Géométrie différentielle élémentaire
Frédéric Paulin
Version préliminaire
Cours de première année de mastère École Normale Supérieure
Année 2006-2007
1 Introduction
On peut considérer un objet géométrique selon plusieurs échelles, et les outils d’études diffèrent alors :
infinitésimal ←→ algèbre linéaire et multilinéaire local ←→ calcul différentiel
global ←→ géométrie/topologie différentielle asymptotique ←→ géométrie asymptotique à la Gromov.
Une grande partie de ce cours sera consacré au passage de l’infinitésimal et du local au global.
Nous supposerons acquis les deux premiers points (voir par exemple [Bou1, Ave, CarH, Die1]), et nous ne parlerons pas du dernier (voir par exemple [Gro1, Gro2]).
Dans cet ouvrage élémentaire, nous ne traiterons pas de géométrie riemannienne, ni de géométrie symplectique, ni de géométrie de contact, qui sont traditionnellement des cours de seconde année de mastère (voir par exemple [GHL, McDS]). Nous n’aborderons pas non plus certains points plus avancés de géométrie différentielle, comme les fibrés principaux et les classes caractéristiques, la transversalité et ses applications, ainsi que quelques points sur les formes différentielles, comme la formule de Kunneth (voir par exemple [BT, Hir, God]). Nous ne parlerons pas des variétés différentielles à bord, pourtant si utiles en topologie différentielle (et en particulier, nous n’aborderons pas la suite exacte d’une paire en cohomologie de de Rham, voir par exemple [God]).
Nous mettrons l’accent d’une part sur les exemples de variétés différentielles, qu’elles viennent en familles ou en points remarquables, d’autres part sur leurs groupes de transformations, chers aux physiciens. En ce qui concerne les champs de tenseurs, nous restreindrons notre étude aux champs de vecteurs et aux formes différentielles. Nous n’aborderons quasiment pas les spécifici- tés de la géométrie différentielle complexe, pourtant si riche (voir par exemple [Voi, Laz, BPV]).
Pour les aspects de théorie de jauge et d’analyse sur les variétés, qui ont eu un impact important sur la topologie des variétés, avec les travaux par exemple de Donaldson et de Perelman, nous renvoyons aux textes [Aub, Don, Bes] par exemple.
Nous espérons que le plaisir du lecteur dans la découverte de ces espaces (les variétés dif- férentielles), ces groupes (les groupes de Lie), ces champs (champs de vecteurs et formes dif- férentielles) sera renforcé par les très nombreux exercices et problèmes de ce recueil, issus de trois années d’enseignements à l’École Normale Supérieure. Une partie d’entre eux est accompa- gnée d’un schème1de preuve ou d’indications de résolution, pas forcément rédigées de manière optimales ni complètes.
Souhaitant revenir aux Éléments d’Euclide, nous dironsporisme(π´oρισµα) au lieu deco- rollaire.
Remerciements.Une partie des 189 exercices et problèmes, avec leurs solutions, et de nombreuses corrections, ont été fournis par Sébastien Gouëzel. Je l’en remercie chaleureusement. Je remercie tous les élèves m’ayant signalé des incorrections dans les premières versions de ce texte.
1n.m. (gr.σχηµα). Structure d’ensemble d’un processus.
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Table des matières
1 Introduction 3
2 Variétés différentielles 7
2.1 Variétés topologiques . . . 7
2.2 Sous-variétés deRn . . . 11
2.3 La catégorie des variétés différentielles . . . 14
Objets . . . 14
Flèches . . . 16
Le point de vue des faisceaux . . . 18
2.4 Exemples de variétés différentielles . . . 19
2.4.1 Exemples triviaux, contre-exemples et culture . . . 19
2.4.2 Exemples familiaux . . . 23
Sous-variétés . . . 23
Plongements . . . 24
Images réciproques . . . 26
Sommes disjointes . . . 27
Produits . . . 28
Homéomorphismes locaux . . . 28
Revêtements . . . 28
2.4.3 Exemples cruciaux . . . 31
Les sphères . . . 31
Les tores . . . 32
Les espaces projectifs . . . 33
Les variétés grassmanniennes . . . 35
Les groupes classiques . . . 36
2.5 Autres exercices . . . 37
2.6 Indications pour la résolution des exercices . . . 45
3 Fibrés vectoriels 62 3.1 Sous-espaces tangents d’une sous-variété deRn. . . 62
3.2 Fibrés vectoriels . . . 64
3.3 Fibré tangent . . . 67
3.4 Application tangente . . . 69
3.5 Exemples . . . 71
Sous-variétés . . . 71
Plongements . . . 73
Images réciproques . . . 73
Sommes disjointes . . . 73
Produits . . . 73
Revêtements . . . 73
3.6 Fibrations . . . 74
3.7 Le fibré des formes alternées . . . 76
3.8 Opérations sur les fibrés vectoriels . . . 77
Préimage . . . 77
Produit . . . 79
Somme directe . . . 79 4
3.9 Autres exercices . . . 80
3.10 Indications pour la résolution des exercices . . . 83
4 Champs de vecteurs et feuilletages 88 4.1 Champs de vecteurs . . . 88
4.2 Opérations sur les champs de vecteurs . . . 89
4.2.1 Addition. . . 89
4.2.2 Multiplication par une fonction. . . 89
4.2.3 Restriction. . . 90
4.2.4 Image réciproque. . . 90
4.2.5 Expression d’un champ de vecteurs dans une carte. . . 91
4.3 Flot local d’un champ de vecteurs . . . 92
4.4 Dérivations . . . 95
4.5 Dérivations et champs de vecteurs . . . 97
4.6 Crochets de champs de vecteurs . . . 99
4.7 Champs de plans . . . 101
4.8 Feuilletages . . . 103
4.9 Théorème de Frobénius . . . 107
4.10 Autres exercices . . . 109
4.11 Indications pour la résolution des exercices . . . 119
5 Groupes de Lie et espaces homogènes 147 5.1 Groupes de Lie . . . 147
Culture . . . 151
5.2 Algèbres de Lie . . . 152
5.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. . . 155
5.4 Champs de vecteurs invariants . . . 159
5.5 Application exponentielle . . . 161
5.6 Sous-groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie . . . 165
5.7 Revêtements et groupes de Lie . . . 168
5.8 Espaces homogènes . . . 176
Actions continues de groupes topologiques . . . 176
Actions différentiables de groupes de Lie . . . 178
Espaces homogènes quotients . . . 178
Actions transitives de groupes de Lie . . . 180
Exemples de variétés homogènes . . . 181
Variétés quotients . . . 186
5.9 Autres exercices . . . 186
5.10 Indications pour la résolution des exercices . . . 194
6 Formes différentielles 205 6.1 Formes différentielles . . . 205
Structure d’algèbre . . . 205
Image réciproque . . . 207
Différentielle extérieure . . . 209
