Théorème de Frobénius

SoientkdansN− {0} ∪ {∞, ω}, etp≤ndansN. SoitMune variété de dimensionnet de classeC^k.

Tout feuilletage F de classeC^ket de dimensionpsurM définit un champ dep-plans de classeC^k−1, qui est l’application

x7→TxF^x

qui à un pointxdeM associe l’espace tangent enxà la feuilleF^xpassant par x. (Ceci est bien défini, carFx est une sous-variété immergée de classeC^kdeM.) On fera attention à la perte de différentiabilité sik6=∞, ω. Pour simplifier les énoncés, nous supposonsk=∞dans la suite.

Un champ dep-plans∆de classeC^∞est ditintégrables’il existe un feuilletageFde classe C^∞et de dimensionpsurMtel que∆x=TxF^xpour toutxdansM.

Notons qu’un tel feuilletage est unique. En effet, soientF⁰un autre tel feuilletage, et(U, ϕ) et(U⁰, ϕ⁰)des cartes feuilletées deFetF⁰respectivement. Considérons l’applicationϕ⁰◦ϕ⁻¹: (x, y)7→(f1(x, y), f2(x, y))d’un ouvert deR^p×R^n−psur un autre. La dérivée ^∂f_∂x²de sa seconde composante par rapport à la première variable est nulle puisqueTxF^x=TxFx⁰. Donc sa seconde composantef2ne dépend localement que dey, et les deux cartes feuilletées sont compatibles.

Par conséquent,F=F⁰.

Voici un critère très utile pour savoir si un champ dep-plans est intégrable.

Théorème 4.11 (Théorème de Frobénius)Un champ dep-plans∆ de classeC^∞surM est intégrable si et seulement si, pour tous les champs de vecteursX etY surM de classeC^∞ et tangents à∆, le crochet de Lie[X, Y]surM est tangent à∆.

Preuve.Supposons d’abord que ∆soit intégrable, défini par un feuilletageF de dimension p. SoientX etY deux champs de vecteurs surM tangents à∆, etxdansM. Montrons que [X, Y](x)∈∆x. Quitte à prendre une carte locale(U, ϕ)enxet à remplacerX parϕ_∗(X_|U) et de même pourY, on peut supposer queM =Rⁿ et que le feuilletage est le feuilletage par sous-espaces parallèles àR^p× {0}dansR^p×R^n−p. Mais alors, dire qu’un champ de vecteurs est tangent à∆équivaut à dire qu’il est combinaison linéaire de_∂x^∂₁, . . . ,_∂x^∂_p. Comme le crochet de deux champs de vecteurs qui sont une telle combinaison linéaire en est une autre, le résultat en découle.

Réciproquement, supposons que la seconde propriété soit vérifiée, et montrons qu’alors∆ est intégrable. Comme ce problème est local, on peut supposer queMest un voisinage ouvert de0dansRⁿ. Par la proposition 4.10, quitte à réduireM, il existe(X1, . . . , Xp)unp-uplet de champs de vecteurs de classeC^∞, qui, en tout point deM, est une base de l’espace tangent en ce point.

Montrons tout d’abord que l’on peut se ramener au cas où[Xi, Xj] = 0pouri, j∈ {1, . . . , p}. Quitte à faire un changement linéaire de coordonnées, on peut supposer queXi(0) =_∂x^∂

i(0)pour i∈ {1, . . . , p}. SiXi=Pn

j=1ai,j ∂

∂x_j, alors, quitte à réduireM, on peut supposer que la matrice (ai,j(x))1≤i,j≤p, qui vaut la matrice identité enx= 0, est inversible, d’inverse(bi,j(x))1≤i,j≤p. Par les formules donnant l’inverse d’une matrice, les fonctionsbi,jsontC^∞. PosonsXi⁰=Pp

j=1bi,jXj. vecteursC^∞linéairement indépendants, et commutants (i.e.[Xi, Xj] = 0pour tousi, j), alors il existe unC^∞-difféomorphisme localϕen0tel que, au voisinage de0, on aitϕ^∗(Xi) = _∂x^∂ pouri∈ {1, . . . , p}. Ceci montrera que le champ dep-plans engendré parϕ^∗(X1), . . . , ϕ^∗(Xpi) est tangent au feuilletageF par les sous-espaces affines parallèles àR^p× {0}. Donc le champ de plans engendré parX1, . . . , Xpest intégrable au voisinage de0(tangent au feuilletage image réciproque parϕ⁻¹deF).

