Autres exercices

Exercice E.62 Soit M une hypersurface compacte de classe C^∞ de Rⁿ⁺¹. On définit une applicationψdeMdansPn(R)en associant à un pointxdeMla droite orthogonale àTxM.

Montrer queψest de classeC^∞et surjective.

Exercice E.63 (1) Calculer l’équation de la droite affine réelle (resp. complexe) tangente en un point non singulier de la courbe réelle (resp. complexe) d’équationy²=x³+ax+bdans le planR²(resp.C²).

(2) Dans l’espaceR³muni des coordonnées(x, y, z), on considère un plongementcde classe C¹ d’un intervalle]0,1[dans le plan desx, z ne rencontrant pas l’axe desz, et la surface de révolution Sobtenue en faisant tourner la courbec autour de l’axe desz. Calculer les sous-espaces tangents aux points deS.

(3) On note(z, t)avecz=x+iyun point deC×R. On posef(z) =y²−(x−1)²(2−(x−1)²).

Calculer, pour toutndansN− {0}, les sous-espaces tangents aux points de la sous-variété de C×Rd’équationf(zⁿ)²+t²=₁₀₀¹ .

(4) SoitΦ :R³→R⁶définie par(x, y, z)7→(x², y², z²,√ 2xy,√

2zx,√

2yz)(voir l’exercice E.44). Calculer les sous-espaces tangents aux points des sous-variétés M = Φ(R³− {0}) et M∩S5deR⁶.

(5) Calculer les sous-espaces tangents aux points des sous-variétés (voir l’exercice E.17) SLn(C), U(n), SU(n), GLn(R), SLn(R), O(n), SO(n)deMⁿ(C).

Exercice E.64 Pour chacun des trois dessins suivants, dire s’il est possible de faire tourner la droite affine orientée de manière à la ramener sur elle-même en ayant fait un demi-tour, sans qu’elle soit jamais tangente à la courbe.

Exercice E.65 Soitnun élément deN− {0}. On noteh·,·ile produit scalaire euclidien usuel surRⁿ⁺¹, etSn={x∈Rⁿ⁺¹ : ||x||= 1}sa sphère unité. On notePn(R)l’espace projectif réel de dimensionn(que l’on identifie aussi à l’espace des droites deRⁿ⁺¹), et[x]l’image dans Pn(R)d’un vecteurxnon nul deRⁿ⁺¹.

(1) Montrer que l’applicationf:Sn×Sn→Rdéfinie par(x, y)7→ hx, yiest de classeC^∞. En quels points est-elle une submersion ?

(2) On note M le sous-ensemble deSn×Sn formé des couples (x, x⁰)de vecteurs unitaires orthogonaux. Montrer queMest une sous-variétéC^∞de la variété produitSn×Sn.

(3) On noteM⁰le sous-ensemble dePn(R)×Pn(R)formé des couples(D, D⁰)de droites vec-torielles orthogonales deRⁿ⁺¹. Montrer queM⁰est une sous-variétéC^∞de la variété produit Pn(R)×Pn(R).

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(4) On noteE l’ensemble des triplets(x, x⁰, y)deSn×Sn×Rⁿ⁺¹ tels quehx, x⁰i=hx, yi= hx⁰, yi= 0, etπ:E →M l’application définie par (x, x⁰, y)7→(x, x⁰). Montrer queπ est un fibré vectorielC^∞surM.

(5) On noteE⁰l’ensemble des couples([x], y)dePn(R)×Rⁿ⁺¹tels quehx, yi= 0, etπ⁰:E⁰→ Pn(R)l’application([x], y)7→[x]. Montrer queπ⁰est un fibré vectorielC^∞, isomorphe au fibré tangent dePn(R).

(6) On noteE⁰⁰l’ensemble des couples(([x], y),([x⁰], y⁰))deE⁰×E⁰tels quehx, x⁰i= 0ety=y⁰, etπ⁰⁰:E⁰⁰→M⁰l’application définie par(([x], y),([x⁰], y⁰))7→([x],[x⁰]). Montrer queπ⁰⁰est un fibré vectorielC^∞.