Produit intérieur et dérivée de Lie . . . 213
Gradient, divergence, rotationnel . . . 216
6.2 Cohomologie de de Rham . . . 217
Algèbre de cohomologie de de Rham . . . 218
Invariance par homotopie . . . 220
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . 224
Calcul de la cohomologie des sphères . . . 226
Autres calculs de cohomologie de de Rham . . . 229
6.3 Intégration des formes différentielles . . . 234
Intégration dans les ouverts deRn . . . 235
Orientation des variétés . . . 236
Intégration de formes différentielles . . . 240
Le théorème de Stokes . . . 242
Régularité . . . 245
6.4 Cohomologie à support compact . . . 245
Invariance par homotopie . . . 247
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . 248
6.5 Dualité de Poincaré . . . 249
Cohomologie de de Rham des espaces projectifs réels . . . 253
6.6 Théorie du degré . . . 254
6.6.1 Degré d’une application entre variétés de même dimension. . . 254
6.6.2 Indice d’un champ de vecteurs en un zéro isolé. . . 259
6.6.3 Nombre d’enlacement. . . 260
6.7 Autres exercices . . . 264
6.8 Indications pour la résolution des exercices . . . 275
A Annexes : rappels divers 300 A.1 Rappels de topologie . . . 300
A.2 Rappels sur les actions de groupes . . . 304
A.3 Rappels de calcul différentiel . . . 306
A.4 Rappels sur les revêtements . . . 310
Revêtements . . . 310
Homotopie . . . 312
Revêtements universels . . . 313
A.5 Rappels d’algèbre multilinéaire . . . 315
Algèbre tensorielle . . . 315
Algèbre extérieure . . . 316
A.6 Rappels d’algèbre homologique . . . 323
Catégories, foncteurs . . . 323
Complexes de cochaînes . . . 325
A.7 Indications pour la résolution des exercices . . . 329
Index 336
Bibliographie 342
2 Variétés différentielles
Pour des explications historiques sur l’invention de la notion de variété et ses motivations, nous renvoyons aux textes originaux de Riemann [Rie, Spi], H. Poincaré [Poi], E. Cartan [Car], ainsi qu’aux ouvrages d’histoire des mathématiques comme l’excellent [Die4].
2.1 Variétés topologiques
Avant de définir les variétés topologiques, donnons deux résultats de topologie générale.
Pour toutndansN, l’ensembleRnest muni de sa topologie usuelle.
Théorème 2.1 (Théorème d’invariance du domaine de Brouwer)SoitU un ouvert de Rn, etf :U →Rnune application continue et injective. Alorsf(U)est ouvert, etf:U→f(U)
est un homéomorphisme.
En particulier, un ouvert non vide deRnn’est pas homéomorphe à un ouvert non vide deRm sinetmsont distincts. Notons que si l’on remplace « homéomorphe » par «C1-difféomorphe », alors cette dernière assertion est évidente. Dans le cadre différentiel de ce cours, le théorème d’inversion locale (voir l’appendice A.3) est en général un outil suffisant pour remplacer le théorème d’invariance du domaine de Brouwer.
Nous admettrons le théorème 2.1. Les preuves les plus naturelles utilisent des outils élé- mentaires de topologie algébrique, ce qui constituerait une diversion un peu longue (voir [God, Spa, Hat, Pau]). Il existe aussi des preuves plus directes, mais moins éclairantes (voir avec précautions la preuve originelle [Brou]).
La proposition suivante servira à comprendre les propriétés topologiques globales (qui sont minimes) que nous demanderons aux variétés topologiques. Nous renvoyons à l’appendice A.1 pour les définitions des notions topologiques utilisées.
Proposition 2.2 Soit X un espace topologique, dont tout point admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert d’un espaceRn. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. X est séparé et à base dénombrable, 2. X estσ-compact,
3. X est dénombrable à l’infini, 4. X est métrisable séparable,
5. il existe un plongement topologique deX dans`2(R).
Preuve.Un espace topologique séparé dans lequel tout point admet un voisinage ouvert homéo- morphe à un ouvert d’unRnest localement compact. En particulier, tout point d’un tel espace admet un système fondamental de voisinages fermés métrisables (pour la topologie induite).
Il est immédiat qu’un espace localement compact à base dénombrable admet une base dé- nombrable d’ouverts d’adhérences compactes, donc estσ-compact, et qu’un espaceσ-compact, dans lequel tout point admet un voisinage ouvert qui est à base dénombrable (pour la topologie induite), est à base dénombrable. Donc (1) et (2) sont équivalents.
Il est immédiat qu’un espace dénombrable à l’infini estσ-compact, et qu’un espace locale- ment compact etσ-compact est dénombrable à l’infini. Donc (2) et (3) sont équivalents.
L’espace de Hilbert `2(R) est métrisable et à base dénombrable (l’ensemble des boules ouvertes de rayons rationnels centrées aux suites presque nulles de rationnels est une base
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dénombrable d’ouverts). Tout sous-espace d’un espace métrisable et à base dénombrable l’est encore. Un espace topologique à base dénombrable est séparable, car si(Ui)i∈N est une base d’ouverts non vides, etxiun point deUi, alors(xi)i∈Nest dense. Donc (5) implique (4).
Un espace métrique séparable est séparé et à base dénombrable (en prenant les boules ouvertes de rayons rationnels centrées aux points d’une partie dénombrable dense). Donc (4) implique (1).
Un espace topologiqueX, séparé, à base dénombrable, et dont tout point admet un système fondamental de voisinages fermés métrisables, se plonge dans`2(R). En effet, soit(Ui)i∈Nune base dénombrable d’ouverts de X. Nous pouvons supposer que Ui est métrisable (pour la topologie induite), car si J est l’ensemble des itels queUi est métrisable, alors(Uj)j∈J est encore une base d’ouverts. Notonsdiune distance sur l’espaceUicompatible avec sa topologie.
Considérons la fonctionϕi:X→[0,1]définie parϕi(x) = min{1, di(x, ∂Ui)}sixest dansUiet ϕi(x) = 0sinon. Il est facile de vérifier queϕiest continue et non nulle exactement surUi. Alors l’applicationf :x7→(i+11 ϕi(x))i∈N est un homéomorphisme deX sur son image dans`2(R).
En effet, l’injectivité découle du fait queXsoit séparé et que(Ui)i∈Nsoit une base d’ouverts.
La continuité vient du fait que lesϕisoient continues et bornées en valeur absolue par1. Enfin, l’applicationf :X →f(X)est fermée, car siF est un fermé deX et sixn’est pas dansF, alors il existeitel quex⊂Ui⊂X−F, et doncd(f(x), f(F))≥ϕi(x)/(i+ 1)>0. Donc (1)
implique (5).