Le casp= 1découle du théorème de redressement 4.4. Supposons le résultat vrai pourp−1.

Alors nous pouvons supposer, quitte à utiliser unC^∞-difféomorphime local en0, queXi=_∂x^∂ pouri∈ {1, . . . , p−1}. Écrivons i aj est une fonction des coordonnéesxp, . . . , xn seulement. Par le théorème du redressement 4.4 appliqué au champ de vecteursY =Pn

Par exemple, le champs de plans surR³ de l’exemple (3) du paragraphe 4.7, défini par

∆(x,y,z)= Vect(_∂x^∂,_∂y^∂ +x_∂z^∂), est non intégrable.

Remarque. Si∆ est un champ dep-plansC^∞ surM, alors (par la proposition 4.10) pour toutx0 dansM, il existe un voisinage ouvertUx0dex0dansMetX1, . . . , Xpdes champs de

108

vecteursC^∞surU tels que pour toutxdansU, les vecteursX1(x), . . . , Xp(x)engendrent∆x. Pour montrer que∆est intégrable, il suffit alors de vérifier que

∀x0∈M, ∀x∈Ux0, ∀i, j∈ {1, . . . , p}, [Xi, Xj](x)∈∆x.

Preuve.SoientXetY des champs de vecteursC^∞tangents à∆. Pour toutx0dansM, il existe des fonctionsf1, . . . , fp, g1, . . . , gpde classeC^∞deUx0 dansRtelles queX_|Ux0 =Pp

i=1 fiXi

etY_|Ux0 =Pp

i=1 giXi. Alors pour toutxdansUx0, le vecteur[X, Y](x)appartient à l’espace vectoriel engendré par les[Xi, Xj](x), par la bilinéarité et le troisième point de la proposition 4.9, donc il appartient à∆x. On applique alors le théorème 4.11 de Frobénius.

4.10 Autres exercices

Exercice E.80Construire un champ de vecteurs analytique réel sur la sphèreS2ne s’annulant qu’en un point.

Exercice E.81Le but de cet exercice est de montrer que la sphère Sn possède au moins un champ de vecteursC^∞ne s’annulant jamais si et seulement sinest impair.

1. Sin= 2p+ 1est impair, construire un champ de vecteursC^∞ne s’annulant jamais sur Sn.

2. Soient K une partie compacte de Rⁿ⁺¹, U un ouvert de Rⁿ⁺¹ contenantK et v une application de classeC^∞deU dansRⁿ⁺¹. PourtdansR, on définit une application

Ft:

U → Rⁿ⁺¹ x 7→ x+tv(x) .

Montrer qu’il existe un ouvertV deU contenantKet >0tels que, pour touttavec

|t| ≤ , l’application Ft soit un difféomorphisme deV sur son image. Montrer que la mesure de Lebesgue deFt(K)est alors un polynôme ent.

3. Soitvun champ de vecteurs unitairesC^∞surSn. Montrer que, pourtsuffisamment petit, Ftest unC^∞-difféomorphisme entreSnet la sphère de rayon√

1 +t². 4. Conclure.

Exercice E.82On reprend les notations des exercices E.41 et E.76.

Montrer qu’il existe surΣn un champ de vecteursX de classeC^∞, qui ne s’annule qu’en 2npoints isolés deΣn, et tel qu’au voisinage de chacun de ces points, il existe une carte locale (U, ϕ)deΣnà valeurs dans un ouvert deR²telle que, en tout point(x, y)de cet ouvert,

ϕ_∗(X_|U) =y∂

∂x+x∂

∂y .

Exercice E.83Soientp:M→Nun revêtementC^∞etXun champ de vecteurs complet sur N, de flot(φt)_t∈R. Montrer qu’il existe un groupe à un paramètre(ψt)_t∈Rde difféomorphismes C^∞deMtel que, pour touttdansR, le diagramme suivant commute

M −→^ψt M

p↓ ↓^p

N −→^φt N .

