Chapitre 4 Limites des suites

Chapitre 4

Limites des suites

Sommaire

I. Limites des Suites . . . 2

1. Suites convergentes vers un r´eel . . . 2

2. Suites divergentes vers±∞ . . . 6

II. Propri´et´es des limites . . . 8

1. La limite d’une somme . . . 8

2. La limite d’un produit . . . 8

3. Limite d’un inverse . . . 10

4. Limite d’un quotient . . . 10

5. Les th´eor`emes de comparaison . . . 11

Capacit´es : Exercices : ^Non

Acquis Acquis

Justifier la convergence d’une suite 39, 77 p. 63/70 D´eterminer la limite d’une suite 2, 6, 13, 14, 16, 17, 23, 25, 29,

77 p. 60 `a 70 Ecrire ou modifier un algorithme de seuil 9, 26, 77 p. 60 `a 70

Introduction

Augustin-Louis CAUCHY (de 1789 `a 1857) math´ematicien fran¸cais et professeur

`

a l’universit´e des sciences de Paris et `a l’Ecole Polytechnique o`u il y enseigne 33 ann´ees. Il apporte de nombreuses avanc´ees en analyse notamment en donnant un cadre `a cette branche des math´ematiques qui commence `a se d´evelopper.

Son œuvre est fondamentale dans le d´eveloppement des math´ematiques qui passe d’une science outils de la physique(`a la fin du XVIII <sup>`eme</sup> si`ecle) `a une science

`

a part enti`ere, rigoureuse et ind´ependante.

Crit`ere de Cauchy :

(u_n) de Cauchy ⇐⇒ ∀ε >0,∃N ∈N:∀(p, q)∈N², p>N, q>N, on a |u_p−u_q|< ε.

Une citation :

Tr`es souvent les lois particuli`eres d´eduites par les physiciens d’un grand nombre d’observations ne sont pas rigoureuses, mais approch´ees.

I. Limites des Suites

On dit qu’une suite (u_n) converge vers` si lorsquen augmente,u_n se rapproche de l.

On note limu_n =`.

Dans le cas contraire, on dit que la suite (un) diverge.

D´efinition 4.1 : Limite d’une suite

On donne trois graphiques, illustrant les cas de limites que l’on peut trouver dans la pratique :

1 2 3 4 5 6 7 8

−1 1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

40 60 80 100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

2 4 6 8

0

Exemple 4.2 :

1. Suites convergentes vers un r´ eel

Une suite (u_n) admet une limite ` (ou converge vers `) lorsque tout intervalle centr´e en ` (i.e. de la forme [`−h;`+h], h >0) contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

D´efinition 4.3 : Suite convergente

Graphiquement, cela se traduit par : quelque soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang `a partir duquel tous les points de la suite (u_n) sont dans cette bande.

5 10 15 20 25 30 35 40

0.5 1 1.5 2

0

Alg´ebriquement, cela se traduit par : Pour tout h > 0 , il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, on ait |u_n−`|< h.

Remarque 4.4 :

On d´efinit la suite (u_n) pour tout n∈N par u_n = 1− 1 0,1(n+ 1)². 1. Repr´esenter le nuage de points (n;un) pour 06n 630.

2. Conjecturer la valeur de la limite ` de cette suite et tracer la droite d’´equationy =`.

3. Colorier la bande `−0,26y6`+ 0,2.

4. En d´eduire le rang N `a partir duquel|u<sub>n</sub>−`|<0,2 pour tout n >N. Exemple 4.5 : Avec la repr´esentation graphique u_n =f(n)

On a repr´esent´e, sur le graphique suivant, la fonctionf. On d´efinit la suite (un) par la relation de r´ecurrence suivanteu_n+1 =f(u_n), o`uf(x) = 2√

x etu₀ = 18.

1. Conjecturer la limite de la suite (u_n).

2. Que dire de cette limite ?

2 4 6 8 10 12 14 16 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

Exemple 4.6 : Avec la repr´esentation graphique u_n+1 =f(u_n)

Pour rechercher un seuil, on peut utiliser un algorithme en utilisant une boucle Tant que. Remarque 4.7 :

On d´efinit la suite (u_n) pour tout n∈N par u_n+1 = 2√

u_n et u₀ = 18.