Unevariété topologique(ou par abusvariété) est un espace topologiqueMtel que
• l’espaceMsoit séparé et à base dénombrable,
• tout point deM admette un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert d’un espaceRn. En particulier, par la proposition 2.2, une variété topologique est un espace localement compact, métrisable, séparable, dénombrable à l’infini. Au lieu de demander queMsoit séparé à base dénombrable, nous pourrions demander, de manière équivalente par la proposition 2.2, queMsoit métrisable séparable. Il est souvent plus facile de vérifier les conditions séparé à base dénombrable que les conditions métrisable séparable (lorsque l’on veut montrer qu’un objet est une variété), et c’est pour cela que nous mettons en avant les premières. Par contre, les secondes sont souvent plus utiles lorsque l’on travaille sur une variété donnée.
Mais ces propriétés globales des variétés topologiques sont minimes, et en pratique faciles à vérifier (cette vérification étant parfois omise). Ce qui est important est qu’une variété topo- logique admette les mêmes propriétés topologiques locales qu’un espaceRn. Par exemple, elle est, entre autres, (voir les appendices A.1 et A.4 pour des définitions)
– localement compacte (ce qui n’est pas uniquement une condition locale à cause de l’hy- pothèse de séparation),
– localement connexe par arcs (donc elle est connexe par arcs si elle est connexe), – localement contractile.
SoitMune variété topologique. Pour toutxdansM, l’entierntel qu’il existe un voisinage ouvert dexhoméomorphe à un ouvert deRnest uniquement défini, par le théorème d’invariance du domaine de Brouwer 2.1, et il est localement constant (donc constant sur toute composante connexe deM). Pour toutn dansN, une variété topologique est ditede dimensionnsi tout point admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert deRn. Toute composante connexe deM possède donc une dimension bien définie. Dans la littérature comme dans ce cours, on ne considère en général que des variétés topologiques dont les dimensions des composantes connexes sont égales. On appelle souvent courbeune variété topologique de dimension 1, et surfaceune variété topologique de dimension2.
Par exemple, les variétés topologiques de dimension0sont les espaces discrets dénombrables.
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Exercice E.1Montrer qu’une variété topologique compacte connexe de dimension1est homéo- morphe au cercleS1. Montrer qu’une variété topologique connexe non compacte de dimension 1 est homéomorphe à R. En déduire qu’une variété topologique de dimension1 est somme disjointe d’un ensemble dénombrable d’espaces homéomorphes àRou àS1.
La collection des variétés topologiques forme une sous-catégorie de la catégorie des espaces topologiques, notée TOP, et de même pour les variétés topologiques de dimensionn, dont la collection est notée TOPn. Voir l’appendice A.6 pour la définition d’une catégorie.
L’outil principal qui permet le passage du local au global dans les variétés topologiques est celui de partition de l’unité, que nous introduisons maintenant. Nous renvoyons à l’appendice A.1 pour les définitions de topologie générale utilisées, en particulier celle de famille localement finie de parties.
SoitX un espace topologique. Sif:X→Rest une fonction continue, on appellesupport def l’adhérence de{x∈X : f(x)6= 0}, et on le noteSupp(f). C’est le plus petit fermé en dehors duquelf est nulle.
Unepartition de l’unitéde X est une famille (ϕα)α∈A de fonctions continues deX dans [0,1], dont la famille des supports est localement finie, et qui vérifie P
iϕi = 1(remarquer qu’alors (ϕ−α1(]0,1]))α∈A est un recouvrement ouvert, et que la somme P
iϕi(x)ne possède qu’un nombre fini de termes non nuls pour toutxdansX). SoitU= (Ui)i∈Iun recouvrement ouvert deX. Unepartition de l’unité subordonnée àU est une partition de l’unité(ϕi)i∈I de X, telle que, pour touti∈I, le support deϕisoit contenu dansUi.
Remarque.Supposons que l’on ait une partition de l’unité(ϕ0α)α∈AdeX, telle que, pour tout α∈ A, il existe un élément deUcontenant le support deϕ0α. Il est alors facile de modifier cette partition de l’unité pour la rendre subordonnée àU. En effet, sif:A →Iest n’importe quelle application telle que le support deϕ0αsoit contenu dansUf(α) pour toutα, posons
ϕi:x7→ X
α∈f−1(i)
ϕ0α(x), avec la convention usuelleP
∅= 0. Alors(ϕi)i∈Iest une partition de l’unité subordonnée àU. En effet,
(1) l’applicationϕiest bien définie et continue, car sur un voisinage de tout point,ϕiest somme d’un nombre fini deϕ0α;
(2)P
iϕi=P
αϕ0α= 1;
(3) la famille de fermés(Suppϕi)i∈I est localement finie, car pour tout ouvertUdeX, {i∈I : (Suppϕi)∩U 6=∅} ⊂f {α∈ A : (Suppϕ0α)∩U 6=∅}
, et l’image d’un ensemble fini par une application est finie ;
(4) nous avons
(Suppϕi)⊂ [
α∈f−1(i)
Suppϕ0α= [
α∈f−1(i)
Suppϕ0α⊂Ui, car une union localement finie de fermés est fermée.
Proposition 2.3 Une variété topologiqueM est paracompacte, et tout recouvrement ouvert de Madmet une partition de l’unité qui lui est subordonnée. Si de plusMest compacte, alors tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini et une partition de l’unité finie qui est subordonnée à ce sous-recouvrement.
En fait, tout recouvrement ouvert d’un espace topologique paracompact admet une partition de l’unité subordonnée (voir [Dug, page 170]), mais nous ne montrerons ce résultat que dans les cas des variétés, et nous aurons besoin de sa version différentiable (i.e. de la proposition 2.9) au chapitre 6.
Lemme 2.4 Pour toutx0dansRnet tout voisinageU dex0, il existe une fonctionC∞deRn dansR, de support contenu dansU, constante égale à1 sur un voisinage dex0, et à valeurs dans[0,1].
Preuve. Rappelons que limt→0+ 1
tne−1t = 0pour toutn dansR. Il est alors facile de vérifier que, pour tousa < b, l’application deRdansR
fa,b:t7→
1 +e(b−t)(t−a)2t−(a+b)−1
sia < t < b
1 sit≤a
0 sit≥b
est C∞. Alors, pour >0suffisamment petit, l’ap- plicationx7→f/2,(||x−x0||)convient, pour|| · ||
la norme usuelle.
a b
1
0
Preuve de la proposition 2.3.CommeMest dénombrable à l’infini, il existe par définition une suite exhaustive de compacts(Ki)i∈N (voir l’appendice A.1). PosonsK−1 =∅, etKn0 = Kn+1−K◦n, qui est un sous-espace compact deM.
