Champs de plans

Soientkun élément deN∪ {∞, ωR, ωC}etp≤ndansN. SoitMune variété de dimension net de classeC^k+1.

De manière intuitive, un champ de plansC^k surM est la donnée, pour tout pointxde M, d’un sous-espace vectoriel∆xde TxM, qui « dépend de manièreC^k dex. » De manière précise, unchamp dep-plans(ou encore unedistribution dep-plans) (de classeC^k) surMest une section (de classeC^k) de la fibration grassmannienne de rangp(voir paragraphe 3.6) (du fibré tangent) deM. Par exemple, sik6=ωCet siM=Uest un ouvert deRⁿ, alors la fibration Gp(T U)s’identifie avecpr1:U× Gp(Rⁿ)→U, et donc un champ dep-plansC^ksurUs’identifie à une applicationC^kdeUdans la variété grassmannienneG^p(Rⁿ).

Un champ de vecteursX surM est dittangentà un champ dep-plans∆si pour toutx dansX, le vecteurX(x)appartient au sous-espace∆xdeTxM.

Si∆est un champ dep-plansC^ksurM, et siU est un ouvert deM, alors, en identifiant T U avec son image canonique dansT M, la rectriction∆_|U de∆àUest un champ dep-plans C^ksurU.

Les champs de plans se tirent en arrière par les morphismes étales. Plus précisément, soient Nune variété de dimensionnet de classeC^k+1,f:M→NunC^k+1-difféomorphisme local et

∆un champ dep-plansC^ksurN. Posons, pour toutxdansM, f^∗∆(x) = (Txf)⁻¹(∆f(x)).

Alorsx7→f^∗∆(x)est un champ dep-plansC^ksurM, appeléimage réciproquede∆parf. Il est immédiat queid^∗∆ = ∆et que

(g◦f)^∗∆ =f^∗(g^∗∆).

De plus, siU est un ouvert deN eti:U→N l’inclusion, alorsi^∗∆ = ∆_|Uet (f^∗∆)_|f⁻¹(U)= (f_|f⁻¹(U))^∗(∆_|U).

Sif est unC^k+1-difféomorphisme et si∆est un champ de p-plansC^k surM, alors on note f_∗∆ = (f⁻¹)^∗∆, i.e. pour touty∈N,

f_∗∆(y) =Tf⁻¹(y)f(∆f⁻¹(y)). Bien sûr, on a alorsf^∗(f_∗∆) =f_∗(f^∗∆) = ∆.

En particulier, si(U, ϕ)est une carte localeC^k+1deM à valeurs dansRⁿ(Cⁿ sik=ω^C), alorsϕ_∗(∆_|U)est un champ de plans sur l’ouvertϕ(U)deRⁿ (Cⁿsik=ωC), appelé lechamp de plans∆lu dans la carte(U, ϕ).

La proposition suivante peut aussi servir à définir un champ dep-plans de classeC^k.

Proposition 4.10 Un champ dep-plans∆ :x7→∆xdeM est de classeC^ksi et seulement si, pour tout point x0 de M, il existe un voisinage ouvert U de x0 et p champs de vecteurs X1, . . . , XpsurU, de classeC^k, tels que, en tout pointxdeU, lep-uplet(X1(x), . . . , Xp(x)) soit une base de∆x.

Preuve.Sik=ω^C, alors on remplaceraRparCdans ce qui suit, et on considèrera les espaces vectoriels et les applications linéaires surC.

Comme cet énoncé est local, on se ramène en prenant des cartes locales au cas oùM=U est un ouvert deRⁿ,x0= 0,∆une application deUdansGp(Rⁿ)et∆0=R^p×{0}. On identifie de manière usuelleRⁿet le produitR^p×R^n−p. Notons que pour toutxsuffisamment proche de 0, le sous-espace vectoriel∆xest transverse, donc supplémentaire, à{0} ×R^n−p, et ceci que∆ soitC^k, ou qu’il soit engendré parpchamps de vecteursC^klinéairement indépendants. Fixons (e1, . . . , ep)une base de∆0. Rappelons queL(∆0,R^n−p)est l’espace vectoriel réel de dimension finie des applications linéaires de∆0dansR^n−p.