Exercice E.66(1) Montrer que(TSn)×RestC^ω-difféomorphe àSn×Rⁿ⁺¹. (2) En déduire queSn×S1 est parallélisable.

Exercice E.67Montrer que la variétéTSnestC^ω-difféomorphe à la sous-variété réelle deCⁿ d’équation

Xn i=1

zi²= 1.

Exercice E.68Montrer qu’il existe exactement deux classes d’isomorphisme de fibrés en droites vectorielles de baseS1.

Exercice E.69SoitM une variété compacte. Montrer que tout fibré vectoriel surM peut se plonger comme sous-fibré d’un fibré trivial.

Exercice E.70Soitn≥1. On noteEn={(x, X)∈Rⁿ×Pn−1(R) : x∈X}.

1. Montrer queEn est une sous-variété de classe C^∞ de dimension n de Rⁿ×Pn−1(R).

Montrer queE2est difféomorphe à un ruban de Möbius.

2. Montrer que la seconde projectionEn →Pn−1(R)est un fibré vectoriel en droites au-dessus dePn−1(R).

3. Soitπ la première projection deRⁿ×Pn−1(R)dansRⁿ. Montrer queEn−π⁻¹(0)est difféomorphe àRⁿ− {0}et queπ⁻¹(0)est difféomorphe àPn−1(R).

4. Soient I un intervalle deR et γ : I → Rⁿ une courbe lisse dont le vecteur dérivé ne s’annule jamais. Supposons que la restriction deγ à l’ensembleI−γ⁻¹(0)soit injective et que, pours6=tdansI avecγ(s) =γ(t) = 0, les vecteursγ⁰(s)etγ⁰(t)ne soient pas colinéaires. Montrer qu’il existe une unique courbe continueγ˜:I→Entelle queπ◦˜γ=γ et queγ˜est simple.

Exercice E.71Soient M une sous-variété C¹ deRⁿ, muni de son produit scalaire euclidien standard, etx∈M. On noteΨ :M→TxMla projection orthogonale deMsurTxM. Calculer l’application tangente deΨenx.

Exercice E.72 Par variété, on entend variété C^∞. Soient N une sous-variété d’une variété M, etφune applicationC^∞ d’une variétéP dansM. On suppose queφesttransverseàN, c’est-à-dire que, pour toutxdansP tel queφ(x)∈N, on ait

Txφ(TxP) +Tφ(x)N=Tφ(x)M

(la somme n’étant pas nécessairement directe). Montrer alors queφ⁻¹(N)est une sous-variété deP. Quelle est sa dimension ?

Exercice E.73 SoientM une variétéC^∞etf :M →Rune applicationC^∞. Six∈M, on voudrait définirD²f(x), qui serait une forme bilinéaire symétrique surTxM.

L’approche naïve : soientU un ouvert deRⁿetφ:U →Mun paramétrage local envoyant 0surx. Siu, v∈TxM, on pose alors

D²f(x).(u, v) =D²(f◦φ)(0).(dφ⁻¹0 (u), dφ⁻¹0 (v)).

Montrer que cette définition n’est en général pas indépendante de la carte ! Autrement dit, on ne peut pas définir ainsi une différentielle seconde.

Cependant, vérifier que, quanddfx= 0, la définition ci-dessus est indépendante de la carte.

Exercice E.74 Par variété, on entend variétéC^∞. SoientM une variété de dimensionn et f :M→R^pune applicationC^∞telle que, dès quef(x) = 0, l’applicationTxfsoit surjective.

Ainsi,N=f⁻¹(0)est une sous-variété deMde codimensionp.

Soitg:M→Rune applicationC^∞. Six∈N est un extrémum local deg_|N, montrer qu’il existe une application linéaireAdeR^pdansRtelle queTxg=A◦Txf.