SoitU= (Uα)α∈Aun recouvrement ouvert. Posons Vn,α=Uα∩
◦
Kn+2−Kn−1
.
Alors (Vn,α)α∈A est un recouvrement ouvert deKn0, donc admet un sous-recouvrement fini (Vn,α)α∈An. Alors(Vn,α)n∈N,α∈Anest un recouvrement ouvert deM, plus fin queU, et localement fini. DoncM est paracompacte.
Pour toutxdansKn0, soitWxun voisinage ouvert dex, contenu dansVn,αpour unαdans A, et homéomorphe à un ouvert d’un espaceRk. Par le lemme précédent, il existe donc (en prolongeant par0en dehors deWx) une application continueϕxdeM dans[0,1], de support contenu dansWx, constante égale à1sur un voisinageWx0 dex. Comme(Wx0)x∈Kn0 recouvre Kn0, il existe une partie finieBndeKn0 telle que(Wx0)x∈BnrecouvreKn0. Posons
ϕ:y7→ X
n∈N, x∈Bn
ϕx(y),
qui est une somme n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls (car pourxdansBn, l’appli- cationϕxest nulle surKn−1, donc surysinest assez grand), et qui est strictement positive (en fait supérieure ou égale à1) pour toutydansM. Posonsϕ0x=ϕx/ϕ. Alors(ϕ0x)n∈N, x∈Bnest une partition de l’unité que l’on peut rendre subordonnée àU en utilisant la remarque précédant la proposition 2.3.
La dernière assertion découle immédiatement de la première.
Exercice E.2 SoitMun espace topologique paracompact, dont tout point admet un voisinage homéomorphe à un ouvert deRn. AlorsM est métrisable.
Il découle de la proposition 2.3 et de l’exercice ci-dessus que l’on peut rajouter la condition
«Xest paracompact séparable » dans la liste des conditions équivalentes de la proposition 2.2.
Il existe des espaces topologiques localement homéomorphes àRn, mais non séparés, que nous appelleronsvariétés topologiques non séparées(de dimensionn). De tels exemples appa- raissent assez naturellement quand on considère des quotients de variétés topologiques (il est donc important de ne pas oublier d’étudier la propriété de séparation des quotients, lorsque l’on veut construire des variétés topologiques comme espaces quotients d’espaces topologiques !), voir les exemples en exercice ci-dessous. Il existe des espaces topologiques localement homéomorphes àRn, mais non paracompacts, que nous appelleronsvariétés topologiques non paracompactes(de dimensionn). Mais de tels exemples sont la plupart du temps très artificiels, voir les exemples en exercice ci-dessous.
Exercice E.3(1) Soit X l’ensemble (R− {0})‘{0−,0+}. Montrer qu’il existe une unique structure d’espace topologique surX telle que les deux applicationsϕ±:R→X définies par ϕ±(t) =tsit6= 0, etϕ±(0) = 0±soient des homéomorphismes sur leurs images. Montrer que Xest une variété topologique non séparée (voir ci-dessous).
0+
0−
Ω =R2 Ω =R2− {0}
X
(2) On considère un champ de vecteurs de classeC1ne s’annulant pas sur un ouvertΩde R2, dont toute courbe intégrale est fermée dansΩ. Soit∼la relation d’équivalence surΩdéfinie parx ∼y si et seulement s’il existe une courbe intégrale deX passant par xety. Montrer que l’espace topologique quotient Ω/∼ est localement homéomorphe àR. Plus généralement (voir le paragraphe 4.8 pour les définitions), siF est un feuilletage C1 de codimension k à feuilles fermées dans une variété différentielleΩ de classe C1, alors l’espace des feuilles de (Ω,F)(i.e. l’espace topologique quotient deΩpar la relation d’équivalence « être dans la même feuille ») est localement homéomorphe à Rk. Dans les deux exemples de la figure ci-dessus, montrer queΩ/∼est une variété topologique non séparée de dimension1(mais séparable).
Exercice E.4(Voir l’appendice A.1 pour des rappels sur les ordres.) Soit β un ordinal, et β−l’ensemble ordonné des ordinaux strictement inférieurs àβ. On considère l’ensembleX= (β−×[ 0,1[)−{(0,0)}muni de la topologie de l’ordre induite par l’ordre lexicographique. Montrer que siβ est l’ordinal de l’ordre usuel surN, alorsX est homéomorphe à ]0,+∞[. Montrer que siβ est le plus petit ordinal non dénombrable, alorsX est une variété topologique non paracompacte (mais séparée), appelée lalongue (demi-)droite.
2.2 Sous-variétés de R
nNous renvoyons par exemple à [Ave, CarH, Die1] pour des rappels de calcul différentiel, ainsi qu’à l’appendice A.3. Sauf mention explicite du contraire, on identifieRn etRp×Rn−p
11
de manière usuelle par (x1, . . . , xn) 7→ ((x1, . . . , xp),(xp+1, . . . , xn)) pour 0 ≤ p ≤ n (avec convention immédiate pourp= 0oup=n).
Le premier exemple, et celui qu’il faut garder en tête, de sous-variété d’un espace vectoriel de dimension finie est un sous-espace vectoriel, par exempleRp× {0}contenu dansRn. Nous allons définir une sous-variété générale comme obtenue par difféomorphismes locaux ambiants à partir un tel exemple, et donner des caractérisations équivalentes. Rappelons que legraphe d’une applicationf:A→B est la partie deA×Bformée des couples(x, f(x))pourxdans A.
Théorème 2.5 Soit n ≥p dansN etk dans (N− {0})∪ {∞, ω}. Les propriétés suivantes d’une partieM deRnsont équivalentes :
•(Définition locale par redressement) Pour toutxdansM, il existe un voisinage U dexdansRn, un voisinageV de0dans Rn et un Ck-difféomorphismef : U → V tels quef(U∩M) =V ∩(Rp× {0}).
U
M
Rp 0
V x f
•(Définition locale par fonction impli- cite)
Pour toutxdansM, il existe un voisinage U dexdansRn, et une applicationf:U → Rn−pde classeCkqui est une submersion en x, tels queU∩M=f−1(0).
M
U f 0
x
Rn−p
• (Définition locale par graphe) Pour toutxdansM, il existe un voisinage U de x dansRn, une identification par un automorphisme linéaire Rn = Rp×Rn−p, un ouvert V de Rp et une application f : V →Rn−pde classeCk tels queU ∩M = graphe(f).
M
Rp
U x
Rn−p
V
• (Définition locale par paramétrage) Pour toutxdansM, il existe un voisinage U dexdansRn, un voisinageV de0dans Rpet une applicationf:V →Rn de classe Cktels quef(0) =x,f soit une immersion en0, etfsoit un homéomorphisme deV sur U∩M.
f
V
U∩M
Rn 0
x
Preuve.Numérotons de (1) à (4) ces assertions dans cet ordre.
