Enonc´e noE646 (Diophante, casse-tˆete de juin 2009) Cercles et coordonn´ees enti`eres
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Q1 D´ecrire un cercle dans le plan qui passe exactement par 7 points de coordonn´ees enti`eres.
Le cercle d’´equation x2+y2−27568,4·x= 0 admet pour seuls points de coordonn´ees enti`eres
(0,0) ; (16810,±13448) ; (26240,±5904) ; (5290,±10856).
Preuve : l’´equation s’´ecrit (5x−413)2+ (5y)2 = 416
et (41 ´etant la norme de l’entier de Gauss 5 + 4i), le second membre admet comme d´ecompositions en somme de deux carr´es
(413)2+ 02, (9·412)2+ (40·412)2, (1519·41)2+ (720·41)2, 424712+ 542802. Remarque. Sur le mˆeme mod`ele, on a la famille de solutions
5x2+ 5y2−2p3x= 0,
o`up est un nombre premier congru `a 1 ou 9 modulo 20.
Plus g´en´eralement, avec les mˆemes valeurs dep, le cercle d’´equation 5x2+ 5y2−2pkx= 0
contient exactement 2k+ 1 points de coordonn´ees enti`eres.
Q2 Tracer le minimum de cercles qui passent par les 49 points de coordonn´ees enti`eres contenus dans un carr´e de dimension 6 dont les bords sont parall`eles aux axesOx etOy.
Je consid`ere les 49 points de coordonn´eesxetyprises parmi{0,±1,±2,±3}.
Ils peuvent ˆetre couverts par 9 cercles : – les 7 cercles de rayon √
5 centr´es en (1,±1), (0,±1), (−1,±1), (−1,0) ; – le cercle de rayon 3 centr´e en (3,0) ;
– le cercle de rayonp130/9 centr´e en (−2/3,0).
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