Exercice E.84 Soit M une variété de classeC^k+1, X un champ de vecteursC^k surM, et (U, ϕ)une carte locale deMà valeurs dansRⁿmuni des coordonnées canoniques(x1, . . . , xn), etX_|U=Pn

i=1fi ∂

∂xi son expression dans la carte locale(U, ϕ). Siϕ:u7→(ϕ1(u), . . . , ϕn(u)), alors les applicationsϕj=χj◦ϕs’appelent lesapplications coordonnéesde la carte(U, ϕ).

(1) Montrer quefj(u) =Tuϕj(X(u))pour toutudansU.

(2) Soit (V, ψ) une autre carte locale à valeurs dans Rⁿ muni des coordonnées canoniques (y1, . . . , yn), etX_|V =Pn

j=1gj ∂

∂yj l’expression deX dans cette carte locale. En utilisant (1), montrer la formule de changement de coordonnées suivantes, où ψ◦ϕ⁻¹ : (x1, . . . , xn) 7→

(y1(x1, . . . , xn), . . . , yn(x1, . . . , xn)), gj=

Xn i=1

fi

∂yj

∂xi◦ϕ .

Exercice E.85 SoitXun champ de vecteursC^∞sur une variétéM.

(1) Montrer qu’il existe une applicationfde classeC^∞et partout strictement positive telle que le champ de vecteursf Xsoit complet.

(2) Comparer les orbites deXet celles def X.

Exercice E.86 Dans tout cet exercice, on munitR³de sa base canonique(_∂x^∂,_∂y^∂,_∂z^∂)et de son produit scalaire usuel.

On considère le sous-ensembleM deR³ défini par

M={(x, y, z)∈R³ : (16−x²−y²)((x−2)²+y²−1)((x+ 2)²+y²−1) =z²}. (1) Montrer queM est une sous-variété compacte deR³de classeC^∞et de dimension2.

(2) Montrer que l’intersection deMavec chaque plan de coordonnées (d’équationx= 0,y= 0, z = 0respectivement) est une sous-variété de R³ de classeC^∞ et de dimension 1, dont on calculera le nombre de composantes connexes.

(3) Pour toutudansM, on noteX(u)(respectivementZ(x)) la projection orthogonale sur le plan vectoriel tangent àMenudu vecteur_∂x^∂ (respectivement_∂z^∂). Montrer queX, Z:M→R³ sont des champs de vecteurs de classeC^∞surM, et trouver les points deMoù ils s’annulent.

(4) On considère le groupeΓd’isométries deR³ engendré par le retournement autour de l’axe des x (i.e. l’application(x, y, z) 7→(x,−y,−z)). Montrer que Γpréserve M et que l’espace topologique quotientΓ\Mest une variété topologique.

(5) Montrer qu’au voisinage des points(1,0,0)et (3,0,0)dansM, il existe une carte locale (U, ϕ)deMà valeurs dans un ouvert deR² telle que, en tout point(x, y)de cet ouvert,

ϕ_∗(X_|U) =y∂

∂x+x∂

∂y . (6) Montrer que siφtest le flot local deX, alors

t→∞limφt(0, y, z) = (4,0,0) pour tout(0, y, z)dansM avecy6= 0.

(7) – Question subsidiaire – Montrer queMest homéomorphe à l’espace topologique obtenu à partir de deux copies du toreT²/Z² privé du disqueB(0,¹₃), en les recollant par l’identité le long des cercles bords de ces disques. Montrer queΓ\Mest homéomorphe à la sphèreS2.

Exercice E.87SoitMune variétéC^∞connexe de dimensionn≥2.

(1) Soientx, y ∈ M. Montrer qu’il existe un difféomorphisme f de classeC^∞ de M qui envoiexsury. On pourra d’abord traiter le cas oùxetysont proches en utilisant le flot d’un champ de vecteurs bien choisi.

