2. On identifieS3avec la sphère unité deC2. On définit alors une action deS1 surS3 par θ·(z1, z2) = (e2iπθz1, e2iπθz2)pourθ∈ S1. Pour toutz= (z1, z2)dansS3, montrer que θ7→θ·zest un plongement analytique réel deS1dansS3.
3. On définit une applicationπ:S3→Cˆparπ(z1, z2) =z1/z2. Montrer que cette application est analytique réelle et submersive.
4. Montrer que, pour toutz∈ C, il existe un voisinageˆ U dez et un difféomorphismeψ entreπ−1(U)etU×S1tel queπ◦ψ−1:U×S1→Usoit la première projection.
On dit queπest unfibré localement trivial de fibreS1(voir le paragraphe 3.6).
2.6 Indications pour la résolution des exercices
Schème E.2 Voir par exemple [Bou3, chap. 9, exer. 24 (c)].
Schème E.3 Ensemblistement, les espaces topologiques sont ceux ci-dessous.
02
(t,2)
(t,3)
t 01
04
03
01 02
(t,4) (t,1)
De plus, dans le dessin de gauche, les points(t, i)convergent vers0i et vers0i+1quand t tends vers0, pour toutientier modulo4. Dans le dessin de droite, les pointstconvergent vers 01 et vers02quandttends vers0. Tout point admet un voisinage homéomorphe àR.
Schème E.7 Voir par exemple [Mil, Appendix], [Laf, III.G] pour la classe de différentiabilité C∞, et appliquer le théorème 2.12.
Schème E.9 SiU est un voisinage ouvert deN, etg:U →P une applicationCktelle que f =g|N alors sii:N →U est l’inclusion, qui est de classeCkpar la proposition 2.16, on a f=g◦i, doncf estCkcomme composée de fonctionsCk.
Schème E.10 Il suffit de vérifier que les applicationsφij introduites avant l’énoncé de cet exercice sont nécessairement desCk-difféomorphismes. Commeid :N1×N2→N1×N2estCk, les applicationpr1etpr2le sont, doncφijestCk, carpr1◦φij=ϕi◦pr1etpr2◦φij=ψi◦pr2
le sont. Etφ−ij1est aussiCk, de manière analogue.
Schème E.11 Voir par exemple [Kat].
Schème E.12 Pour vérifier qu’un nouvel atlas de cartes, sur une variété différentielleM de classeCk, définit la structure différentielle originelle, il suffit de montrer que chaque nouvelle carte est un Ck-difféomorphisme sur son image (le domaine de cette carte étant muni de la structure induite par la structure différentielle originelle). On a
pN(x) = 1
1−x0(x1, . . . , xn), p−1N(y) = 1
||y||2+ 1(||y||2−1,2y1, . . . ,2yn), pS(x) = 1
1 +x0
(x1, . . . , xn), p−S1(x) = 1
||y||2+ 1(1− ||y||2,2y1, . . . ,2yn).
Par l’exercice E.9, les cartespS, pNdéfinies sur la sous-variétéSn sont doncCω. Le résultat en découle.
Schème E.14 Utiliser le théorème de relèvement des applications holomorphes (voir la pro-position 2.24).
Schème E.15 La variétéP1(C)est par construction isomorphe à la sphère de Riemann en tant que variété holomorphe, donc àS2en tant que variété analytique réelle.
Schème E.17 Nous noteronsK=RouK=C, etx∗=txsiK=R. Rappelons queGLn(K) est un ouvert de l’espace vectoriel réel de dimension finieMn(K).
(1) CommeMn(R)est un sous-espace vectoriel (fermé) deMn(C), le sous-groupeGLn(R) = Mn(R)∩GLn(C)est un fermé deGLn(C).