On veut r´esoudre|u_n−4|< h.

Compl´eter l’algorithme suivant pour qu’`a la fin de l’algorithme, la variable n contienne le seuil de la suite pour lequel |u_n−4|< h.

1 n←− . . . . 2 u←−. . . .

3 Tant que . . . faire : 4 n←−. . . .

5 u←−. . . . 6 Fin Tant que

Le tester avec Python pour diff´erentes valeurs de h.

Exemple 4.8 : Avec un algorithme

Lire la M´ethode 1 p. 45 : D´eterminer la limite d’une suite en utilisant la d´efinition. Compl´ement(s) :

On consid`ere une suite (u_n) d´efinie pour tout n∈N tel que u_n= 1 + 3 n+ 1. A partir de quel rang a-t-on|un−1|<0,001 ? et |un−1|< h?

Exemple 4.9 : Par les calculs

Exercice 6 p. 61 . Exercice(s) :

Une suite (u_n) converge vers 0 si et seulement si la suite (|u_n|) converge vers 0.

De mˆeme, une suite (u_n) converge vers ` (`∈R) si et seulement si la suite (|u_n−`|) converge vers 0.

Propri´et´e 4.10 :

D´emontrer que la suite (u_n) d´efinie sur N^∗ par u_n = (−1)ⁿ

n converge vers 0.

Exemple 4.11 :

Toute suite convergente est born´ee.

Propri´et´e 4.12 :

On consid`ere une suite (u<sub>n</sub>) convergente vers` alors ` est unique.

Propri´et´e 4.13 :

On consid`ere une suite (u<sub>n</sub>) d´efinie par r´ecurrence (de terme g´en´eral u<sub>n+1</sub> =f(u<sub>n</sub>)) et convergente vers `.

Alors la limite ` v´erifie l’´equation `=f(`).

Propri´et´e 4.14 :

On consid`ere une suite (un) convergente vers un r´eel `.

• Si (u_n) est major´ee par M, alors ` 6M.

• Si (u_n) est minor´ee par m, alors ` >m.

Propri´et´e 4.15 :

• Toute suite (un) croissante et major´ee converge.

• Toute suite (u_n) d´ecroissante et minor´ee converge.

Th´eor`eme 4.16 : Th´eor`eme de Convergence Monotone

On consid`ere la suite (u<sub>n</sub>) d´efinie par la relation de r´ecurrence suivante u<sub>n+1</sub> =f(u<sub>n</sub>), o`u f(x) = 2√ x et u₀ = 18.

1. D´emontrer que, pour tout n∈N, on a 06un+1 6un 618.

2. Justifier que la suite (u_n) converge.

3. D´eterminer la limite de la suite (u_n).

Exemple 4.17 :

Lire la M´ethode 3 p. 51 : Prouver la convergence d’une suite monotone. Compl´ement(s) :

Lire la vid´eoAppliquer le th´eor`eme de convergence monotone. Compl´ement(s) :

Exercice 39 p. 63 . Exercice(s) :

On consid`ere une suite (un).

• Si (u_n) est croissante et convergente alors elle est major´ee par sa limite.

• Si (u_n) est d´ecroissante et convergente alors elle est minor´ee par sa limite.

Propri´et´e 4.19 :

On consid`ere une suite (un) croissante et telle que limu<sub>n</sub>=`.

On va d´emontrer ce r´esultat par l’ab- surde.

Hypoth`ese : il existe un terme u<sub>p</sub> tel que u<sub>p</sub> > `.

`

`−m

`+m

up up+1

p 2m

Comme la suite (u_n) est suppos´ee croissante, lorsque n≥p, on a u_n≥u_p. On choisit un nombre r´eel m tel que m < u_p−` et on pose I =]`−m;`+m[.

Cet intervalleI est centr´e en` et comme la suite converge vers`, par d´efinition, l’intervalleI contient tous les termes de la suite (u_n) `a partir d’un certain rang N.

En r´esum´e, lorsque n > N et n > p, u_n ∈ I (c’est-`a-dire u_n < u_p) et u_n > u_p (car la suite est croissante) ce qui est absurde.