(2) Montrer qu’on peut prendrefisotope à l’identité, i.e. telle qu’il existe uneisotopiedef àid, i.e. une applicationF:R×M→M de classeC^∞avecF_|{t}×MunC^∞-difféomorphisme deM pour0≤t≤1,F_|{0}×M= idetF_|{1}×M=f.

(3) Plus généralement, soient(x1, . . . , xk)et(y1, . . . , yk)deuxk-uplets de points deux à deux distincts deM. Montrer qu’il existe un C^∞-difféomorphismef deM tel quef(xi) =yipour i= 1, . . . , k.

(4) Soient x1, . . . , xk des points deM. Montrer qu’il existeU, un ouvert de carte C^∞ -difféomorphe àRⁿ, les contenant tous.

Exercice E.88 (Théorème de fibration d’Ehresmann)Soientr∈(N− {0})∪ {∞},M etN deux variétés de classeC^r+1, de dimensionsmetn respectivement, etf :M →N une submersion surjective de classeC^r+1.

(1) Montrer (par exemple en utilisant des partitions de l’unité) que pour tout champ de vecteurs Y de classeC^rsurN, il existe au moins un champ de vecteursXde classeC^rsurM tel que

∀x∈M, Txf(X(x)) =Y(f(x)).

Si(φX,t)est le flot local du champ de vecteursXet(φY,t)celui deY, en déduire que pour tout x0dansX, si(x, t)est suffisamment proche de(x0,0), alors

f◦φX,t(x) =φY,t◦f(x).

(2) Soienty0 dansN et (e1, . . . , en)une base de Ty0N. Montrer qu’il existe des champs de vecteurs(Y1, . . . , Yn)de classeC^r surN, tels queYi(y0) =eipouri= 1, . . . , n. SiφYi,test le flot local deYi, montrer que l’application

(t1, . . . , tn)7→φY1,t1◦ · · · ◦φYn,tn(y0)

est unC^r-difféomorphisme d’un voisinage ouvert de0dansRⁿsur un voisinage ouvert dey0

dansN.

(3) Soity0un point deNtel queF=f⁻¹(y0)soit un sous-espace compact deM. Montrer qu’il existe un voisinage ouvertU dey0dansN et unC^r-difféomorphismeϕ:U×F→f⁻¹(U)tel quef◦ϕ(y, x) =ypour tout(y, x)dansU×F.

(4) Montrer que sif est propre, alorsfest une fibration de classeC^r.

Exercice E.89SoientM une variété de classeC^∞compacte,f:M→Rune application de classeC^∞etI un intervalle ouvert deR. Soientaetbdeux éléments deItels quea < b.

On suppose queIest contenu dans l’image def, et qu’il ne contient aucune valeur critique def.

(1) Montrer (par exemple en utilisant des partitions de l’unité) qu’il existe un champ de vecteurs Xde classeC^∞surM, nul en dehors deU=f⁻¹(I), tel que, pour toutxdansf⁻¹([a, b]),

Txf(X(x)) = ∂

∂x. 111

(2) En déduire, en utilisant le flot local deX, qu’il existe unC^∞-difféomorphismeψ:f⁻¹(]a, b[)→ f⁻¹(a)×]a, b[tel quepr2◦ψ=f oùpr2est la seconde projection.

(3) En déduire que toute application de classe C^∞du toreT² dansRadmet au moins trois points critiques. (On rappelle le théorème de Jordan, qui dit que tout plongement continu du cercle dans le plan euclidien sépare ce plan en deux composantes connexes, et se prolonge continuement en un plongement continu du disque dans ce plan).

(4) Construire une application de classe C^∞du tore T² dansRqui admet exactement trois points critiques.

(5) Montrer que toute surface somme connexe deg ≥1 toresT² admet une application de classeC^∞à valeurs dansRayant exactement trois points critiques.

Exercice E.90 (Classification des variétés différentiables de dimension1)SoitMune variété de classeC^∞connexe de dimension1, on va montrer queMest difféomorphe à la droite Rou au cercleS1.

Dans les trois premières questions, on suppose qu’il existe un champ de vecteursXde classe C^∞surMne s’annulant pas. Soit(φt)son flot local. Fixonsx0dansM, et notonsf :t7→φt(x0), définie sur un intervalle maximalI(ouvert).