Comme les applicationsdet : GLn(K)→(K∗,+)etx7→x−1,x7→x∗ de GLn(K)dans lui-même sont des morphismes ou anti-morphismes de groupes et sont continus, les ensembles SLn(C),U(n),SU(n), SLn(R),O(n),SO(n) sont, comme lieux d’égalité de deux applications continues à valeurs dans un espace séparé, des sous-groupes fermés de GLn(K) pour K = C,C,C,R,R,R, donc deGLn(C). [On peut aussi dire que les applicationsx7→detx,x7→x−1x∗ etx7→x−1xétant continues (car polynomiales), les sous-groupesSLn(C),U(n),SLn(R),O(n) sont fermés, comme image réciproque d’un singleton (deRdonc fermé) par une application continue, etSU(n),SO(n)comme intersection de deux fermés.]
Puisque la propriété d’être une sous-variété est locale, et puisque pour toutgdans le sous-groupeGconsidéré, l’applicationLg:Mn(C)→ Mn(C)définie parh7→ghest un difféomor-phisme analytique réel (car polynomial), d’inverseLg−1, qui induit une bijection deGdansG, il suffit de montrer queGest une sous-variété dans un voisinage de la matrice identitéiddans l’ouvertGLn(C).
Comme GLn(C)est ouvert etMn(R)est un sous-espace vectoriel réel, ceci implique que GLn(R)est une sous-variété analytique réelle.
Les applicationsx7→detx,x7→x∗x,x7→detxetx7→ tx xrespectivement deGLn(C) dansC, deGLn(C)dans l’espace vectoriel réelHermndes matricesnxncomplexes hermitiennes, de GLn(R)(vu comme un ouvert de Mn(R)) dans R, de GLn(R) dans l’espace vectoriel réelSymn des matricesnxn réelles symétriques, sont analytiques réelles (car polynomiales), et leur différentielle en l’élément neutre est respectivementx7→trace(x), x7→x∗+x, x7→
trace(x)etx7→ tx+x, qui sont des applications linéaires respectivement deMn(C)dansR, deMn(C)dansHermn, deMn(R)dansR, de Mn(R)dansSymn. Ces applications linéaires sont surjectives, car la trace est non nulle, et si x ∈ Hermn, alors x = (12x) + (12x)∗ et si x∈ Symn, alors x= (12x) +t(12x). Donc, par le théorème des submersions, au voisinage de l’identité,SLn(C),U(n),SLn(R),O(n)sont des sous-variétés analytiques réelles respectivement deGLn(C),GLn(C),GLn(R)etGLn(R), donc deGLn(C), de dimensions respectivement2(n2− 1), n2, n2−1,n(n2−1).
Six∈O(n)est proche de l’identité, commedetx=±1, nous avonsx∈SO(n), doncSO(n) est une sous-variété.
L’applicationϕdeGLn(C)dansHermn×Rdéfinie parx7→(x∗x,Im detx)est analytique réelle, de différentielle en la matrice identité égale à l’application linéaire de Mn(C) dans Hermn×Rdéfinie parx7→(x∗+x,Im tracex), qui est surjective (car ajouter à une matrice xdeMn(C)une matrice diagonale de coefficients diagonaux imaginaires purs ne change pas la valeur dex∗+x, tout en permettant d’obtenir n’importe quelle partie imaginaire de trace).
Comme|detx|= 1six∈U(n), l’intersection avec un voisinageV de l’identité de la préimage parϕdu point(id,1)est contenue dansSU(n), donc égale àV∩SU(n). Donc par le théorème des submersions,SU(n)est une sous-variété analytique réelle au voisinage de la matrice identité (donc partout).
(2) Notons queU(1) ={x∈C : z−1=z}coïncide avec le cercleS1des nombres complexes de module1. L’application de R dansSO(2) définie par t 7→
cost −sint sint cost
induit par passage au quotient une applicationCωdeR/2πZdansSO(2), qui est une immersion locale.
Par compacité, cette application est donc unCω-difféomorphisme.
(3) Les fermésU(n),SU(n),O(n),SO(n)sont bornés dans des espaces vectoriels (complexes ou réels) de dimension finie, car leur vecteurs colonnes sont de norme (hermitienne ou eucli-dienne standard) égale à1. Ils sont donc compacts.
