Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2014-2015 Module 4M001
Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD5
Polynˆ omes homog` enes, formes quadratiques
Exercice 1 :
SoitK un corps et n, d≥1 deux entiers.
Montrer que l’ensemble des polynˆomes homog`enes de degr´edennvariables est unK-espace vectoriel.
Calculer sa dimension et en donner une base.
Exercice 2 :
Soit K un corps infini. Soit P ∈ K[X1, . . . , Xn]. On suppose que P(x1, . . . , xn) = 0 pour tout (x1, . . . , xn)∈Kn. Montrer queP est le polynˆome nul.
Montrer que siK est alg´ebriquement clos etP non constant, alors l’ensemble des z´eros deP dansKn est non vide. Montrer que si l’on suppose en outre n≥2, alors cet ensemble est infini. Que peut-on dire, dans le cas o`u P est homog`ene, de l’hypersurface projective associ´ee `aP?
Exercice 3 : SoitK un corps.
a) Montrer que la ”sph`ere unit´e” de Kn est une hypersurface dont tous les points sont lisses et d´eterminer son hyperplan tangent en tout point. Mˆeme travail pour la quadrique projective d’´equation P
ix2i = 0 dansPn(K).
b) Les points de la conique projective d’´equation x2+y2−z2 = 0 dans P2(K) sont-ils lisses ? Et ceux du cˆone affine d’´equationx2+y2−z2 = 0 dansK3?
c) Montrer que SLn(R) est une hypersurface deRn2 dont on d´eterminera une ´equation. Ses points sont-ils lisses ? Si oui, donner ses hyperplans tangents.
Exercice 4 :
a) Montrer que la cubique de Fermat d’´equation x3+y3+z3+t3= 0 dans P3(R) a tous ses points lisses et qu’elle contient exactement trois droites projectives.
b) Montrer que la cubique de Fermat d’´equation x3+y3+z3+t3= 0 dans P3(C) a tous ses points lisses et qu’elle contient exactement 27 droites projectives.
c) Montrer que la cubique de Clebsch d’´equationx3+y3+z3+t3−(x+y+z+t)3 = 0 dansP3(K) a tous ses points lisses et qu’elle contient exactement 27 droites projectives, siK =R ouC.
Exercice 5 :
Soitq la forme quadratique surR2 d´efinie par
q(x, y) = 2xy . a) Diagonaliserq. Quelle est son rang ? Sa signature ? b) CalculerC(q), le cˆone isotrope de q.
Exercice 6 : Calculer le rang et la signature des formes quadratiques r´eelles suivantes : a) q(x, y) =xy.
b) q(x, y, z) =x2+y2.
c) q(x, y, z, t) =x2+ 3y2+ 4z2+t2+ 2xy+xt.
d) q(x, y, z) =x2+ 2y2+ 4xy+ 4xz+ 2yz.
e) q(x, y, z) = 3x2+ 3y2+ 3z2−2xy−2xz−2yz.
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Exercice 7 :
Diagonaliser dans une base orthonorm´ee pour le produit scalaire standard, la forme quadratique sur Rn,n≥2 d´efinie par
q(x) = X
1≤i,j≤n i6=j
xixj.
Discuter son rang et sa signature.
Exercice 8 :
On consid`ere le R-espace vectorielE :=Mn(R) et les applications qi :E →R d´efinies par q1 :A7→
tr(A)2,q2 :A7→tr(A2) et q3 :A7→tr(A.tA).
Montrer queq1, q2, q3 sont des formes quadratiques sur E et d´eterminer leur rang et leur signature.
Exercice 9 :
D´eterminer l’ensemble des vecteurs isotropes des formes quadratiques non d´eg´en´er´ees suivantes. Dans chaque cas, on donnera l’indice, c’est-`a-dire la dimension des sous-espaces totalement isotropes maxi- maux.
a) K=R :q=x2+y2, x2−y2, x2+y2−z2, x2+y2+z2−t2, x2+y2−z2−t2. b) K=C :q=x2+y2, x2+y2+z2.
c) K=Fpr :q =x2+y2, x2−y2. Exercice 10 :
SoitK un corps de caract´eristique nulle. Combien de droites isotropes une forme quadratique surK2 peut-elle avoir ?
Exercice 11 :
SoientK un corps fini de caract´eristique diff´erente de 2,E unK-espace vectoriel de dimensionn≥1 etq une forme quadratique non d´eg´en´er´ee sur E. Soit α∈K∗ un ´el´ement qui n’est pas un carr´e.
a) Rappeler pourquoi un tel α existe. Combien existe-t-il de telsα?
b) Soient a, b∈K∗. Montrer que l’´equationax2+by2 = 1 a des solutions dansK2.
c) On suppose n = 2. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de q est soit l’identit´e, soit la matrice diag(1, α).
d) On suppose n > 2. Montrer par r´ecurrence sur n qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de q est soit l’identit´e, soit la matrice diag(1, . . . ,1, α).
e) En d´eduire qu’il y a exactement deux classes d’´equivalence de formes quadratiques non d´eg´en´er´ees surE.
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