On veut montrer que pour tout z∈Ω on a (1) |f(z)| ≤M11−xM2x o`ux= Rez

Universit´e Paris 7 Ann´ee 2009/2010

Fonctions analytiques Licence S5, M23040

Feuille 5

Exercice 1 .On consid`ere la partie Ω =©

z∈C|0<Rez <1ª .

Soitf une fonction holomorphe sur Ω et continue et born´ee sur Ω, il existe doncA >0 tel que

|f(z)| ≤A pour toutz∈Ω. On suppose que

(|f(z)| ≤M₁ pour Rez= 0,

|f(z)| ≤M₂ pour Rez= 1, o`uM₁ etM₂ sont des constantes r´eelles strictement positives.

On veut montrer que pour tout z∈Ω on a

(1) |f(z)| ≤M₁^1−xM₂^x

o`ux= Rez.

Pour toutR >0 on consid`ere la bande ouverte verticale Ω_R=©

z∈Ω||Imz|< Rª . Pour toutε >0 on consid`ere la fonction

f_ε: Ω→C

z7→f_ε(z) =f(z)e^zLog

¡_M

1 M2

¢ e^εz2. 1. Montrer les in´egalit´es suivantes.

(a) Pour tout z∈Cv´erifiant Rez= 0 et|Imz| ≤R :|f_ε(z)| ≤M₁. (b) Pour toutz∈Cv´erifiant Rez= 1 et|Imz| ≤R :|f_ε(z)| ≤M₁e^ε. (c) Pour tout z∈Cv´erifiant 0≤Rez≤1 et |Imz|=R :

|f_ε(z)| ≤max¡ AM₁

M₂e^εe^−εR2, AM₂

M₁e^εe^−εR2¢ .

2. En d´eduire pour toutz∈Ω_R :

|f_ε(z)| ≤max¡

M₁e^ε, AM₁

M₂e^εe^−εR2, AM₂

M₁e^εe^−εR2¢ .

3. Montrer ensuite que|f_ε(z)| ≤M₁e^ε pour tout z∈Ω.

4. En d´eduire pour toutz∈Ω :

|f(z)|

µM₁ M₂

¶_x

≤M₁. En d´eduire l’in´egalit´e (1).

5. En consid´erant la fonction gz) =e^{ei(1−2z)π2} montrer que l’hypoth`ese quef est born´ee est n´ecessaire au r´esultat.

Exercice 2 .On pose Ω =©

w∈C|Rew >0ª

et D=©

z∈C|z|<1ª . Pour toutw∈Ω on pose

Φ(w) = 1−w 1 +w.

1. Montrer que Φ est une fonction holomorphe sur Ω et que Φ(Ω)⊂D.

2. Soitf :D→Cune fonction holomorphe v´erifiant

f(0) = 1 et Ref(z)>0 ∀z∈D.

Montrer que pour toutz∈Don a

(2) 1−|z|

1+|z| ≤ |f(z)| ≤ 1+|z|

1−|z|.

Indication.Appliquer le Lemme de Schwarz `a la fonction Φ◦f puis remarquer que

(2) ⇔ 1−|f(z)|

1+|f(z)| ≤ |z| et |f(z)| −1 1+|f(z)| ≤ |z|

Exercice 3.Montrer que la suite de fonctionsz7→nLog (1 +^z_n) converge vers la fonctionz7→z uniform´ement sur toute partie compacte deC.

En d´eduire que la suite de fonctions z 7→ (1 + ^z_n)ⁿ converge vers la fonction z 7→ e^z uni- form´ement sur toute partie compacte deC.

Exercice 4.Montrer quez7→Q

n≥0(1 +z²ⁿ) est uniform´ement convergent sur les compacts du disque unit´e ouvertD.

Exercice 5 .Montrer que les sommes des s´eries suivantes sont des fonctions holomorphes dans les domaines deCindiqu´es entre parenth`eses.

(1) X+∞

1

·z(z+n) n

¸_n

¡|z|<1¢

, (2)

+∞X

1

n!

nⁿsinnz ¡

|Imz|<1¢

, (3) X+∞

0

cosnz n!

¡z∈C¢

Dans chaque cas donner la d´eriv´ee de la fonction limite en terme de s´erie.

Exercice 6.Montrer que les produits suivants sont des fonctions holomorphes dans les domaines deC indiqu´es entre parenth`eses.

(1)

+∞Y

1

(1−z

n)e^z/n ¡ z∈C¢

, (2)

+∞Y

1

cosz n

¡z∈C¢

, (3)

+∞Y

1

(1 +z²ⁿn^z)¡

|z|<1¢ .