D.345 Crédit revolving
Solution proposée par Pierre Renfer
On va prendre 27 mm comme unité de longueur.
Ainsi les côtés de la carte bleue auront pour longueurs 3 et 2.
On va considérer tout de suite le cas général d'un parallélogramme, de côtés AC 3 et AB2, comme sur la figure ci-dessus.
On le fait tourner autour de la diagonale (BC).
Le point H est le projeté orthogonal de A sur (BC).
Le point I est le milieu de la diagonale (BC).
La parallèle à (AH) en I coupe (AC) en D.
Le point I est centre de symétrie de la figure
Donc V, la moitié du volume cherché, s'obtient par : VV1V2 V3 V désignant le volume du cône obtenu par rotation du triangle BAH, 1
V désignant le volume du cône obtenu par rotation du triangle CAH 2
V désignant le volume du cône obtenu par rotation du triangle CDI 3
On note :
DI d
AH r
CH k
BH h
BC a
Alors :
6 a V d
3 k V r
3 h V r
2 3
2 2
2 1
Ainsi : 6V2r2ad2a
On va exprimer V à l'aide de la seule variable a.
Comme
9 k r
4 h r
2 2
2 2
, on obtient :
5 ) h k ( a ) h k ( ) h k ( h k
a h k
2 2
Donc :
a a 5 2 k 1
a a 5 2 h 1
et
2 2
2
a a 5 4 9 1 k 9
r
D'autre part :
k 2
a r d
Donc : 2
2 2
2
a a 5
a a 5 4 9 1 a d
On trouve finalement : f(a)
) 5 a ( a
) 50 a 20 a ( ) a 5 ( ) a 5 ( ) 1 a ( ) 1 a V (
24 2 2
2
4
Dans le cas du rectangle, a 13
Le volume cherché est alors : 13
351 ) 479 13 ( 12 f V
2
Pour obtenir ce volume en mm , il reste à multiplier par 3 27 3 On trouve 304257mm3
La fonction f n'atteint pas son maximum au point 13 .
Le rapport
) 13 ( f
) 8 , 2 (
f vaut à peu près 1,155
Pour a2.8, on obtient donc un volume qui dépasse de plus de 15% celui de la carte rectangulaire.
C'est donc Puce qui a raison !