Notonsf1, . . . , fples composantes def. Retrouver l’énoncé classique sur lesmultiplicateurs de Lagrange: il existeλ1, . . . , λptels que

Txg=X λiTxfi.

Exercice E.75 Tous les fibrés sont de classeC^kdans ce qui suit. Montrer que pour tous les fibrés vectorielsξetξ⁰, d’applicationsp:E →Betp⁰:E⁰→B au-dessus de la même base, il existe un, et un seul à isomorphisme près, fibré vectorielξ⊗ξ⁰sur la baseB, d’espace total notéE⊗E⁰, dont la fibre au-dessus d’un pointbdeBest le produit tensorielEb⊗E_b⁰des fibres deξetξ⁰au-dessus deb, vérifiant la propriété universelle suivante :

pour tout fibré vectorielπ:F →B, pour toute applicationf :E⊕E⁰→F de classeC^k telle queπ◦f=pet dont la restriction àEb⊕Eb⁰est bilinéaire pour tous lesbdansB, il existe un unique morphisme de fibrés vectorielsg:E⊗E⁰→F tel que, pour tous lesbdansB, pour tous lesvdansEbetv⁰dansE⁰b, on ait

g(v⊗v⁰) =f(v, v⁰).

Ce fibréξ⊗ξ⁰s’appelle lefibré vectoriel produit tensorieldeξetξ⁰.

Exercice E.76On reprend les notations de l’exercice E.41.

SoientI, Jles segments deR²définis par

I={(x, y)∈R² : x= 1,−2≤y≤2} et J={(x, y)∈R² : 0≤x≤2, y= 0}. Montrer que l’ensemble des(z, t)dansΣntels quezⁿ∈/I∪Jest une sous-variété deΣnqui est une fibration en cercles, de classeC^∞, donc on calculera le nombre de composantes connexes.

Exercice E.77Soit M une variétéC^r+1. Montrer que l’application du fibré somme directe T^∗M⊕T MdansR, qui à(ξ, v)dansT_x^∗M×TxMassocieξ(x)est une applicationC^r.

3.10 Indications pour la résolution des exercices

Schème E.56 (1) Utiliser le théorème de forme normale.

(2) Soity=f(x), U un voisinage ouvert deyetg:U →Rⁿ une submersionC¹telle que S∩U =g⁻¹(g(y)). Alorsf⁻¹(S)∩f⁻¹(U) = (g◦f)⁻¹(g◦f(x)etg◦f est une submersionC¹, donc par (1)

Tx(f⁻¹(S)) = KerTx(g◦f) = (Txf)⁻¹(KerTxg) = (Txf)⁻¹(Tf(x)S). Schème E.63 (1) Soit K = R ou K = C.

L’applicationf : K² → Kdéfinie par(x, y) 7→

y²−x³−ax−b est K-analytique, de dérivées partielles ^∂f_∂x = −3x²−a et ^∂f_∂y = 2y, donc est une submersion K-analytique en tout point dif-férent de (±q

−a

3,0)∩K². Si C = Ca,b est la courbe d’équation f(x, y) = 0, alors C est K-analytique au moins en tout point(x, y)différent de(±q

−a

3 ,0)si27b²+ 16a³= 0, etK-analytique en tout point(x, y)sinon. En un tel point(x, y), le sous-espace tangent est d’équation

(−3x²−a)X+ 2yY= 0.

C0,0

C1,0

C₋1,0

Schème E.64 L’espaceEdes droites (affines) orientées deR² est homéomorphe au cylindre S1×R: une droite orientée est paramétrée par sa direction (appartenant àS1) et par sa distance (algébrique) à l’origine.

Dans chacun des cas, il s’agit de voir si l’ensemble des droites tangentes à la courbe forme une courbe C telle que la droite orientée D et la droite orientée D⁰ obtenue en changeant l’orientation deDne soient pas dans la même composante connexe deE − C.