1. Montrer quefest une immersion surjective.

2. Supposons quef soit injective. Montrer quef est alors unC^∞-difféomorphisme entreI etM.

3. Sif n’est pas injective, montrer queI =Ret quef⁻¹(x0)est de la formerZpour un certainr >0. En déduire quefinduit un difféomorphisme entre la variété quotientR/rZ etM.

On revient au cas général. Le groupeG=R^∗₊ agit sur l’espace des vecteurs non nuls deT M par multiplication.

a) Montrer que l’espace quotientM˜ deT MparGadmet une structure de variété de classe C^∞de dimension 1, et une applicationM˜ →M qui soit un revêtement de classeC^∞à deux feuillets.

b) Montrer qu’il existe un champ de vecteurs surM˜ ne s’annulant pas.

c) Conclure.

Exercice E.91 Soit a un élément deRⁿ. On considère le champ de vecteurs Xa défini par Xa(y) =a−ysurRⁿ.

1. Calculer le flot deXa.

2. Sib∈Rⁿ, calculer le crochet[Xa, Xb]en utilisant la formule explicite de la proposition 4.9 qui fait intervenir les dérivées partielles des coordonnées des champs de vecteurs (cette formule se réécrit sous forme compacte comme

[X, Y](x) =dYx(X(x))−dXx(Y(x)) si on voitXetY comme des applications d’un ouvert deRⁿdansRⁿ).

3. Retrouver la valeur de[Xa, Xb]en utilisant la formule[X, Y](x) = _dt^d_|t=0(φt)^∗Y(x), oùφt

est le flot du champ de vecteursX.

112

4. Retrouver la valeur de[Xa, Xb] en utilisant cette fois-ci la formule _dt^d22

|t=0φt◦ψt◦φ₋t◦ ψ₋t(x) = 2[X, Y](x), où(φt)et(ψt)sont les flots locaux des champs de vecteursX etY respectivement (voir l’exercice E.93).

Exercice E.92(1) Définir sur R²− {0} les champs de vecteurs Xr et Xθ formant en tout point une base orthonormée positive, telle queXrsoit radial sortant. Calculer leur flots locaux.

Calculer leur crochet de Lie.

(2) Si(x, y)et(r, θ)sont respectivement les coordonnées cartésiennes et polaires d’un point deR²− {0}, calculer l’expression de_∂r^∂ et _∂θ^∂ en fonction de _∂x^∂ et _∂y^∂, et calculer leur crochet de Lie. Quel est le rapport entreXr, Xθet _∂r^∂,_∂θ^∂ ?

(3) Soient(x, y, z)et(r, θ, ϕ)respectivement les coordonnées cartésiennes et sphériques d’un point deR³− {0}. Calculer l’expression de _∂r^∂, _∂θ^∂ et _∂ϕ^∂ en fonction de _∂x^∂, _∂y^∂ et _∂z^∂. Calculer leurs flots locaux et le crochet de Lie des champs de vecteurs ¹_r∂θ^∂ et ¹_r∂ϕ^∂.

Exercice E.93Soient X etY deux champs de vecteursC^∞sur une variété lisse M, de flot locaux(φt),(ψt)respectivement.

(1) Montrer, pour toutxdansM, que d²

dt²|t=0φt◦ψt◦φ−t◦ψ−t(x) = 2[X, Y](x).

(2) Montrer que[X, Y] = 0si et seulement si les flots locauxφsetψtcommutent pourset tassez petit.

Exercice E.94Sur la surface de la Terre, assimilée à une sphère parfaite de rayon 1, on considère sur l’ouvert complémentaire des deux pôles les champs de vecteursN etEunitaires et pointant respectivement vers le nord et l’est.

1. Calculer[N, E].

2. Sifest l’applicationx7→ −xqui envoie un point sur son antipode, calculerf_∗Netf^∗N.

Exercice E.95SoientX etY deux champs de vecteursC^∞sur une variétéM de classeC^∞ de dimension2. Au voisinage de chaque point où ils sont linéairement indépendants, montrer qu’il existe des fonctionsC^∞strictement positivesf etgtelles que[f X, gY] = 0.