L’hypoth`ese faite au d´epart est donc fausse : il n’existe donc pas termeu<sub>p</sub> tel que u<sub>p</sub> > l, c’est-`a-dire que

pour toutn ∈N, u_n≥l.

D´emonstration 4.20 :

2. Suites divergentes vers ±∞

Une suite (u_n) diverge vers +∞ lorsque pour toutM ∈R⁺, il existe un rang N ∈N`a partir duquel toutes les valeursu_n sont plus grandes que M (i.e. tel que pour tout n >N on a u_n >M).

Une suite (u_n) diverge vers−∞lorsque pour toutM ∈R⁻, il existe un rangN ∈N`a partir duquel toutes les valeursu_n sont plus petites queM (i.e. tel que pour tout n>N on a u_n6M).

D´efinition 4.21 : Suite divergente

On consid`ere la suite (u_n) d´efinie pour tout n∈N par u_n+1 =u_n−3 et u₀ = 1.

Elle est d´ecroissante de limite −∞.

Compl´eter l’algorithme suivant pour que, `a la fin de l’algorithme, la variable n contienne le premier rang n `a partir duquel on a u_n< M.

1 n←− . . . . 2 u←−. . . .

3 Tant que . . . faire : 4 n←−. . . .

5 u←−. . . . 6 Fin Tant que

Le tester avec Python pour diff´erentes valeurs de M.

Exemple 4.22 : Avec un algorithme

Lire la vid´eoSuites : D´eterminer un seuil pour une suite (algorithme) - Tutoriel PYTHON. Compl´ement(s) :

On consid`ere la suite (u_n) d´efinie pour tout n∈N par u_n =n²−n. Elle est croissante de limite +∞.

D´eterminer le rang n tel que u_n > M, puis en d´eduire le rang n pour lequelu_n >1000.

Exemple 4.24 : Par les calculs

Lire la m´ethode 2 p. 45 : D´eterminer une limite infinie en utilisant la d´efinition. Compl´ement(s) :

Exercices 2 et 9 p. 60 . Exercice(s) :

On consid`ere une suite (u_n).

• Si (u_n) est croissante et non major´ee alors (u_n) diverge vers +∞.

• Si (u_n) est d´ecroissante et non minor´ee alors (u_n) diverge vers −∞.

Th´eor`eme 4.25 :

On consid`ere une suite croissante et non major´ee.

On rappelle la d´efinition d’une suite major´ee : il existe un r´eel M tel que pour tout n∈N, u_n≤M. Dire que la suite (un) n’est pas major´ee signifie que quelque soit le r´eel M choisi, il existe un entier p tel que u_p > M.

Comme la suite (u_n) est croissante, on en d´eduit que quelque soit le r´eel M choisi, il existe un entierp tel que pour tout n ≥p, un ≥up > p.

En r´esum´e `a partir d’un certain rang p, tous les termes de la suite (u_n) sont plus grands que M.

En conclusion, limn→+∞u_n = +∞.

D´emonstration exemplaire 4.26 :

Lire la vid´eoD´emonstration : (u_n) croissante et non major´ee =⇒limu_n= +∞. Compl´ement(s) :

On a :

n→+∞lim n² = +∞ , lim

n→+∞

√n = +∞ et lim

n→+∞n= +∞.

Propri´et´e 4.28 :

Soit n ∈N.

1. R´esoudren² >10 000 puis n² > M (avecM > 0).

2. R´esoudre√

n >200 puis√

n > M (avec M >0).

Exemple 4.29 :

II. Propri´ et´ es des limites

Suivant les cas que nous allons voir, il est possible de ne pas pouvoir conclure. On dit alors qu’on a une

Forme Ind´etermin´ee(not´ee F.I.).

De mani`ere g´en´erale, il faut retenir que les formes ind´etermin´ees sont : +∞ − ∞,0× ∞, ∞

∞ et

0

0 .

En pratique, lorsqu’on rencontre un tel probl`eme, il faut modifier l’aspect de la suite, d´evelopper ou factoriser par exemple.