Montrons que (1) implique (2). Six, U, fsont comme dans (1), alors on peut supposer que f(x) = 0, et en notantf1, . . . , fn les composantes de f, et g : U → Rn−pl’application de composantesfp+1, . . . , fn, alorsgest une submersion de classeCktelle queg−1(0) =U∩M.
Montrons que (1) implique (4). Six, U, V, fsont comme dans (1), alors on peut supposer que f(x) = 0, et la restriction def−1à l’ouvertW=V∩(Rp× {0})deRp× {0}est une application de classeCkenvoyant0surx, qui est une immersion en0, et qui est un homéomorphisme de W surU∩M.
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Montrons que (4) implique (1) (cette implication est parfois utilisée sous le nom de théorème des immersions dans les exercices). Six, U, V, f sont comme dans (4), alors par le théorème A.5 de forme normale locale des immersions, quitte à restreindre U et V, il existe un Ck- difféomorphismeψdeU sur un voisinage ouvertWde0dansRntel que, surV, on ait l’égalité ψ◦f (x1, . . . , xp) = (x1, . . . , xp,0. . . ,0), et donc en particulier ψ(U ∩M) = ψ◦f(V) = W∩(Rp× {0}).
Le fait que (2) implique (1) (cette implication est parfois utilisée sous le nom de théorème des submersions dans les exercices) se montre de même, en utilisant le théorème A.6 de forme normale locale des submersions.
Le fait que (3) implique (4) est immédiat, car six, U, V, f sont comme dans (3), alors on peut supposer quex = 0 et quef(0) = 0, et l’applicationF : y 7→ (y, f(y))est alors un homéomorphisme deV surU∩M, qui est une immersionCken0avecF(0) = 0.
Montrons pour terminer que (2) implique (3). Soient x, U, f comme dans (2), et notons f1, . . . , fn−ples composantes def. On peut supposer quex= 0. Quitte à permuter les coordon- nées, commef est une submersion enx, on peut supposer que la matrice
∂fi
∂xj+p(x)
1≤i,j≤n−p
(extraite de la matrice jacobienne defenx) soit inversible. Notonspr1la projection sur le pre- mier facteur deRp×Rn−p. La différentielle enxde l’applicationF:y7→(pr1(y), f(y))est inver- sible. Donc par le théorème A.2 d’inversion locale,Fest un difféomorphisme local en0. L’inverse deFest de la formey7→(pr1(y), G(y))avecGune application d’un voisinageW de0dansRn à valeurs dansRn−p. Donc, quitte à restreindreU, la partieU∩M=f−1(0) =F−1(Rp× {0}) est le graphe de la fonctionGrestreinte àW∩(Rp× {0}).
On dit qu’une partieM deRn est unesous-variété deRn de dimensionp et de classeCk (et tout simplementsous-variétépar abus, par exemple quandkest sous-entendu) si elle vérifie l’une des propriétés du théorème 2.5. On dit alors que lacodimensiondeM dansRnestn−p.
Sip = 1,2, n−1, on dit que M est une courbe, surface, hypersurface (différentielle) deRn respectivement.
Six∈M, unparamétrage localde classeCkdeM enxest une applicationf:V →M, où V est un voisinage de0dansRp, telle quef(0) =x,f soit une immersionCksurV, etf soit un homéomorphisme deV sur un voisinage ouvert dexdansM(voir la définition (4)).
Exercice E.5Soit U un ouvert deRn, et f : U →Rq une application de classe Ck et de rang constantr. Montrer que pour tout y0 dansf(U), l’ensemble des solutions de l’équation f(x) =y0est une sous-variété deRn de classeCkde dimensionn−r.
Remarques. (i) La définition (1) fait encore sens lorsquek= 0. On parle alors desous-variété topologique(ou de classeC0). La définition (3) fait encore sens aussi, mais elle est strictement plus forte que la première, car l’exemple ci-dessous est une sous-variété topologique de R2 (i.e. elle vérifie la définition (1)), mais ne peut pas s’écrire localement comme le graphe d’une fonction continue (i.e. elle ne vérifie pas la définition (3)).
x
(ii) En remplaçantRparC, et « de classeCk» par « analytique complexe », ces définitions sont encore équivalentes, on parle alors desous-variété complexede dimension (complexe)pet de codimension (complexe)n−pdansCn.
Nous donnerons des exemples de sous-variétés dans le paragraphe 2.4, car ce seront aussi des exemples de variétés différentielles, que nous définissons maintenant.
2.3 La catégorie des variétés différentielles
Soientkdans l’ensembleN∪ {∞, ω}(muni de l’ordrep≤ ∞ ≤ωpour toutpdansN), et ndansN.
•Objets.
Unatlas de cartesCkà valeurs dansRn sur un espace topologiqueM est un ensembleA de couples(U, ϕ)oùϕ : U →V =ϕ(U)est un homéomorphisme d’un ouvertU de M sur un ouvertV deRn, tel que les ouvertsU recouvrentM, et que pour tous les couples(U, ϕ)et (U0, ϕ0)dansA, l’application
ϕ0◦ϕ−1:ϕ(U∩U0)→ϕ0(U∩U0) soit unCk-difféomorphisme d’un ouvert deϕ(U)sur un ouvert deϕ0(U0).
Ui Uj
Vi
M
ϕj
ϕi
Vj
ϕj◦ϕ−i1
Nous ferons souvent l’abus de noter de la même manière une application et sa restriction à une partie de son domaine de définition. Nous utiliserons souvent par abus des familles indexées {(Ui, ϕi) : i∈I}, quitte à indexer les atlas par eux-mêmes.
Un tel couple(Ui, ϕi)(et l’applicationϕi) est appelé unecarte(oucarte locale) deA(ou de M par abus), et unecarte (locale) en x six ∈ Ui; l’ouvertUi est appelé ledomainede cette carte. L’applicationϕi◦ϕ−j1:ϕj(Ui∩Uj)→ϕi(Ui∩Uj)est appelée uneapplication de transition, ou unchangement de carte, deA(ou deMpar abus).
Remarque 2.6 Si dans la définition ci-dessus, nous demandons seulement que lesUi soient des sous-ensembles deM et que lesϕisoient des bijections, alors l’existence d’un tel atlas de cartes permet de munir M d’une unique topologie, pour laquelle les Ui sont des ouverts, et lesϕi : Ui → Vi des homéomorphismes. Cette topologie est la topologie la moins fine (voir l’appendice A.1) rendant continues les cartes, i.e. une partie V deM est décrétée ouverte si et seulement si pour toute carte(U, ϕ)deM, la partieϕ(U∩V)est un ouvert deϕ(U). Pour tout espace topologique X, une applicationf :X →M est alors continue si et seulement si pour toute carte(U, ϕ)deM, l’applicationϕ◦f est continue. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que lesUisont ouverts, que lesϕi:Ui→Visont des homéomorphismes, et que cette topologie est la seule qui convienne. Voir l’exercice E.172 de l’appendice A.1.