Exercice E.96On rappelle que, siXetY sont des champs de vecteursC^∞sur un voisinage dexdans une variétéC^∞, de flots locaux respectifsΦ^XetΦ^Y, alors

[X, Y](x) = lim

t→0

1

t²Φ^Yt ◦Φ^Xt ◦Φ^Y₋t◦Φ^X₋t(x).

1. SoientY1(x), . . . , Yn(x)des champs de vecteursC^∞complets sur une variété connexeM de classeC^∞de dimensionn, partout linéairement indépendants. Montrer que le sous-groupe des difféomorphismes deM engendré par le flot des champs de vecteursYiagit transitivement surM, i.e. pour tousx, y∈M, il existe un entierk, des champs de vecteurs X1, . . . , Xkchoisis parmi lesYi(un champYipeut être choisi plusieurs fois), et des temps t1, . . . , tktels queΦ^Xt1¹◦ · · · ◦Φ^Xt_k^k(x) =y.

2. Soient Y1 et Y2 des champs de vecteursC^∞ complets sur une variétéM de classeC^∞ connexe de dimension3tels queY1(x), Y2(x),[Y1, Y2](x)engendrentTxM en tout point.

a) Donner un exemple d’une telle variété.

b) Montrer que le sous-groupe des difféomorphismes deM engendré par le flot des champs de vecteursY1etY2agit transitivement surM.

On pourra pour cela fixer x∈M, noterF(t1, t2, s) = Φ^Yt1¹◦Φ^Yt2²◦Φ^[Ys^1,Y2](x)et π:R³→Rla projection sur la troisième coordonnée, et montrer queπ◦F⁻¹◦Φ^Yt²◦ Φ^Yt¹◦Φ^Y₋²t◦Φ^Y₋¹t(x)est une surjection sur un ensemble de la forme[0, ]dansR.

c) En déduire que pour tousx, ydansM, il existe une courbeγ:t7→γ(t)dexày, de classeC^∞par morceaux, telle que pour toutt, le vecteurγ˙(t)appartienne au plan réel engendré parY1(γ(t))etY2(γ(t)).

Exercice E.97 1. SoientMetNdeux variétés connexes de classeC^∞etf:M→N une submersionC^∞. Montrer qu’il existe un feuilletage C^∞ surM dont les feuilles sont les composantes connexes des fibresf⁻¹(x)pourxdansN.

2. Dans la situation de la question précédente, les feuilles sont-elles nécessairement toutes difféomorphes ?

3. Montrer qu’il existe des feuilletages qui ne sont pas de cette forme.

Exercice E.98 Soient M une variété de classe C^∞,∆ un champ dep-plansC^∞ intégrable, tangent à un feuilletageF, etXun champ de vecteursC^∞surM. Montrer queXest tangent à∆si et seulement si toute courbe intégrale deXest contenue dans une feuille deF.

Exercice E.99 SoitMune variété de classeC^∞.

1. SoitfunC^∞-difféomorphisme deM. On définit un espace topologiqueM˜ en quotientant M×[0,1]par la relation d’équivalence engendrée par(x,0)∼(f(x),1)pour toutxdans M. Montrer queM˜est naturellement munie d’une structure de variété feuilletéeC^∞, dont les feuilles sont de dimension1.

2. DécrireM˜ et son feuilletage lorsquefest la rotation d’angleαsur le cercleS1.

3. Montrer que, pour des choix judicieux deMetf, la variétéM˜ estC^∞-difféomorphe au ruban de Möbius.

4. On suppose quef estisotope à l’identité, i.e. qu’il existe une applicationFde l’intervalle ]−,1 +[dansM de classeC^∞telle que l’applicationft:M→Mdéfinie parft(x) = F(t, x)soit unC^∞-difféomorphisme pour toutt, avecft= Idpourt≤0etft=f pour t≥1. Montrer queM˜ est alors difféomorphe àM×S1.

5. La donnée d’un difféomorphismef de M équivaut à la donnée d’une action deZ sur M par difféomorphismes (l’action den étant donnée parfⁿ). Étendre la construction précédente au cas d’une action deZ^dpar difféomorphismes.