Dans le premier cas,Cest formé de deux courbes simples, chacune correspondant au parcours de la courbe dans l’un des deux sens. Ces deux courbes ne se rencontrent pas (car il n’y a pas de droite tangente à la courbe en deux points différents). La direction le long de chacune des courbes évite au moins une valeur deS1, donc aucune courbe ne sépare l’anneauE en deux composantes non bornées. Par le théorème de Jordan,E − C a donc une unique composante connexe non bornée. Les droitesD etD⁰ appartiennent toutes deux à cette composante non

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bornée (puisqu’on peut les faire descendre jusqu’à l’infini). Cela montre qu’on peut passer de DàD⁰sans être tangent à la courbe.

Dans les deux autres cas,Cest obtenue en reliant le point(0,0)au point(π,0)(en parcourant la courbe dans un sens) puis en reliant (π,0)à(0,0)par une courbe obtenue à partir de la première par(θ, x)7→(θ+π,−x)(en parcourant la courbe dans l’autre sens). Il y a donc deux composantes non bornées dans le complémentaire deC, etD etD⁰appartiennent à ces deux composantes. Ainsi, on ne peut pas passer deDàD⁰sans être tangent à la courbe.

Schème E.65 (1) L’applicationf est la restriction, à la sous-variétéSn×Sn de classeC^∞ de Rⁿ⁺¹×Rⁿ⁺¹, de l’application bilinéaire(x, y)7→ hx, yi, qui estC^∞. Doncf estC^∞. Son application tangenteT(x,y)f en un point(x, y)deSn×Sn est l’application deTxSn×TySn= x^⊥×y^⊥dansRdéfinie par(h, k)7→ hh, yi+hx, ki. Cette application est l’application nulle si et seulement six=y. Doncf est une submersion exactement en tout point non diagonal du produitSn×Sn.

(2) Ceci découle par le corollaire 2.22 du cours du fait que l’applicationfde la question (1) est une submersion en dehors de la diagonale.

(3) Le groupe fini{±1} × {±1}agit librement parC^∞-difféomorphismes sur la variété produit Sn×Sn(par les antipodies sur chaque facteur), et la variété quotient({±1} × {±1})\(Sn×Sn) est C^∞-difféomorphe à la variété produitPn(R)×Pn(R). La sous-variété M deSn×Sn est préservée par l’action du groupe fini{±1} × {±1}, donc son image dans le quotient deSn×Sn

par ce groupe est une sous-variétéC^∞. Par invariance de la propriété de sous-variétéC^∞par C^∞-difféomorphisme, le résultat en découle.

(5) Commençons par une remarque préliminaire. Soientπe:Ee→Beun fibré vectoriel de rang n, etGun groupe discret. On suppose queEeetBesont munis d’une action libre et propre de G, de sorte que le diagramme suivant commute

G×Ee −→ Ee

id×eπ↓ ↓^eπ G×Be −→ Be ,

et que l’action deg∈GsurEeinduise un isomorphisme linéaire deeπ⁻¹(b)surπe⁻¹(gb)pour tout bdansB. Si on noteE=G\EeetB=G\Beles variétés quotients, alors par la commutativité du diagramme, l’applicationeπinduit une applicationπ:E→Bde classeC^∞, et pour toutx dansB, siUest un ouvert suffisamment petit deBcontenantx, alors il existe un ouvertUede Betel que

• la projection canoniquepB:Be→B induise unC^∞-difféomorphisme entreUeetU,

• il existe une trivialisation localeθe:eπ⁻¹(Ue)→Ue×Rⁿdu fibréeπau-dessus deU.e

• la projection canonique pE : Ee →E induise un C^∞-difféomorphisme entre πe⁻¹(U)e et π⁻¹(U),

Alors l’applicationθ: π⁻¹(U)→U×Rⁿ rendant le diagramme suivant commutatif est une trivialisation locale du fibréπau-dessus deU :

e

π⁻¹(eU) −→^pE π⁻¹(U)

&^{θe θ}.

e

π↓ Ue×Rⁿ −→ U×Rⁿ ↓^π

.pr1 pr1&

Ue −→^pB U .