Si∆ estC^k, alors par définition de la structure de variété surGp(Rⁿ), il existe, quitte à retrécirU, une applicationC^k deU dansL(∆0,R^n−p), que nous noteronsx7→hx, telle que

∆xsoit le graphe de l’application linéairehx. PosonsXi(x) =ei+hx(ei), qui appartient à∆x

pour1≤i≤p. Alors les champs de vecteursXisontC^k. Commee1, . . . , epsont linéairement indépendants ethxest d’image dans{0} ×R^n−p, ils sont linéairement indépendants en tout pointx, donc forment une base de∆x.

Réciproquement, supposons que∆soit engendré parpchamps de vecteursX1, . . . , Xpde classe C^k, linéairement indépendants en tout point. Notons Y1(x), . . . , Yp(x) les projections de respectivement X1(x), . . . , Xp(x) sur∆0 parallèlement à {0} ×R^n−p, et Z1(x), . . . , Zp(x) celles sur {0} ×R^n−p parallèlement à ∆0. Remarquons que, quitte à retrécir U, le p-uplet (Y1(x), . . . , Yp(x))est une base de∆0. NotonsAx : ∆0 →∆0 l’application linéaire telle que Ax(ei) =Yi(x). L’applicationx7→A⁻¹x deU dansL(∆0,∆0)est de classeC^kpar les formules donnant l’inverse d’une matrice. NotonsBx: ∆0→ {0} ×R^n−pl’application linéaire telle que Bx(ei) =Zi(x), qui dépend de manièreC^kdex. Alors∆xest le graphe de l’application linéaire Bx◦A⁻x¹ de∆0 dans{0} ×R^n−p, qui dépend de manièreC^kdex, d’où le résultat.

Exemples. (1) SiX est un champ de vecteursC^kne s’annulant pas sur une variétéM, alors l’applicationx7→RX(x), qui àxassocie la droite dirigée par le vecteur tangentX(x), est un champ de droitesC^ksurM, ditdirigé parX.

(2) Attention, la proposition précédente est uniquement locale, il existe des champs de droites sur des variétésMtels qu’il n’existe pas de champ de vecteurs ne s’annulant pas surM et dirigeant ce champ de droites. Par exemple, le ruban de Möbiusest la variété quotient (R×R)/((x, y)∼ (x+ 1,−y)). Soit(e1, e2)la base canonique deR². Le champ de droites R² → R²×P2(R) surR², défini parx7→(x,Re2), passe au quotient en un champ de droitesC^ω sur le ruban de Möbius qui n’est pas dirigé par un champ de vecteurs C⁰ ne s’annulant pas.

(3) Considérons le champ de plans∆de classeC^∞sur la variétéR³munie des coordonnées u= (x, y, z), qui est engendré par les champs de vecteursC^∞linéairement indépendants en

tout point

X= ∂

∂x, Y = ∂

∂y+x∂

∂z,

i.e. qui est défini paru7→∆u= Vect{X(u), Y(u)}. Ce champ de plans est invariant par les translations dans les directionsyetz. Le long de l’axe de coordonnée desx, il est horizontal en l’origine, et devient de plus en plus vertical quand on va vers l’infini (voir figure ci-dessous).

Notons que[X, Y] =_∂z^∂ ∈/Vect{X, Y}.

x y

z

4.8 Feuilletages

Soientkun élément deN∪ {∞, ωR, ωC}etp≤ndansN. SoitMune variété de dimension net de classeC^k(par exemple obtenue par appauvrissement de structure à partir d’une variété de classeC^r+1avecr≥k).

R^p R^n−p

Un champ dep-plans est une notion infinitésimale.

L’objet global lui correspondant (au moins partiel-lement) est celui de feuilletage. Le modèle standard (à garder en tête) de ce que nous allons appeler un feuilletage de dimensionpd’une variété de di-mensionnest lefeuilletage linéaire standardde di-mensionpdeRⁿ=R^p×R^n−ppar les sous-espaces affines horizontauxR^p× {y}de dimensionp, muni de l’ensemble des C^k-difféomorphismes locaux de Rⁿpréservant la famille de ces sous-espaces affines horizontaux.

Sik=ωC, alors on remplaceRparCdans cette définition.

Unatlas de cartes feuilletéesC^ksurMest un (sous)-atlas de cartesAde classeC^kdeM, tel que

• pour chaque carte(U, ϕ)deA, on aϕ(U) =V×T avecV un ouvert deR^petT un ouvert deR^n−p,

• pour toutes les cartesϕ:U →V ×T etϕ⁰:U⁰ →V⁰×T⁰dansA, le changement de cartes est localement de la forme

(x, y)7→(f(x, y), g(y)),

UnfeuilletageF de classeC^k, de dimensionp, et de codimensionn−p, dansM est un atlas de cartes feuilletéesC^kdeM, qui est maximal (pour l’inclusion). Unevariété feuilletée(M,F) de classeC^kest une variétéM de classeC^kmunie d’un feuilletageC^k.