Exercice E.100 SoitMune variétéC^∞, munie d’une action libre du cercle qui estC^∞(i.e. telle que l’application deR×M→Mdéfinie par(t, x)7→e^2iπt·xsoitC^∞).

1. Montrer que siφt :M →M est l’application définie par x7→e^2iπt·x, alorsX : x7→

d

dt|t=0φt(x)est un champ de vecteurs completC^∞qui ne s’annule pas surM.

2. En déduire qu’il existe un feuilletageC^∞deMdont les feuilles sont les orbites de l’action du cercle.

Exercice E.101 Montrer qu’il existe un feuilletageC^∞deR³dont les feuilles sont toutes des cylindres.

Exercice E.102 (1) On rappelle que pour toutp∈N, on noteSp={(x0, x1, . . . , xp)∈R^p+1 : x²0+x²1+· · ·+x²p = 1}. Soit n ∈ N− {0}. On noteϕ l’application de la sphère Sn dans la sphèreSn+1 définie par(x0, x1, . . . , xn)7→(x0, x1, . . . , xn,0), etϕl’application de l’espace projectifPn(R) =Sn/{±1}dans l’espace projectifPn+1(R) =Sn+1/{±1}induite par passage au quotient. On noteMl’image deϕ.

a) Montrer queM est une sous-variétéC^∞de codimension1dePn+1(R), qui est compacte et connexe.

b) Montrer qu’il n’existe pas de champ de vecteursXde classeC^∞surPn+1(R)tel que pour toutxdansM, les sous-espaces vectorielsRX(x)etTxMdeTxPn+1(R)soient supplémentaires.

(2) SoitGle sous-groupe du groupe des isométries du plan euclidienR² engendré par les applicationsα: (x, y)7→(x+ 1, y)etβ: (x, y)7→(−x, y+ 1).

a) Montrer que l’action de GsurR²est libre et propre, et que chaque élément deGagit parC^∞-difféomorphisme deR². On noteK, et on appellebouteille de Klein, la variété quotient G\R², etπ:R²→Kla projection canonique.

b) Montrer que l’application(x, y)7→ydeR² dansRinduit par passage au quotient une fibrationψde classeC^∞deKdans le cercleR/Z.

c) On noteN l’image de{0} ×RdansKparπ. Montrer qu’il n’existe pas de champ de vecteursY de classeC^∞surKtel que pour toutxdansN, les sous-espaces vectorielsRY(x) etTxNdeTxKsoient supplémentaires.

d) Est-ce queKest parallélisable ?

e) Si L^θ est le feuilletageC^∞ de R² dont les feuilles sont les droites affines de pentes θ, montrer qu’il existe un feuilletageF^θde classeC^∞deKtel quef^∗F^θ=L^θ.

(3) SoientP une variétéC^∞de dimensionn+ 1etQune variétéC^∞de dimension1. Soit f:P→Qune fibrationC^∞. Montrer que pour toutqdansQ, il existe un champ de vecteurs Zde classeC^∞surP, tel que, pour toutxdansF=f⁻¹(q), les sous-espaces vectorielsRZ(x) etTxF deTxP soient supplémentaires.

(4) Soitn≥2, etM une sous-variétéC^∞compacte connexe de codimension1deRⁿ. a) Pour tousx, ydansMet tous voisinages ouvertUetV dexetyrespectivement, montrer qu’il existe un cheminγ: [0,1]→Rⁿde classeC^∞, ne rencontrant pasM, et tel queγ(0)∈U etγ(1)∈V. En déduire queRⁿ−M possède au plus deux composantes connexes.

115

b) Montrer queRⁿ−M possède exactement deux composantes connexes, et queMest la frontière de chacune d’entre elles.

c) Montrer qu’il existe un champ de vecteursX de classe C^∞surRⁿtel que pour toutx dansM, les sous-espaces vectorielsRX(x)etTxMdeTxRⁿ=Rⁿsoient supplémentaires.

Exercice E.103 On noteAl’adhérence d’une partieAd’un espace topologique. Soientpetq deux éléments deN− {0}.