(4) Par continuité de la conjugaison, et puisque le seul conjugué de l’identité est elle-même, si, dans un sous-groupeGdeGLn(C), on peut joindre un élémentgà l’identité par un chemin continu dansG, alors on peut joindre le conjugué degpar tout élémentGà l’identité par un chemin dansG.
Par le théorème de réduction des matrices orthogonales, et puisque SO(2), qui est Cω -difféomorphe au cercleS1, est connexe (par arcs), le sous-groupeSO(n)deO(n)est connexe (par arcs). Commedet : O(n)→ {−1,1}est un morphisme de groupes continu surjectif, et puisque la multiplication par la matrice
−1 0 0 idn−1
envoieSO(n) = det−1(1)surdet−1(−1),O(n) a exactement deux composantes connexes, etSO(n)est la composante connexe de l’élément
47
neutre dansO(n). La connexité deU(n),SU(n)découle du théorème de réduction des matrices unitaires.
(5) Voir aussi les exercices E.114 et E.182.
Schème E.18 Supposons queM−N soit la réunion de deux ouverts fermés non videsU et V. Soitx∈N. Il existe au moins un voisinage connexeWxdexdansM−N(puisque c’est le cas pour un sous-espace vectoriel de dimension≤n−2 dansRn), doncWx est contenu soit dansU soit dansV.
NotonsU0=U∪ {x∈N : Wx⊂U}etV0=V ∪ {x∈N : Wx⊂V}: c’est une partition deM. Montrons que ces ensembles sont fermés.
Soitxnune suite deU0 qui tend versx∈M. Sixn∈N, on le remplace par un point très proche deU, et on peut donc supposer xn ∈ U. Si x∈ M−N, comme U est fermé dans M−N, on ax∈U. Six∈ N, alorsU rencontre des voisinages arbitrairement petits dex, doncWx⊂U, puisx∈U0.
Ainsi,U0est fermé, de même queV0. Cela contredit la connexité deM.
Schème E.23 Dans le premier exemple (rayon de tores), il y a toujours une unique compo-sante non compacte dans le complémentaire d’un ouvert d’adhérence compacte. Au contraire, dans le deuxième exemple (droite de tores), il y a deux composantes non compacte dans le complémentaire d’un certain ouvert bien choisi (par exemple un petit tore au milieu). Cela montre que ces deux sous-variétés deR3ne sont pas homéomorphes.
De la même manière, l’arbre binaire de tores n’est homéomorphe à aucun autre, car le nombre de composantes connexes non bornées du complémentaire d’un ouvert d’adhérence compacte peut être arbitrairement grand.
En revanche, le rayon de tores et le plan de tores sont homéomorphes, comme on va le montrer maintenant. Comme on raisonne à homéomorphisme près, on peut supposer que le plan de tores est formé de deux plans horizontaux parallèles, percés de disques de manière invariante par un réseau horizontal, notésP+etP−, et joints par des cylindres verticaux, que l’on notec0, c1, c2, . . . en spirale à partir d’un cylindre vertical fixé.
c0 c1
c2
c3
c4
c5
c6 c7 c8
P+ P−
Choisissons sur chacun des deux plans percésP+etP−deux courbesγ+1 etγ1−n’entourant que les bord des cylindresc0 etc1 sur ces deux plans. On a alors un homéomorphisme
48
c1
c0
γ1+
γ−1
c0 c1
γ1+
γ1−
On continue ainsi en choisissant successivement des courbes entourantes de plus en plus grandes, qui permettent d’englober de plus en plus de trous. Pour ne pas avoir de problème lié à la compacité, il faut qu’il y ait un nombre fini de courbes entourantes qui passent à côté d’un trou fixé. Cela peut par exemple s’assurer en prenant des courbes entourantes qui croissent aussi en spirale en partant du trou central.
c0
γn+ γn+1+
γ1+
γ+n
γn+1+
cn+1∩P+ c1 cn+1
Schème E.24 (1) