Vecteurs Coordonnées Equations de droites

(1)

NOM : ENONCE – FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Le vecteur uG

est donné.

Le dessin ci-contre représente des droites d et d' parallèles, avec B et B' sur d et A et A' sur d'. Les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en O.

On sait de plus que : OA ³.u

= −2

JJJG G

et AB 7.uJJJG= G 1) Ecrire uG

en fonction de OAJJJG

2) Dans chaque cas où les vecteurs sont colinéaires (ou liés), écrire une relation de colinéarité adaptée entre ces vecteurs (aucune valeur numérique approchée n’est acceptée) :

OBJJJG et OAJJJG OB'JJJJG

et OA 'JJJJG (*1) BB'JJJJG

et A 'AJJJJG On pose v ¹.AA '

=7

G JJJJG

, w ².AB'

= 3 JJG JJJJG

.

On se situe alors par rapport au repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

, et on appelle S le point de coordonnées (-6 ; 11) dans ce repère.

3) Compléter le tableau suivant, sans justification :

coordonnées de A coordonnées de B'

coordonnées de A' coordonnées de B

équation de (AA') équation de (AS)

équation de (BB') équation de (A'B')

coordonnées du point O

dans ce repère (*2) coordonnées du point

d'intersection de (AS) et de (A'B')

4) Donner les justifications pour trouver le résultat de (*1)

5) (Au dos de cette feuille) Donner les justifications pour trouver le résultat de (*2).

A

B O

d'

d B'

A'

(2)

Aide pour commencer …

Le cahier, des instruments de dessin, ou un logiciel de géométrie sont des outils importants … à avoir à portée de main et de vue ! Les écritures à proposer doivent évidemment respecter les conventions posées en cours.

Il y a donc lieu à contrôler ces conventions, et le respect de celles-ci : par exemple, il n’est jamais question de rapport (de

« fractions ») de vecteurs …

Pour les coordonnées : sans définition, on s’en tire difficilement.

Définition des coordonnées (x ; y) d’un point P dans un repère

(

^{O, i, j}^{G G}

)

ou dans un repère

(

^{O, OA, OB}^{JJJG JJJG}

)

^:

Ce sont les nombres x et y tels que, suivant le cas OP x.i y. jJJJG= G+ G

ou OP x.OA y.OBJJJG= JJJG+ JJJG . Ici le repère est

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

donc les coordonnées A, B’, A’ et B des points

sont les nombres x et y (à trouver dans chaque cas) tels que AA x.w y.vJJJG= G+ G , AB' x.w y.v= +

JJJJG G G

, AA ' x.w y.vJJJJG= G+ G

, AB x.w y.vJJJG= G+ G .

Plusieurs méthodes sont envisageables … Il peut être utile de représenter les vecteurs w et vJJG G

sur le dessin … Ici, les vecteurs seront représentés par les vecteurs AW et AVJJJJG JJJG

(noter la différence de graphie pour W et w : majuscule, minuscule).

L’une consiste à exprimer chaque vecteur à l’aide des vecteurs w et vJJG G à l’aide du calcul vectoriel ou par « évidence », ou par lecture graphique

« évidente » (quand c’est possible) … Un cas « évident » : v ¹.AA '

=7

G JJJJG

donc 0.w 7.v AA 'G + G=JJJJG

d’où, par définition des coordonnées, les coordonnées de A’ sont (0 ; 7) dans le repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

^.

Un cas moins simple : les coordonnées de B.

Il s’agit d’exprimer ABJJJG

à l’aide de w et vJJG G

, d’obtenir AB x.w y.vJJJG= G + G . Idée 1 : écrire ABJJJG

comme somme de vecteurs colinéaires aux vecteurs w et vJJG G

; ici, c’est évident : AB AB' B'BJJJG JJJJG JJJJG= +

(relation de Chasles, données de parallélisme et avec l’aide du dessin)

Idée 2 : remplacer chaque vecteur de la somme par une écriture faisant intervenir w ou vJJG G . Ici : ^AB' ³^{.w et B'B} ¹¹^{.AA '} ¹¹^{. 7.v}

( )

⁷⁷^.v

2 3 3 3

= = = =

JJJJG G JJJJG JJJJG G G

(données de l’énoncé et calcul vectoriel), donc, par substitution, AB ³.w ⁷⁷.v

2 3

= +

JJJG G G

d’où, par définition des coordonnées, les coordonnées de B sont 



 



 3

;77 2

3 dans le repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

^.