Remarque 4.30 :

1. La limite d’une somme

On consid`ere deux suites (u_n) et (v_n).

n→+∞lim u_n= ` ±∞ +∞ −∞ +∞ −∞

n→+∞lim v_n = `<sup>0</sup> `⁰ +∞ −∞ −∞ +∞

n→+∞lim u_n+v_n = Propri´et´e 4.31 :

D´eterminer la limite de la suite (u_n) d´efinie sur Npar : un=n²+n−7.

Exemple 4.32 :

2. La limite d’un produit

On consid`ere deux suites (u_n) et (v_n).

n→+∞lim u_n= ` ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞

n→+∞lim v_n = `<sup>0</sup> `⁰ >0 `⁰ <0 +∞ −∞ 0

n→+∞lim u_n×v_n = Propri´et´e 4.33 :

D´eterminer la limite de la suite (u_n) d´efinie sur Npar : u_n = (2−n³)√

n.

Exemple 4.34 :

Pour tout k∈N^∗, on a lim

n→+∞n^k= +∞.

Propri´et´e 4.35 :

On d´emontre cette propri´et´e par r´ecurrence surk.

• Initialisation : Icik = 1. Il est trivial que lim

n→+∞n = +∞.

De plus, on a vu dans III. que lim

n→+∞n² = +∞.

• H´er´edit´e : On suppose que pour tout n ∈ N^∗, la propri´et´e est vraie au rang k, c’est-`a-dire que

n→+∞lim n^k = +∞.

D´emontrons que la propri´et´e est vraie au rang k+ 1, c’est-`a-dire que lim

n→+∞n^k+1 = +∞.

Pour toutn ∈N, on an^k+1 =n^k×n.

De plus, lim

n→+∞n^k = +∞ (hypoth`ese de r´ecurrence) et lim

n→+∞n= +∞, il vient par produit que :

n→+∞lim n^k×n = lim

n→+∞n^k+1 = +∞.

La propri´et´e est donc h´er´editaire.

• Conclusion : La propri´et´e est vraie au rang k = 1 et h´er´editaire `a partir de ce rang donc : Pour tout n∈N^∗, on a lim

n→+∞n^k = +∞.

D´emonstration 4.36 :

On consid`ere une suite arithm´etique (u_n) de raison r.

• Sir >0, la suite (u_n) diverge vers +∞.

• Sir= 0, la suite (u_n) converge vers u₀.

• Sir <0, la suite (u_n) diverge vers −∞.

Th´eor`eme 4.37 : Limite des suites arithm´etiques

On rappelle que pour tout n ∈Nune suite arithm´etique peut s’´ecrire sous la forme u_n=u₀+nr.

• Sir >0, on a lim

n→+∞nr = +∞ (par produit) et lim

n→+∞u₀+nr= +∞ (par somme).

• Sir = 0, pour toutn ∈Ndonc lim

n→+∞u_n =u₀.

• Sir <0, on a lim

n→+∞nr =−∞ (par produit) et lim

n→+∞u₀+nr =−∞ (par somme).

D´emonstration 4.38 :

Exercices 13 et 16 p. 61 . Exercice(s) :

3. Limite d’un inverse

On consid`ere une suite (u_n) telle que pour tout n∈N, u_n6= 0.

n→+∞lim u_n= ` 6= 0 ±∞ 0 (u_n >0 pour

tout n > n₀)

0 (u_n<0 pour tout n > n₀)

n→+∞lim 1 u_n = Propri´et´e 4.39 :

D´eterminer la limite de la suite (u_n) d´efinie sur Npar u_n= 1 3 +n³. Exemple 4.40 :

Pour tout entier k ∈N^∗, lim

n→+∞

1 n^k = 0.

Propri´et´e 4.41 :

On a vu dans la partie 2. que lim

n→+∞n^k= +∞pour tout k ∈N^∗. Donc par passage `a l’inverse, on a :

n→+∞lim 1 n^k = 0.

D´emonstration 4.42 :

Lire la m´ethode 1 p. 47 : D´eterminer une limite en utilisant les op´erations. Compl´ement(s) :

4. Limite d’un quotient

On consid`ere deux suites (un) et (vn) telle que pour tout n∈N, vn6= 0.

n→+∞lim u_n= ` ` ` 6= 0 ∞ 0 ∞

n→+∞lim v_n = `<sup>0</sup> 6= 0 ∞ 0 `⁰ 6= 0 0 ∞

n→+∞lim u_n vn

= Propri´et´e 4.43 :

Le signe de ∞ sera donn´e par le signe du quotient des limites.

Remarque 4.44 :

Conjecturer puis d´eterminer la limite de la suite (u_n) d´efinie sur N par u_n = 9n−2 3n−5. Exemple 4.45 :

Lire la vid´eoCalculer une limite avec les formules d’op´erations. Compl´ement(s) :

Exercices 14 et 17 p. 61 . Exercice(s) :

5. Les th´ eor` emes de comparaison

On consid`ere trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) v´erifiant les conditions suivantes :

• `a partir d’un certain rang, on a : u_n6v_n 6w_n

• lim

n→+∞u_n =` et lim

n→+∞w_n=` Alors :

n→+∞lim v_n =`.

Th´eor`eme 4.47 : Th´eor`eme d’Encadrement dit des Gendarmes

Lire la M´ethode 2 p. 49 : D´eterminer la limite d’une suite avec le th´eor`eme des gendarmes. Compl´ement(s) :

On consid`ere la suite (un) d´efinie sur N^∗ par un= n+ sin(n)

n .

1. Montrer que pour tout n ∈N^∗, −1 +n

n 6u_n6 1 +n n . 2. En d´eduire que lim

n→+∞u_n = 1.

Exemple 4.48 :

Lire la vid´eoCalculer la limite d’une suite `a l’aide du th´eor`eme d’encadrement. Compl´ement(s) :

On consid`ere deux suites (u_n) et (v_n) v´erifiant les conditions suivantes :

• `a partir d’un certain rang,u_n 6v_n • lim

n→+∞u_n = +∞

Alors lim

n→+∞v_n= +∞.

Propri´et´e 4.50 :

On consid`ere deux suites (u_n) et (v_n) v´erifiant les conditions suivantes :

• `a partir d’un certain rang, u_n 6v_n : il existe donc un rang N₁ tel que pour tout n > N₁, un6vn.

• lim

n→+∞u_n = +∞ : quelque soit M > 0, il existe un entier N₂ tel que pour toutn >N₂, un>M.

Ainsi, quelque soit M > 0, il existe un rang N = max(N1;N2) tel que pour tout n > N (c’est-`a-dire n>N₁ et n>n₂), on a :

u_n6v_n et u_n>M ⇐⇒ v_n >u_n>M.

Ainsi, lim

n→+∞v_n= +∞.

D´emonstration exemplaire 4.51 :

Lire la M´ethode 1 p. 49 : D´eterminer une limite par comparaison. Compl´ement(s) :

Exercices 23 et 25 p. 62 . Exercice(s) :

On consid`ere une suite (u_n) d´efinie pour tout n∈N par u_n =qⁿ.

• Siq >1, lim

n→+∞u_n= +∞. • Si q= 1, lim

n→+∞u_n = 1. • Si |q|<1, lim

n→+∞u_n = 0.

Propri´et´e 4.52 :

On consid`ere une suite (u_n) d´efinie pour tout n∈N par u_n =qⁿ et on prend q >1.

1. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout n∈N et pour tout a∈R^+∗, on a (1 +a)ⁿ>1 +n a.

Cette in´egalit´e est appel´ee in´egalit´e de Bernoulli.

2. En posant q= 1 +a, en d´eduire la limite de la suite (u_n).

D´emonstration exemplaire 4.53 :

Exercices 26 et 29 p. 62/63.

. Exercice(s) :

Lire les M´ethodes 1 et 2 p. 51 : D´eterminer la limite d’une suite du type (qⁿ) et Etudier la convergence d’une suite g´eom´etrique.

Compl´ement(s) :

Lire la vid´eoCalculer la limite d’une suite `a l’aide du th´eor`eme de comparaison. Compl´ement(s) :

Exercice Bilan : exercice 77 p. 70.

. Exercice(s) :