Montrer que le pgcd deP1 etP2 dansL[X] est le mˆeme que leur pgcd dansK[X]

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 MG1 - Alg`ebre commutative

Fiche de TD no 1

Exercice 1. 1. SoitKet Ldeux corps tels que K⊂L. Soit P1, P2 ∈K[X].

Montrer que le pgcd deP₁ etP₂ dansL[X] est le mˆeme que leur pgcd dansK[X].

En d´eduire que les polynˆomesP1 et P2 ∈K[X] sont premiers entre eux si et seulement si il n’ont aucune racine commune dans toute extension de K.

2. Soit P ∈K[X] et L ⊃K une extension qui contient toutes les racines de P. Montrer que toutes les racines deP sont simples si et seulement si P est premier avec sa d´eriv´eeP⁰.

3. Soit Kun corps de caract´eristique nulle ou un corps fini.

Montrer qu’un polynˆome irr´eductible de K[X] n’a pas de racine multiple (dans n’importe quelle extension deK).

Exercice 2. Soit P ∈K[X] de degr´e 3. Montrer queP est irr´eductible si et seulement si P n’a pas de racine dans K.

Exercice 3. Soit P(X) =a0Xⁿ+a1Xⁿ⁻¹+· · ·+an ∈Z[X]. Soitα=p/q∈Qune racine rationnelle de P, avec pgcd(p, q) = 1.

Montrer quep divise anet q divise a0. (En particulier, sia0 = 1, toute racine rationnelle est enti`ere.)

Exercice 4. 1. Montrer queX⁴+ 1 est irr´eductible surQ.

2. Montrer queX⁴+ 1 est r´eductible dansZ/pZ quelque soitp premier.

Indication : EcrireX⁴+ 1 = (X²+ 1)²−2X²= (X²−1)²+ 2X² et montrer que −1 ou 2 ou −2 est un carr´e dansZ/pZ.

Exercice 5. 1. Soitp premier. Montrer que X^p−1+X^p−2+...+X+ 1 est irr´eductible surQ. 2. Soit ppremier. Montrer que Xⁿ+pX+p² est irr´eductible.

(Utiliser la r´eduction modp.)

3. Soita∈Zetp un premier qui ne divise pasa. Montrer queX^p−X+aest irr´eductible surZ/pZ. (Raisonner par absurde et consid´erer le corps de d´ecomposition de ce polynˆome sur Z/pZ.) 4. Soit p premier, Kun corps. Montrer que P(X) = X^p−a∈K[X] est irr´eductible si et seulement

si P n’a pas de racine dansK.

Indication : consid´erer la factorisation de P dans le corps de d´ecomposition deP.

En particulier, si K⊂R,P est irr´eductible sur Ksi et seulement si a^1/pn’est pas dans K.

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Exercice 6. Algorithme pour d´eterminer les diviseurs d’un polynˆomeP(X)∈Z[X] . 1. Soit g(X)∈Z[X] divise P(X), deg(g) =d.

Alorsg(j) divise P(j) pour j= 0, . . . , d.

2. Etant donn´esa0, ..., a_d∈Zil existe un seul polynˆomeg∈Q[X] tels queg(j) =aj,j= 0, . . . , d.

3. Donner une m´ethode pour d´eterminer les diviseurs du polynˆome P(X).

Exercice 7. 1. D´eterminer toutes les extensions alg´ebriques deC. 2. Montrer que toute extension alg´ebrique de Rest isomorphe `aC.

Exercice 8. SoitKun corps etf :Q→Kun morphisme de corps. Montrer queKest de caract´eristique nulle et quef est l’identit´e (sous-entendu Qest contenu dans tout corps de caract´eristique nulle).

1. D´eterminer tous les automorphismes deR.

2. D´eterminer tous les automorphismes continus deC.

Exercice 9. SoitK⊂Lune extension de degr´e n.

Montrer que le degr´e sur Kde tout ´el´ement deL divisen.

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