Pour les équations de droites :

Mais qu’est-ce donc que l’équation d’une droite ? On a vu à plusieurs reprises des équations de courbes, ici les courbes sont des droites !

Une équation d’une droite est donc la relation (c’est une relation d’égalité) que doivent satisfaire les coordonnées d’un point du plan pour se trouver sur la droite.

En général, on présente la relation sous forme « simplifiée ».

Un cas simple : équation de (AS).

A quelle condition un point P(x ; y) (dans le repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

) se trouve-t-il sur la droite (AS) ?

La réponse est dans un théorème vu et utilisé en classe : th. un point R se trouve sur la droite (CD) si et seulement si les vecteurs CR et CD

JJJG JJJG

sont colinéaires.

Donc, ici, P(x ; y) est sur (AS) si et seulement si AP et ASJJJG JJJG

sont colinéaires.

(3)

Aide pour commencer …

On sait que AP x.w y.v et ASJJJG= G + G JJJG= −6.w 11.vG+ G

(définition des coordonnées dans un repère, voir plus haut), donc les coordonnées des vecteurs AP et ASJJJG JJJG

relativement aux vecteurs w et vJJG G

sont AP(x ; y) et AS( 6 ;11)JJJG JJJG − . Comment avec ces coordonnées trouver une relation (d’égalité) liant x et y ?

La réponse est dans un théorème vu et utilisé en classe : th. (Critères de colinéarité de deux vecteurs connaissant leurs coordonnées) : w(a ; b) et z( ; )G G α β sont colinéaires ⇔ (a ; b) sont proportionnels à (α ; β) ⇔ aβ - bα = 0

Donc, ici, AP et ASJJJG JJJG

sont colinéaires ⇔ 11x + 6y = 0. On peut aussi écrire : y = ¹¹x

−6 . Un cas un peu moins simple : équation de (A’B’).

A quelle condition un point P(x ; y) (dans le repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

) se trouve-t-il sur la droite (A’B’) ? Donc, ici, P(x ; y) est sur (A’B’) si et seulement si A 'P et A 'B'JJJJG JJJJJG

sont colinéaires.

Les coordonnées de A 'B'JJJJJG

relativement aux vecteurs w et vJJG G

ne sont pas connues, il faut les calculer.

On utilise le th. : si les coordonnées de R et de S sont connues dans le repère

(

^{O, OA, OB}^{JJJG JJJG}

)

, alors les coordonnées de RSJJJG relativement à OA et OBJJJG JJJG

sont les nombres

(

xS−xR

) (

et yS−yR

)

.

Ici, les coordonnées de A’ et B’ dans le repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

: A’(0 ; 7) et B’ 



 



 ;0 2

3 , donc, en appliquant le th., A 'B'JJJJJG ₃ 2; 7

 − 

 

 . De même les coordonnées de A 'PJJJJG

: A’(0 ; 7) et P(x ; y), donc A 'P(x ; y 7)JJJJG − . En reprenant alors ce qui a été fait pour (AS), on obtient : A 'P et A 'B'JJJJG JJJJJG

sont colinéaires ⇔ 7x ³(y 7) 0

− −2 − = ; cette dernière gamité est souvent transformée en y = x 7

3 14 +

− .

(4)

Eléments pour un corrigé Le vecteur uG

est donné.

Le dessin ci-contre représente des droites d et d' parallèles, avec B et B' sur d et A et A' sur d'. Les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en O.

On sait de plus que : OA ³.u

= −2

JJJG G

et AB 7.uJJJG= G 1) Ecrire uG

en fonction de OAJJJG

³^.^OA

uG=−2

2) Dans chaque cas où les vecteurs sont colinéaires (ou liés), écrire une relation de colinéarité adaptée entre ces vecteurs (aucune valeur numérique approchée n’est acceptée) :

OBJJJG et OAJJJG

OA 3. OB=−11 OB'JJJJG

et OA 'JJJJG

(*1) _._OA_'

3 ' 11 OB=− BB'JJJJG

et A 'AJJJJG

A ' A 3 . ' 11 BB=

On pose v ¹.AA '

=7

G JJJJG

, w ².AB'

= 3 JJG JJJJG

.