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Maintenant, on a vu au paragraphe 3.5 que le fibré tangent deSnest isomorphe à l’ensemble Eedes couples(x, y)deSn×Rⁿ⁺¹tels quehx, yi= 0, muni de l’applicationeπ:Ee→Sndéfinie par(x, y)7→x. Le groupe fini{±1}agit librement surSnpar antipodie, ainsi que surSn×Rⁿ⁺¹ en laissant fixe le second facteur. On applique alors la remarque préliminaire.

(6) Notons

Ee⁰⁰={((x, y),(x⁰, y⁰))∈(Sn×Rⁿ⁺¹)² : hx, x⁰i=hx, yi=hx⁰, y⁰i= 0, y=y⁰}, Mf=Sn×Sn etπe⁰⁰:Ee⁰⁰→Mfl’application((x, y),(x⁰, y⁰))7→(x, x⁰). Par la remarque préli-minaire de la question (5), il suffit de montrer queeπ⁰⁰est un fibré vectorielC^∞. Tout d’abord, l’application deSn×Sn×Rⁿ⁺¹(dans lequel s’injecte de manière évidenteEe⁰⁰, par un homéomor-phisme sur son image) dansR³définie par(x, x⁰, y)7→(hx, x⁰i,hx, yi,hx⁰, yi)est une submersion au voisinage deEe⁰⁰, de la même manière que pour la question (1). DoncEe⁰⁰est une sous-variété C^∞de Sn×Sn×Rⁿ⁺¹. Comme restriction de projections, l’applicationeπ⁰⁰ estC^∞. La fibre au-dessus de(x, x⁰)est le sous-espace vectoriel deRⁿ⁺¹orthogonal àxet àx⁰. Celui-ci dépend de manièreC^∞de(x, x⁰), donceπ⁰⁰est bien un fibré vectorielC^∞de rangn−1.

Schème E.66 Pour toutxdansSn, on a un isomorphisme d’espaces vectoriels de(TxSn)×R dansRⁿ⁺¹, donné par(v, t)7→v+tx.

Schème E.68 Il existe au moins deux fibrés en droite surS1. Le premier est le fibré trivial X=S1×R. Le second est le ruban de Möbius, qu’on peut construire comme suit.

D’une part, le groupeZagit librement et proprement sur l’espaceR², son élément1agissant par la transformation(x, y)7→(x+ 6,−y), et soitπ : R² →Z\R² la projection canonique.

La variété quotientY =Z\R², munie de l’applicationpY :Y →R/Zinduite par passage au quotient par l’application(x, y)7→x, et de la structure évidente d’espace vectoriel sur la fibre p⁻_Y¹(x) =π({x} ×R), est un fibré vectoriel sur le cercle. En effet, explicitons des trivialisations locales deY. Pour obtenirY, on part des deux ouverts]0,3[×Ret]4,7[×R, et on les recolle en identifiant(x, t)à(x+ 2, t)six∈]2,3[, et(x, t)à(x+ 6,−t)six∈]0,1[. L’espaceY est muni de deux cartes évidentes à valeurs dans]0,3[×Ret]4,7[×R. Les changements de cartes sont C^∞, doncY est une variété (non compacte). De plus,Y est un fibré vectoriel au-dessus deS1

puisque, dans les fibres, les changements de cartes sont des isomorphismes linéaires. De plus, Y n’est pas isomorphe àXpuisque toute section continue deY s’annule en au moins un point.

Soit maintenantp:Z→S1un fibré en droites de baseS1. Montrons qu’il est isomorphe à XouY. Pour toutx∈S1, il existe un intervalle ouvertIxautour dexet un isomorphisme de fibrés vectorielsφxentrep⁻¹(Ix)et le fibré trivialIx×R. Par compacité, on peut recouvrirS1

par un nombre fini de ces intervallesI1, . . . , In. Quitte à supprimer les intervalles déjà inclus dans d’autres, à les raccourcir et à les réordonner, on peut supposer queIkrencontre exactement Ik−1etIk+1(pourk∈Z/nZ).