Lemme 2.7 SoitM un espace topologique. Tout atlas de cartesCkdeMest contenu dans un unique atlas de cartesCkmaximal (pour l’inclusion).
Preuve.Deux atlas de cartesCksont ditCk-compatiblessi leur réunion est encore un atlas de cartesCk(ou de manière équivalente si l’application de transition entre toute carte de l’un et toute carte de l’autre est un Ck-difféomorphisme). La relation « être Ck-compatible » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des atlas de cartesCk. La réunion de tous les atlas de cartesCk qui sont Ck-compatibles à un atlas de cartes Ck donné est alors l’unique atlas
maximal cherché contenant ce dernier.
On appellevariété différentiellede classeCket de dimensionntout espace topologique
• séparé à base dénombrable,
• muni d’un atlas maximal de cartesCk(ou de manière équivalente, d’une classe d’équiva- lence d’atlas de cartesCk), à valeurs dansRn.
Lorsqueketnsont sous-entendus, on parlera de variété différentielle, voire même par abus de variété. On dit une variété lisselorsque k =∞, et une variété analytique réellelorsque k =ω. Lorsquen= 1(respectivement n = 2), on parle decourbe (respectivementsurface), différentielle (lisse sik =∞, analytique réelle sik =ω), et par abus lorsque le contexte est clair, de courbe (respectivement surface) tout court, mais il vaut mieux préciser.
Une variété topologiqueM de dimensionn admet un unique atlas de cartesC0 maximal, l’ensemble de tous les homéomorphismes entre un ouvert de M et un ouvert de Rn. Munie de cet atlas,M est alors une variété différentielle de classe C0. Réciproquement, une variété différentielle de classeC0, privée de son atlas maximal, est une variété topologique. Nous iden- tifierons ainsi dans la suite de ce texte les variétés différentielles de classeC0 et les variétés topologiques.
La définition fait sens lorsque l’on remplaceRn par un espace de BanachH, et l’on parle devariété modelée surH, ouvariété banachiquelorsqueHest sous-entendu. Par exemple, si Hest un espace vectoriel réel de dimensionnmuni d’une norme quelconque (elles sont toutes équivalentes), alors en composant un atlas de cartes (maximal) à valeurs dansHpar n’importe quel isomorphisme linéaire deH surRn, on obtient un atlas de cartes (maximal) à valeurs dansRn. Le choix de l’isomorphisme linéaire est indifférent, car tout automorphisme linéaire deRn est analytique réel. Donc une variété de classeCkmodelée sur un espace vectoriel réel de dimensionnest naturellement muni d’une structure de variété de classeCkde dimensionn, et nous nous autoriserons parfois à définir des atlas de cartes à valeurs dans d’autres espaces vectoriels réels de dimensionnqueRn.
Lorsque k = ω, on peut remplacer Rn par Cn (ou par n’importe quel espace vectoriel complexe de dimensionn, car tout automorphisme linéaire deCnest analytique complexe), et demander que les changements de cartes soient analytiques complexes. On parle alors devariété analytique complexe(ouvariété holomorphe) de dimension complexen. Une variété analytique complexeM de dimension complexenadmet, après oubli de son atlas de cartes holomorphes maximal A, une structure de variété analytique réelle (dite obtenue par appauvrisement de structureet encore notée M) de dimension réelle2n, en la munissant de l’atlas de cartesCω maximal contenantA.
SoitKun corps local (i.e. une extension finie du corpsQpdes nombresp-adiques, ou le corps Fq((X))des séries formelles de Laurent en une indéterminée sur le corps finiFqàqéléments, munis de leur valeur absolue, voir [Ser1]). Lorsquek=ω, on peut remplacerRn parKn dans la définition ci-dessus, en demandant que les changements de cartes soient analytiques surK.
On parle alors devariété analytique rigide, voir [Sch, Rob, FP] pour plus d’informations.
Une variété différentielle, si l’on oublie qu’elle est munie d’un atlas maximal, est en particu- lier une variété topologique. On peut remplacer « séparé à base dénombrable » par « métrisable
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séparable », ou « dénombrable à l’infini », ou « paracompact séparable » dans la définition de variété différentielle, par la proposition 2.2 et l’alinéa suivant l’exercice E.2.
Tout atlas de cartesCkd’un espace topologique est aussi un atlas de cartesCk0pourk0≤k.
SiM est une variété différentielleCk, d’atlas maximalA, alors l’espace topologiqueM peut être, et sera, muni d’une structure de variété différentielleCk0(dite obtenue parappauvrissement de structure, et notée par abus de la même manière), en munissantM de l’atlas maximal de cartesCk0contenantA.
•Flèches.
Soientk ∈NetM, M0 deux variétésCk(par exemple obtenues par appauvrissement des structures de deux variétés M, M0 de classe Ck0,Ck00 aveck0, k00 ≥ k) etf : M → M0 une application.
Soient(U, ϕ)et(U0, ϕ0)des cartes deM, M0respectivement ; l’application ϕ0◦f◦ϕ−1:ϕ(U∩f−1(U0))→ϕ0(U0)
s’appellel’applicationf lue dans les cartes(U, ϕ)et(U0, ϕ0).
L’applicationf est dite de classeCken un point xde M s’il existe des cartes (U, ϕ)et (U0, ϕ0)de M, M0 en x, f(x)respectivement, telles quef(U)⊂U0 et que l’application f lue dans les cartes(U, ϕ)et(U0, ϕ0)soit de classeCkenϕ(x).
M M0
ψ
ϕ
ψ0(V0) ψ0 U0
V0
ϕ0◦f◦ϕ−1
ψ0◦f◦ψ−1 f U
ϕ0
ϕ0(U0) V
ψ(V)
ϕ(U) x f(x)
Par le théorème de composition des applications différentiables, l’applicationfest de classe Cken un pointxdeMsi et seulement si elle est continue enxet si pour toutes les cartes(U, ϕ) et(U0, ϕ0)deM, M0enx, f(x)respectivement, l’applicationf lue dans ces cartes soit de classe Ckenϕ(x).
Notons que sik >0, le rang (voir l’appendice A.3) de l’application lue dans des cartes en l’image dexne dépend pas de ces cartes, et sera donc appelé lerangdef enx.
