̄a= 1 a =bc

D1984 – Variations sur une thème connu – 5^ème épisode [***** à la main]

Problème proposé par Dominique Roux

(Q) désignant une conique variable tangente aux 3 côtés d'un triangle ABC et passant par son

orthocentre H, démontrer que la tangente à (Q) au point diamétralement opposé à H reste tangente à la courbe rencontrée aux énoncés D1982 et D1983.

Soient deux droites Δ et δ passant par l'orthocentre H et qui coupent la droite AB en J et J', la droite BC en G et G'. Il existe une seule conique tangente à Δ et δ et aux trois droites BC, CA, AB . On sait construire à la règle les cinq points de contact, et en particulier les points TA et TC de contact avec Δ et δ . Lorsque δ varie, quand J ' tend vers J, et G' vers G, les points TA et TC tendent vers H et la conique précédente a pour limite la conique Γ1 tangente en H à Δ,T et tangente aux trois droites AB, BC, CA. La droite Δ est la droite de Steiner d'un point M du cercle (ABC), M est l'intersection des symétriques de Δ par rapport aux côtés du triangle. La droite de Simson Δ' de M se déduit de Δ par l'homothétie (M, ½). Il existe une seule conique Γ2 tangente aux cinq droites Δ , Δ' , AB, BC, CA.

En démontrant que le point de contact T de Γ2 avec Δ est confondu avec H, on prouve que Γ2 et Γ1 sont confondues, et que la tangente à Γ1 au point diamétralement opposé à H, étant une droite de Simson, reste tangente à une Hypocycloïde à 3 rebroussements.

Soient F et K les points d'intersection de Δ' avec les droites AB et BC. Le théorème de Brianchon nous apprend que les diagonales d'un hexagone circonscrit à une conique sont concourantes. En l'appliquant à l'hexagone JTGCKF, les diagonales GF et CJ se coupant en L, la troisième diagonale est KL qui coupe Δ en T. Il faut alors montrer que T = H, que GF, CJ, et KH sont concourantes.

Notations : A, B, C, M sont sur le cercle unité, les lettres a, b , c et m désignent les affixes des points A, B, C, M. On peut supposer le repère orienté de façon que abc = 1, d'où

̄ a=

1

a =bc

Et f, g, h, j, k sont les affixes de F, G, H, J, K. La droite GJ passe par le symétrique S de M par rappport à CA dont l'affixe est s = a+c – ac/m , et par H d'affixe h = a+b+c: les points G,T,H,J,S sont alignés. Un vecteur directeur de HS a pour affixe h-s = b+ac/m. On choisit t réel pour que HJ ait cette direction, sachant que j = ta+(1 – t)b, j-h = ta+(1 – t)b -a-b-c j-h = (a–b)t–(a+c) le nombre (j-h)/(h-s) est réel s'il est égal à son conjugué :

(( a – b)t – ( a+c)) (b+ac / m)

⁼

(( b−a) ct −b( a+c))

(ac+ mb)

m((a-b)t-(a+c)) + (a-b)ct + b(a+c) = 0

(a-b)(m+c)t = (m-b)(a+c) t = ((m−b)(a+c))

((a−b)(m+c)) j-h = ((m−b)(a+c))

(m+c) ^{– (a+c)}

h-j =

(( b+ c)(a+ c))

( m+c)

et en permutant a et c : h-g =

(( b+a )(a+ c)) ( m+a)

^,

(h − j )

(h− g )

⁼

((b+ c)(m+ a)) ((b+ a)( m+c))

Les affixes des projections orthogonales F et K de M sur AB et AC sont : f = (m+a+b – ab/m)/2 , et k = (m+a+c – ac/m)/2 f – k = ((b−c)(m−a))

(2m) On peut trouver l'affixe n du point N de la droite Δ' tel que KN/KF = HJ/HG (vecteurs) : N est choisi pour que GF, NJ, KH soient concourantes. On montrera ensuite que CJN sont alignés.

n= k + [(h-j)/(h-g)].(f-k) = (m+a+c – ac/m)/2 + ((b+c)(m+a))

((b+a)(m+c))

. ^{((b− c)(m− a))}

(

2m) n – c = (m+a–c – ac/m)/2 +

(( b+c )(m+a))

(( b+a )(m+c)) .

^{((b−c)(m−a))}

(2m) n – c =

(( a+m )(b+m)((a+ b) m−ab−c² ))

(

2m(a+b)(

c+m ))

à comparer à j – c = (j-h) +a+b

j – c =

(( m−b)( a+c))

( m+c)

+ b – c =

(m ( a+b )−ab−c² )

( c+m )

(n-c)/(j-c) se simplifie :

(n−c )

( j−c )

⁼

((a+m)(b+m))

(2m(a+b)) invariant quand on remplace a, b, m par leurs conjugués.

C, J, N sont alignés. GF, CJ, KH sont concourantes. T et H sont confondus. Γ2 est bien tangente en H à Δ. Cette conique Γ2 est celle nommée (Q) dans l'énoncé. La tangente à (Q) au point diamétralement opposé à H est la droite de Simson Δ', donc elle reste tangente à la courbe Hypocycloïde à 3

rebroussements rencontrée aux énoncés D1982 et D1983.

…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. :…. : Une dernière figure :

A partir d'un triangle ABC, de son orthocentre H, d'une droite Δ passant par H, on construit M, Δ', le pentagone étoilé CFGKJC, puis les 5 points de contact par des alignements sur le modèle de KL→H, La conique passant par ces 5 points est effectivement tangente à AB, BC, CA, Δ (en H), et Δ' .