Si n > 2, on va « recoller » les intervalles I1 et I2. Sur l’intervalle I1∩I2, l’application φ1◦φ⁻¹2 est de la forme(x, t)7→(x, f(x)t), oùfest une fonction qui ne s’annule pas. Quitte à remplacerφ2par−φ2, on peut supposer quef est partout positive. On noteraτ la projection deS1×RdansR. Soit alorsχ1, χ2une partition de l’unité subordonnée àI1, I2. On définit une applicationφ:p⁻¹(I1∪I2)→(I1∪I2)×Rpar

φ(e) = (p(e), χ1(p(e))τ(φ1(e)) +χ2(p(e))τ(φ2(e))).

La positivité def assure queφest un isomorphisme linéaire dans chaque fibre, c’est donc un isomorphisme de fibrés vectoriels.

On peut ensuite recollerI3 àI1∪I2, et continuer jusqu’àIn−1. Finalement, on a obtenu deux intervallesI etJ de S1, dont l’intersection est deux petits intervallesK1 etK2, et des isomorphismes entre p⁻¹(I)et I×R, et entrep⁻¹(J)etJ×R. Le changement de cartes le long deK1est donné dans les fibres par la multiplication parf1(x), qui ne s’annule pas, et le changement de cartes le long deK2est donné par la multiplication par une fonctionf2. Les fonctionsf1etf2sont de signe constant le long deK1etK2. Si le signe est le même, on construit en utilisant une partition de l’unité un isomorphisme entreZetX. Si les signes sont opposés, on obtient un isomorphisme entreZetY. Dans les deux cas, pour construire explicitement cet isomorphisme, on utilise des partitions de l’unité comme ci-dessus.

Schème E.70

(1) Soit(x, X)∈En. Sixest non nul, on définit un paramétrage deEn au voisinage de (x, X)de la façon suivante : soitU un voisinage ouvert dexne contenant pas0, on définitϕ surU parϕ(y) = (y,[y])où [y]désigne la classe de ydansPn−1(R). L’applicationφ est un paramétrage local deEn au voisinage de(x, X), doncEn est bien une sous-variété autour de (x, X).

Supposons maintenant quex = 0. SoitY un supplémentaire de la droiteX dansRⁿ, ce qui permet d’identifier Rⁿ àX⊕Y. On définit une applicationψ deX× L(X, Y)dansEn

parψ(x, A) = ((x, Ax),graphe(A)). L’applicationψparamètre un voisinage de(0, X)dansEn, il reste à vérifier que c’est une immersion C^∞ pour conclure. Lue dans la carte standard de Pn−1(R) =G¹(Rⁿ)associée à la décompositionRⁿ =X⊕Y, l’applicationψs’écrit(x, A)7→

((x, Ax), A)et est donc bien immersive.

Pour montrer queE2estC^∞-difféomorphe à une bande de Möbius, on définit une application Φ :S1×R→E2 parΦ(e^iθ, t) = (te^iθ,[e^iθ]). C’est une immersionC^∞, et chaque point deE2a exactement deux préimages(t, e^iθ)et(−t, e^i(θ+π)). Ainsi,Φinduit, par passage au quotient par l’action libre deZ/2ZsurS1×Rdéfinie par(t, e^iθ)7→(−t, e^i(θ+π)), un difféomorphisme de la variété quotient(Z/2Z)\(S1×R)surE2, c’est-à-dire entre le ruban de Möbius etE2.

(2) Chaque fibre deEnau-dessus d’un élémentX dePn−1(R)est canoniquement identifiée avecX, et est donc munie d’une structure d’espace vectoriel de dimension1. Pour montrer que En est un fibré vectoriel en droites, il reste à montrer que ce fibré est localement trivial.