On dit qu’une applicationf:M→M0estde classeCksi elle est de classeCken tout point deM. Une application de classeCkest en particulier continue. On noteCk(M, M0)l’ensemble des applications de classeCkdeMdansM0. Si0≤k0≤k, alorsCk0(M, M0)⊂Ck(M, M0)
Le théorème de composition des applications différentiables s’étend aux variétés différen- tielles : si M, M0, M00 sont trois variétésCk, et sif : M → M0 et g : M0 →M00 sont des
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applications de classeCkenxet enf(x)respectivement, alorsg◦f :M→M00est de classe Ck en x; donc si f : M → M0, g : M0 → M00 sont des applications de classe Ck, alors g◦f:M→M00est de classeCk. Ceci découle immédiatement du cas des ouverts des espaces Rnen considérant des applications lues dans des cartes.
PourK=RouK=C(munis de leur structure de variétéCkévidente, voir paragraphe 2.4.1), l’ensembleCk(M, K)est une sous-algèbre de laK-algèbre de toutes les applications de MdansK(munie des opérations d’addition et de multiplications points par points).
La collection des variétésCk, la collection des ensembles d’applicationsCkentre deux varié- tésCk, les applications identités des variétésCket la composition des applicationsCkforment donc une catégorie (voir l’appendice A.6).
Soitf:M→M0 une application de classeCk. Nous renvoyons à l’appendice A.3 pour des rappels de terminologie du calcul différentiel.
On dit quef est unCk-difféomorphisme(ou difféomorphisme tout court lorsquekest sous- entendu – dans les exercices et en pratique,k=∞est souvent sous-entendu–) sifest bijective et si son inverse est aussi de classeCk. Remarquons quefest de classeC0si et seulement si elle est continue, et quefest unC0-difféomorphisme si et seulement sif est un homéomorphisme.
Deux variétés différentielles de classeCksont ditesCk-difféomorphes(ouisomorpheslorsquek est sous-entendu) s’il existe unCk-difféomorphisme de l’une dans l’autre.
Six∈M, on dit quefest uneimmersionenxsik >0et s’il existe des cartes locales enxet enf(x)telles que l’applicationflue dans ces cartes soit une immersion en l’image dex. On dit quef est uneimmersionsif est une immersion en tout point deM. On définit de même une submersion en un point, unesubmersion, une application de rang constantau voisinage d’un point, et uneapplication de rang constant(aussi appelée subimmersion). Remarquons que la composée de deux immersions est une immersion, que la composée de deux submersions est une submersion, mais que la composée de deux applications de rang constant n’est pas forcément de rang constant (voir les exercices E.29 et E.30).
Les définitions précédentes s’étendent aussi au cas oùMetM0sont des variétés analytiques complexes. En particulier, une application continuef:M→M0est diteanalytique complexe ouholomorphesi les applications lues dans les cartes le sont.
Les corollaires A.5, A.6 et A.7 de l’appendice, donnant des formes normales locales des immersions, submersions et applications de rang constant, sont des résultats locaux, donc on obtient immédiatement leur extension pour les variétés :
Théorème 2.8 SoientM, N deux variétés de classeCkde dimensionsp, q, soitxun point de M etf:M→Nune application de classeCk.
(Forme normale locale des immersions)Sif est une immersion enx, alors pour toute carte localeϕenxtelle que ϕ(x) = 0, il existe une carte localeψ enf(x)avecψ(f(x)) = 0 telle que, au voisinage de0, on ait
ψ◦f◦ϕ−1(x1, . . . , xp) = (x1, . . . , xp,0, . . . ,0).
(Forme normale locale des submersions)Sifest une submersion enx, alors pour toute carte localeψenf(x)telle queψ(f(x)) = 0, il existe une carte localeϕenxavecϕ(x) = 0, telle que, au voisinage de0, on ait
ψ◦f◦ϕ−1(x1, . . . , xp) = (x1, . . . , xq).
(Forme normale locale des applications de rang constant)Sif est une application de rang constantr≤min{p, q}sur un voisinage dex, alors il existe une carte localeψenf(x)
avecψ(f(x)) = 0et une carte localeϕenxavecϕ(x) = 0, telles que, au voisinage de0, on ait ψ◦f◦ϕ−1(x1, . . . , xp) = (x1, . . . , xr,0, . . . ,0).
Comme tout recouvrement ouvert d’une variété différentielle admet un recouvrement plus fin formé de domaines de cartes, et par une preuve analogue, la proposition 2.3 d’existence de partition de l’unité s’étend pour donner des partitions de l’unités de classeCk(i.e. dont chaque application est de classeCk), pourkdansN∪ {∞}. Attention ce résultat n’est pas valable en analytique réel (ni complexe), le lemme clef 2.4 n’étant plus vérifié.
Proposition 2.9 SoientkdansN∪ {∞}, etM une variété de classeCk. Tout recouvrement ouvert deMadmet une partition de l’unité de classeCkqui lui est subordonnée. Si de plusM est compacte, alors tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini et une partition de l’unité finie de classeCkqui est subordonnée à ce sous-recouvrement.
•Le point de vue des faisceaux
Le point de vue des faisceaux, ou point de vue fonctionnel, défend l’idée que bien comprendre un objet, c’est bien comprendre les fonctions qui sont définies sur cet objet. Ainsi Platon dans sa caverne aurait-il pu penser à faire varier les sources d’éclairages pour étudier un objet par ses ombres projetées.
SoitX un espace topologique. Unfaisceau d’espaces vectoriels de fonctions réelles surX (ou par abusfaisceaudans ce qui suit) est la donnée, notéeF, pour tout ouvertU deX d’un sous-espace vectorielF(U)de l’espace vectorielRU des fonctions réelles surU, telle que
1. pour tous les ouvertsU⊂V, l’application de restrictionϕ7→ϕ|UdeRV dansRU envoie F(V)dansF(U),
2. pour toute famille d’ouverts(Ui)i∈IdeXde réunionU=S
i∈IUi, si(fi)i∈I∈Q
i∈IF(Ui) vérifie la condition de compatibilité
∀i, j∈I, fi|Ui∩Uj=fj|Ui∩Uj , alors l’uniquef dansRU tel quef|Ui=fiappartient àF(U).
La première condition s’appelle lastabilité par restriction. La seconde condition s’appelle la condition de localité. Elle est présente pour donner du sens au fait que les fonctions qui vont nous intéresser sont celles dont la définition est « locale ». Par exemple, si, pour tout ouvert U, on noteC0X(U) = C0(U,R)l’espace vectoriel des fonctions réelles continues surU, alorsC0X
est un faisceau. SiXest une variété différentielle de classeCk, siCkX(U)est l’espace vectoriel des applications réelles de classeCk, deU (muni de sa structure de variétéCkévidente, voir paragraphe 2.4.2) dansR, pour tout ouvertU deX, alorsCkX est un faisceau. SiX est une variété holomorphe, siCX(U)est l’espace vectoriel des applications holomorphes deUdansC, alorsCXest un faisceau d’espaces vectoriels de fonctions complexes (pour la définition évidente analogue au cas réel).