On se situe alors par rapport au repère

(

^{A, w, v}^{JJG G}

)

, et on appelle S le point de coordonnées (-6 ; 11) dans ce repère.

3) Compléter le tableau suivant, sans justification :

coordonnées de A (0 ; 0) coordonnées de B'



 



 ;0 2 3

coordonnées de A' (0 ; 7) coordonnées de B



 



 3

;77 2 3

équation de (AA') x = 0 équation de (AS)

y = x

6

−11 équation de (BB')

2

x=3 équation de (A'B')

y = x 7

3 14 +

− coordonnées du point O

dans ce repère (*2) ^



 



 2

;11 28

9 coordonnées du point

d'intersection de (AS) et de (A'B')

42 77 17; 17

− + 

 

 

4) Donner les justifications pour trouver le résultat de (*1) Démonstration en deux paragraphes.

A’, O, B’ alignés ↓ th.1 OB'JJJJG

et OA 'JJJJG

colinéaires ↓ th.2

OB'JJJJG

= k. OA 'JJJJG

ou OA 'JJJJG

= p. OB'JJJJG

(k et p nombres réels) (AA’)//(BB’) et O point d’intersection de (AB) et de (A’B’)

Th.1 : trois points R, S et T sont alignés si et seulement si RS et RTJJJG JJJG

sont colinéaires.

Th.2 : u et vG G

sont colinéaires si et seulement si u k.vG= G

ou v p.uG= G

(k et p réels).

(*) pour insister et aider … Th.3 : de Thalès.

Si R, S et T sont alignés, et R, S’ et T’ sont alignés, et (SS’)//(TT’) alors

↓ th.3 (dit de Thalès)

OB’/OA’=OB/OA .OA 3

OB=−11 (résultat précédent)

Th.4 .OA'

3 ' 11 OB=−

RS RS' SS' RT=RT '=TT '. Th.4 : soit AB k.CDJJJG= JJJG

(k réel) ; si AB et CDJJJG JJJG

sont de même sens, alors AB = k×CD ; si AB et CDJJJG JJJG

sont de sens contraires, alors AB = -k×CD

5) (Au dos de cette feuille) Donner les justifications pour trouver le résultat de (*2).

A

B O

d'

d B'

A'

configuration dite de Thalès (*)

A

B O

d'

d B'

A'

(5)

Eléments pour un corrigé

Démonstration en quatre paragraphes (dont un subdivisé en deux sous- paragraphes).

O point d’intersection de (AB) et de (A’B’) ↓

O point de (AB) et O point de (A’B’) ↓ th.5

les coordonnées (a ; b) de O vérifient l’équation de (AB) et les coordonnées (a ; b) de O vérifient l’équation de (A’B’)

Equation de (AB) : P(x ; y) et A(0 ; 0) et B 



 



 3

;77 2 3

↓ th.6 APJJJG

(x ; y) et ABJJJG



 



 3

;77 2 3

P(x ; y) ∈ (AB)

R th.1 APJJJG

(x ; y) et ABJJJG



 



 3

;77 2

3 colinéaires R th.7 ⁷⁷x ³y 0

3 −2 = R y ¹⁵⁴x

= 9 (une façon d’écrire l’équation de (AB))

Equation de (A’B’) : y = x 7 3 14 +

− (réponse à une question précédente)

Les coordonnées (a ; b) de O sont donc les solutions de

y 14x 7 3 y 154x

9

 = − +



 =



.

Or

y 14x 7 3 y 154x

9

 = − +



 =



154 14

x x 7

9 3

y 154x 9

 = − +

⇔ 

 =



196x 7 9 y 154x

9

 =

⇔ 

 =

x 9 28 y 11

2

 =

⇔  =



(les th.

sont « évidents »), donc les coordonnées de O sont ^{9 11}; 28 2

 

 

 .

Th.5 : définition d’une équation d’une droite.

Th.6 : les coordonnées étant relatives à

(

^{O, OU, OV}^{JJJG JJJG}

)

^,

si A(a ; α) et B(b ; β) alors ABJJJG

(b – a ; β – α).

Th.7 : les coordonnées étant relatives à deux vecteurs non colinéaires,

u(a ; ) et v(b ; )G α G β

sont colinéaires si et seulement si aβ – αb = 0.