Soit X ∈ Pn−1(R). SoitY un supplémentaire de la droiteX dans Rⁿ. L’application ψ construite à la fin de la question précédente donne alors la trivialisation recherchée du fibréEn

au-dessus d’un voisinage deX.

(3) L’application deEn−π⁻¹(0)dansRⁿ− {0}donnée par(x, X)7→xest un difféomor-phisme, d’inversex7→(x,[x]).

La première projection est un difféomorphisme entreπ⁻¹(0)et Pn−1(R), d’inverse X 7→

(0, X).

(4) Comme la projectionπest une bijection entreEn−π⁻¹(0)etRⁿ− {0}, il y a une unique manière de releverγ(t)∈Rⁿ− {0}en˜γ(t)∈Entel queπ(˜γ(t)) =γ(t). Comme la dérivée de γne s’annule pas, l’ensembleγ⁻¹(0)est discret, et donc d’intérieur vide. Il existe donc au plus une manière de prolongerγ˜en une application continue.

Pour t dansγ⁻¹(0), posons γ(t) = (0,˜ [γ⁰(t)]). Ainsi, on a bien π◦γ˜ = γ. L’hypothèse Rγ⁰(s) 6= Rγ⁰(t), si s 6=t et s, tdansγ⁻¹(0), assure que la courbe˜γ est simple. Il reste à vérifier qu’elle est continue. C’est trivial hors de γ⁻¹(0). Soit donct0 tel queγ(t0) = 0. Soit pr2:En→Pn−1(R)la deuxième projection, il suffit de vérifier quepr2◦γ˜est continue ent0pour conclure. Pourtproche det0, il existeξt∈[t0, t]tel queγ(t) =γ(t0)+(t−t0)γ⁰(ξt) = (t−t0)γ⁰(ξt).

Par conséquent,pr1◦γ(t) = [γ˜ ⁰(ξt)]. Commeγ⁰est continue ent0, cela conclut.

Schème E.71 Quitte à faire un changement de coordonnées isométrique, on peut supposer

quex= 0et queTxM=R^p× {0}. Au voisinage de0, il existe un paramétrage local deMpar graphe, de la formeM={(x, φ(x))}où la fonctionφestC¹, et vérifiedφ0= 0.

Soit Φ :x7→(x, φ(x))définie sur un voisiange de 0dansTxM. On aΨ◦Φ(x) =x par construction, doncT0Ψ◦T0Φ = id. Il reste donc à identifierT0Φ :T0R^p=R^p→TxM=R^p×{0}. Mais cette application est égale àx7→(x,0), par définition. Finalement,TxΨest l’identité de TxM(modulo l’identification entreTxM etT0(TxM)).

Schème E.72 Comme le résultat est local, quitte à prendre des cartes locales, on peut se restreindre au voisinage dex0∈P avecφ(x0)∈N, et supposer queN=Rⁿ× {0} ⊂R^m=M etP =R^p. Soitπ : R^m →R^m−n la projection sur lesm−n dernières coordonnées. Alors φ⁻¹(N) = (π◦φ)⁻¹(0).

La conditiondφx0(R^p) +Rⁿ=R^massure que la différentielle deπ◦φest surjective enx0. Le corollaire 2.22 montre donc que(π◦φ)⁻¹(0)est une sous-variété au voisinage dex0, ce qui conclut la preuve.

La codimension deφ⁻¹(N)dansP est égale à la codimension deN dansM.

Schème E.73 Soitg :Rⁿ →R une applicationC^∞etψ un difféomorphisme deRⁿ. Alors d(g◦ψ)x=dgψ(x)◦dψx, puis

d²(g◦ψ)x(u, v) =d²gψ(x)(dψx(u), dψx(v)) +dgψ(x)(d²ψx(u, v)).

Il y a donc une différencedgψ(x)◦d²ψxentre la différentielle seconde deglue dans la carteId et dans la carteψ. Ce terme n’est pas nul en général, mais il le devient sidgψ(x)= 0.

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