(1) Soienta∈[0,+∞[etb∈R. On considère le sous-espaceMa,b,p,qde(R²−{0})×Rformé des triplets(u, v, w)tels que

(√

u²+v²−2) +iwp

=a e^ib

u+iv

√u²+v² q

, oùiest le nombre complexe usuel.

a) Montrer queMa,b,p,qest une sous-variétéC^∞de dimension1deR³. b) Calculer le nombre d’intersection deMa,b,p,qetMa0,b0,p,q.

(2) SurR³muni de ses coordonnées canoniques(x, y, z), on considère les champs de vecteurs A(x, y, z) = ∂

∂x+x∂

∂z , B(x, y, z) = ∂

∂y+y∂

∂z, C(x, y, z) =−y∂

∂x+x∂

∂y,

et on note∆(x, y, z)le sous-espace vectoriel engendré parA(x, y, z), B(x, y, z)etC(x, y, z).

a) Montrer que(x, y, z)7→∆(x, y, z)est un champ de2-plans de classeC^∞ intégrable sur R³. On noteraF le feuilletageC^∞auquel est tangent∆.

b) Calculer les flots des champs de vecteursAetC. Montrer queAetCsont complets.

c) Soit N une variété C^∞ munie d’un feuilletageL de classe C^∞. SoitD un champ de vecteurs complets surM. Montrer queDest tangent àL(i.e.∀x∈M, D(x)∈TxLx, oùLx

est la feuille deLpassant parx) si et seulement si son flot(φ^Dt)t∈Rpréserve chaque feuille deL (i.e.∀t∈R, ∀x∈M, φ^D_t(L^x) =L^x). En déduire que les flots deA,BetCpréservent chaque feuille deF.

d) En déduire, pour tout(x0, y0, z0)dansR³, une équation cartésienne de la feuille deF passant par(x0, y0, z0). Montrer que chaque feuille deF est une sous-variétéC^∞de dimension 2deR³.

(3) On noteU l’ouvert deR³formé des triplets(u, v, w)tels que(√

u²+v²−2)²+w²<1, etT=U−Ula frontière deU dansR³.

a) Montrer queT est une sous-variétéC^∞de dimension2deR³.

b) Montrer qu’il existe une fibrationT →S1de classeC^∞telle queM1,b,p,qsoit une fibre de cette fibration pour toutbdansR.

(4) Soitϕ:R³→R³l’application ϕ: (x, y, z)7→

( x

1 +x²+y²+ 2) cosz, ( x

1 +x²+y²+ 2) sinz, y 1 +x²+y²

. 116

a) Montrer queϕest un revêtementC^∞deR³ dansU.

b) Montrer qu’il existe un feuilletage Rde classe C^∞ dansU tel que ϕ^∗R =F, et des champs de vecteursC⁰etD⁰surU tels queϕ^∗C⁰=Cetϕ^∗D⁰=_∂z^∂. Montrer queD⁰n’est pas tangent àR.

(5) a) Montrer que pour toute feuille`deR, on a`−`=T.

b) Montrer qu’il existe un feuilletageSp,qde classeC^∞deU tel queMa,b,p,qsoit une feuille deS^p,qpour toutadans[0,1[et toutbdansR.

c) Existe-t-il une fibration de classe C^∞ de U sur une variété N de classeC^∞ telle que Ma,b,p,qsoit une fibre de cette fibration pour toutadans[0,1[et toutbdansR?

(6) On identifieR³ avec le complémentaire du pôle nord, noté∞, dans la sphèreS3 par projection stéréographique. Montrer qu’il existe unC^∞-difféomorphisme involutifψde la sphère S3=R³∪ {∞}échangeant les deux composantes connexes deS3−T.

(7) Montrer qu’il existe un feuilletageR⁰ de classeC^∞deS3, invariant parψ, dontT est une feuille, et dont les feuilles dansU sont celles deR. Montrer qu’il existe un feuilletageS⁰de

(7) Montrer qu’il existe un feuilletageR⁰ de classeC^∞deS3, invariant parψ, dontT est une feuille, et dont les feuilles dansU sont celles deR. Montrer qu’il existe un feuilletageS⁰de

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