103

ϕ

V T

V⁰ T⁰ ϕ⁰

y∈R^n−p

x∈R^p ϕ⁰◦ϕ⁻¹

U

U⁰

Siϕ : U →V ×T est une carte locale dansA, alors les sous-variétés ϕ⁻¹(V × {y})de classe C^k de U sont appelées lesfeuilles locales de F dans cette carte, et lesϕ⁻¹({x} ×T) lestransversales locales. Puisque les applications de changement de cartes de l’atlas de cartes feuilletéesApréservent l’ensemble des sous-espaces horizontauxR^p×{∗}, les feuilles locales sont indépendantes des cartes, au sens que si(U, ϕ),(U⁰, ϕ⁰)sont deux cartes locales du feuilletage, sixetyappartiennent àU∩U⁰, alorsxetysont dans une même feuille locale pour la carte (U, ϕ)si et seulement s’ils sont dans une même feuille locale pour la carte(U⁰, ϕ⁰).

L’espace topologique Rⁿ est identifié de manière usuelle à l’espace topologique produit R^p×R^n−p. Munissons l’ensembleRⁿd’une nouvelle topologie, produit de la topologie usuelle surR^pet de la topologie discrète surR^n−p, qui est plus fine que la topologie usuelle. Comme les homéomorphismes locaux deR^pde la forme

(x, y)7→(f(x, y), g(y))

sont aussi des homéomorphismes locaux pour cette nouvelle topologie surRⁿ, on peut munir (voir l’exercice E.172 de l’appendice A.1) la variétéMd’une unique topologie, appeléetopologie des feuillesdeF, plus fine que la topologie originelle de M, telle que les cartes locales deF soient des homéomorphismes sur des ouverts deRⁿmuni de cette nouvelle topologie. SiAest une partie deM, on appelle encoretopologie des feuillesdeAla topologie induite surApar la topologie des feuilles deM. Comme la topologie originelle deM est séparée, la topologie des feuilles l’est aussi. Notons que sip < n, alors la topologie des feuilles est strictement plus fine que la topologie usuelle.

On appellefeuilledu feuilletageFpassant par un pointxdeM, et on noteF^x, la composante connexe dex dansM pour la topologie des feuilles sur M. En particulier, les feuilles deF forment une partition deM. En général, l’ensemble des feuilles est non dénombrable.

Montrons que chaque feuilleF^x, munie de sa topologie des feuilles (i.e. celle induite par la topologie des feuilles deM), est un espace topologique séparé et à base dénombrable. La séparation a déjà été mentionnée.

104

x Ui0

CommeM est dénombrable à l’infini, on peut recouvrirM par un ensemble dénombrable de cartes feuilletées(Ui, ϕi)i∈Ntelles queUisoit relativement compact, et telle que, pour touti dansN, l’ensemble{j∈I : Uj∩Ui6=∅}soit fini. Soitxun élément deM. Alors la feuilleFx

est réunion d’un ensemble dénombrable de feuilles locales : six∈Ui0, prendre la feuille locale dexdansUi0, puis pour toutitel queUi0∩Ui6=∅(il n’y en a qu’un nombre fini), prendre la feuille locale dansUid’un point fixé quelconque deUi0∩Ui, etc. Ceci montre queFxest à base dénombrable.

Notons qu’une feuille rencontre un domaine de carte feuilletée en une réunion (disjointe) au plus dénombrable de feuilles locales (qui peut être dense dans ce domaine, voir l’exemple (4) ci-dessous).

Comme les feuilles locales deFsont des sous-variétésC^k, chaque feuille, munie de sa topo-logie des feuilles et de son atlas des feuilles locales, est une variétéC^k, et, munie de la topologie induite par la topologie originelle deM, est une sous-variété immergée dansM (car chaque feuille locale est un ouvert de la feuille la contenant pour la topologie des feuilles). Mais at-tention, une feuille n’est en général pas une sous-variété de la variétéM (voir l’exemple (4) ci-dessous).

Par abus, on note souvent de la même manière le feuilletage F et la partition deM en feuilles deF.