C’est parce que le fait d’être continu ou d’être de classeCkest une propriété locale que ces exemples sont bien des faisceaux. Par contre, siX =Ret siλest la mesure de Lebesgue sur R, alorsU 7→L1(U, λ|U)n’est pas un faisceau d’espaces vectoriels de fonctions réelles surX, car l’intégrabilité n’est pas une notion locale. Nous renvoyons par exemple à [Gode1] pour une étude plus approfondie des faisceaux.
Soient F,F0 deux faisceaux sur des espaces topologiques X, X0. Unisomorphisme de F surF0 est un homéomorphismeψ:X→X0tel que, pour tout ouvertU deX0, l’application f 7→f◦ψ soit un isomorphisme d’espaces vectoriels deF0(U)surF(ψ−1(U)). Siψ est un isomorphisme deF surF0, alorsψ−1est un isomorphisme deF0surF. Les faisceauxF etF0 sont ditsisomorphess’il existe un isomorphisme de l’un dans l’autre.
SiΩest un ouvert deX, et siFest un faisceau, alors en posantF|Ω(U) =F(U)pour tout ouvertU deΩ, on obtient un faisceauF|Ωd’espaces vectoriels de fonctions réelles surΩ.
Par exemple, siMest une variété différentielle de classeCket de dimensionn, et(U, ϕ)une carte deM, alorsϕest un isomorphisme deCkM|U dansCkRn|ϕ(U). Ainsi,(M,CkM)estlocalement isomorphe(en un sens évident que nous n’expliciterons pas ici) à(Rn,CkRn).
Remarque 2.10 SoientM, N deux variétés différentielles de classeCk, etf :M →N une application continue. Alorsf est de classeCksi et seulement si, pour tout ouvert U deN et pour toutσdansCkN(U), l’applicationf∗σ=σ◦f appartient àCkM(f−1(U)).
En effet, le sens direct découle de la composition des applications Ck. Le sens réciproque découle, en prenant des cartes locales, du fait qu’une application d’un ouvert deRpdansRq estCksi ses composantes le sont.
Ainsi, lesCk-difféomorphismes deMversNsont exactement les isomorphismes de(M,CkM) sur(N,CkN), et deux variétésCk sontCk-difféomorphes si et seulement si leurs faisceaux de fonctionsCksont isomorphes. En particulier, siM est de dimensionn, alors les cartesCkde Msont exactement les isomorphismes entre des couples(U,CkM|U)et(V,CkV)pourU un ouvert deM etV un ouvert deRn.
Remarque 2.11 SiX est un espace topologique séparé à base dénombrable et si F est un faisceau surX tel que(X,F)soit localement isomorphe à(Rn,CkRn), alors il existe une unique structure de variétéCksurXtelle queF= CkX.
En effet, l’ensemble des couples(U, ϕ), avecU un ouvert deX etϕun isomorphisme de (U,F|U)sur(V,CkRn|V)pourV un certain ouvert deRn, forme un atlas de cartesCksurX, et la structure de variétéCksurXdéfinie par cet atlas convient.
On peut donc définir une variétéCkde dimensionncomme un espace topologiqueXséparé à base dénombrable muni d’un faisceauFtel que(X,F)soit localement isomorphe à(Rn,CkRn).
Par exemple, siNest une partie localement fermée d’une variétéM de classeCk, alors on peut définir un faisceauFNsur l’espace topologiqueN, où, pour tout ouvertΩdeN, l’espace vectorielFN(Ω)est l’espace des applications deΩdansR, qui sont localement surNrestriction d’une applicationCkréelle sur un ouvert deM.
Exercice E.6Avec les notations ci-dessus, et la définition de sous-variété du paragraphe 2.4.2 suivant, montrer que le couple(N,FN)est une variétéCk si et seulement siN est une sous- variétéCkdeM. De plus, si ces conditions sont réalisées, montrer queFN = CkN.
2.4 Exemples de variétés différentielles
2.4.1 Exemples triviaux, contre-exemples et culture
Commençons par donner des exemples d’espaces topologiques qui ne sont pas des (sous)- variétés différentielles.
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La preuve du fait que chacun des exemples ci-dessous n’est pas une sous-variété différentielle C1 est laissée au lecteur. (Par contre, le dessin de droite est une sous-variété topologique du plan.)
x=t2, y=t3 x2+y2−z2= 0
x2−y2= 0
Alors que la préimage d’un point par une submersion est une sous-variété (voir le corollaire 2.22), il n’est pas vrai que l’image d’une immersion (même injective) est une sous-variété.
Chaque dessin ci-dessous représente unesous-variété immergée, i.e. l’image d’une variété par une immersion injective dans une variété (attention à la terminologie, une sous-variété immergée n’est pas toujours une sous-variété). La preuve du fait qu’aucune d’entre elles n’est une sous- variété différentielleC1est laissée au lecteur. Mais notons que la raison pour laquelle l’exemple de gauche ci-dessous n’est pas une variété est la même que celle pour laquelle l’exemple de gauche ci-dessus ne l’est pas, et qu’une sous-variété différentielle est en particulier localement fermée (voir la remarque 2.15).
{(z1, z2)∈S1×S1:∃t∈R, z1=eit, z2=ei
√2t}
Passons aux exemples triviaux. Tout espace topologique discret dénombrableMadmet une unique structure de variétéCk (qui est de dimension0) : l’atlas maximal (indépendant dek) est l’ensemble des (uniques) applications des singletons deM à valeurs dansR0 ={0}. Dans ce texte, tout espace topologique discret dénombrable sera muni de cette structure de variété différentielle.
Tout ouvertU deRnadmet une structure de variété différentielle de classeCω, pour l’atlas Cωmaximal contenant l’application identité de l’espace topologiqueU dans l’ouvertU deRn. Bien sûr cet exemple est trivial, mais on peut remplacerRnpar n’importe quel espace vectoriel réelEde dimensionn, celui-ci étant (sauf mention contraire) muni dans ce texte de la topologie définie par n’importe laquelle de ses normes. Ainsi, tout ouvertV deE admet une structure naturelle de variétéCωmodelée surE. La structure de variétéCωobtenue surV est celle dont l’atlas est l’atlas maximal contenant la restriction àV de n’importe quel isomorphisme linéaire deE dansRn. De même, tout ouvert deCn, ou de n’importe quel espace vectoriel complexe de dimension finie, admet une structure de variété analytique complexe. Sauf mention explicite du contraire, un ouvert dans un tel espace vectoriel sera muni de cette structure de variété différentielle, ditestandard.
Par exemple, les ouvertsGLn(R)etGLn(C)des espaces vectoriels réels de matricesMn(R) etMn(C)respectivement sont des variétés différentielles de classeCω(etGLn(C)est aussi une variété analytique complexe en tant qu’ouvert de l’espace vectoriel complexeMn(C)).
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