est un rectangle, un losange, un parallélogramme, un trapèze isocèle ?

Si le rectangle n’est pas un carré, Il est impossible de placer les 4 points M1,M2,M3,M4, de façon qu’ils soient les sommets consécutifs d’un carré.

Au contraire plaçons les points de façon que M1, M3, M4, M2 soient les sommets consécutifs d’un carré :

Soit x l’angle de D2 avec le côté M3M1, M3M1 cos x = L longueur du rectangle. M4M2 sin x = l largeur du rectangle. Comme M3M1 = M4M2, tan x = l/L , M3M1 et M4M2 sont des translatés de la

diagonale du rectangle.

Les symétries par rapport aux axes de symétrie du rectangle permettent d’en déduire 3 autres carrés inscrits donc N = 4.

De manière générale, pour inscrire un carré ayant ses sommets sur 4 droites Di, Dj, Dk , Dl on prend sur Di un point quelconque Mi comme centre d’une rotation de 90° qui donne de la droite Dj une image D’j. La droite D’j coupe Dk en un point Mk. On peut construire le carré qui a un sommet Mi sur Di, un sommet Mj sur Dj, et le sommet Mk sur Dk. En déplaçant Mi sur Di, le carré se déplace, le 4^ème sommet Ml décrit une droite ∆. Suivant que ∆ est sécante à Dl, parallèle à Dl, ou confondue avec Dl, ce processus fournit Un, Zéro, ou une Infinité de carrés inscrits.

On obtient divers carrés inscrits en choisissant (i,j,k,l) parmi les permutations de (1, 2, 3, 4) Parallélogramme :

Je trouve N = 6 carrés inscrits : Deux carrés qui ont même centre que le parallélogramme et deux couples de carrés symétriques par rapport au centre du parallélogramme.

Losange : Je trouve encore 6 carrés inscrits : d’abord 4 carrés,

Et encore deux autres :

Trapèze : Cas général : je trouve N = 4 carrés inscrits :

Cas Particuliers et exceptions :

- Si la hauteur du trapèze est égale à la moyenne arithmétique des bases, on peut inscrire deux carrés M1, M2, M3, M4 et M’1, M’2, M’3, M’4 orientés de même sens et d’après ce qui a déjà été démontré, on peut inscrire une infinité de carrés orientés de même sens, Alors N est infini.

Un exemple où la construction n’aboutit pas car 3 sommets sont sur 3 droites, mais le 4^ème sommet décrit une droite delta parallèle à la 4^ème droite :

Dans ce cas on trouve 2 carrés inscrits au lieu de 4 :

- Si, comme dans la figure suivante, le trapèze est formé par la réunion de 3 triangles rectangles isocèles, on trouve N = 3 :

Un premier carré a pour sommets M1 au milieu de la grande base, M2 sur le côté gauche, M3 sur le côté droit, et M4 sur la petite base (un sommet sur chaque côté du trapèze ) M1M3 est l’axe de symétrie du trapèze, et M2M4 est la petite base.

A ce premier carré s’en ajoutent 2 autres qui sont symétriques et qui ont en commun le sommet M1.

D’où N = 3