Exemples.(1) SoitXun champ de vecteursC^kne s’annulant pas sur une variétéMde classe C^k+1. Alors le théorème du redressement 4.4 montre queMadmet un feuilletage de classeC^k, dont les feuilles sont les courbes intégrales deX.

(2) Soitπ:E→Bune fibrationC^k, de fibre une variétéFde classeC^ket de dimensionp, sur une variétéBde dimensionn. Pour toute carte locale(U, φ)deBoùU est un ouvert distingué pourπ, pour toute carte locale(V, ψ)deF, et pour toute trivialisation localeθ:π⁻¹(U)→U×F deπau-dessus deU, considérons l’application de l’ouvertW=θ⁻¹(U×V)deEdans l’ouvert φ(U)×ψ(V)deRⁿ×R^p, définie par

x7→(φ×ψ)◦θ(x).

Alors l’ensemble de ces applications est un atlas de cartes feuilletéesC^ksurE. Donc la fibration πdéfinit un feuilletageC^kde dimensionpet de codimensionndansE. SiF est connexe, les

feuilles de ce feuilletage sont les fibres π⁻¹(b)pour b dansB. Il se trouve que, dans ce cas particulier, les feuilles sont donc toutes des sous-variétés (et pas seulement des sous-variétés immergées).

En particulier, une variété produitM×N admet deux feuilletages, dont les feuilles sont difféomorphes àM pour l’un, àNpour l’autre.

Mais il existe « beaucoup plus » de feuilletages que de fibrations !

(3) Les feuilletages se tirent en arrière par les morphismes étales. Plus précisément, soient f : M →N unC^k-difféomorphisme local entre deux variétés C^k, et F un feuilletageC^k de N, défini par un atlas de cartes feuilletées(Ui, ϕi)i∈I. Pour tout pointxde M, notonsVxun voisinage ouvert dextel quef(Vx)soit un ouvert deN etf_|Vxsoit unC^k-difféomorphisme sur son image. Alors l’atlas de cartes(f⁻¹(Ui)∩Vx, ϕi◦f_|f−1(U_i)∩Vx)i∈I,x∈M est un atlas de cartes feuilletéesC^ksurM, donc définit un feuilletageC^kdeM, notéf^∗F, et appeléfeuilletage image réciproquedeFparf. En particulier, l’image parfde la feuille(f^∗F)xest la feuilleFf(x), mais en général l’image réciproque parf d’une feuille deF n’est pas réduite à une seule feuille de f^∗F.

Unisomorphisme (de feuilletagesC^k)d’une variété feuilletée(M,F)de classeC^kdans une autre(M⁰,F⁰)est unC^k-difféomorphismef : M →M⁰, tel quef^∗(F⁰) =F (ou de manière équivalente, telle que les applicationsfetf⁻¹, lues dans des cartes locales feuilletées, préservent les familles de sous-espaces horizontaux).

(4) SoitGun groupe discret agisant librement et proprement parC^k-difféomorphismes sur une variété M de classeC^k. Soit F un feuilletage deM, qui est invariant par G(i.e. tout élément deGenvoie carte feuilletée sur carte feuilletée :g^∗F =F pour toutgdansG). Alors la variété quotientG\M admet un unique feuilletageF⁰, appeléfeuilletage quotient tel que, si π : M →G\M est la projection canonique, alors π^∗F⁰ =F. La preuve est la même, en travaillant avec des atlas de cartes feuilletés, que celle qui a permis de définir la structure de variété quotient surG\M, voir le paragraphe 2.4.2.

Par exemple, si F est un sous-espace vectoriel de dimensionpdeRⁿ, alorsRⁿ ad-met un feuilletage dont les feuilles sont les translatés deF. En particulier, ce feuilletage est invariant par l’action par translations de Zⁿ. Donc il induit par passage au quotient dans le revêtementRⁿ →Rⁿ/Zⁿ un feuille-tage analytique réel de dimensionp du tore Tⁿ, appelé unfeuilletage linéaire du tore.

Par exemple, sin = 2, et siF est une droite de pente irrationnelle, alors les feuilles du feuilletage correspondant deT² sont dif-féomorphes àR, mais ce ne sont pas des sous-variétés deT², car elles sont denses dansT². Plus généralement, toute feuille d’un feuilletage linéaire de dimensionpd’un tore est difféomorphe à un produitR^p−i×Tⁱ.

R²

T² π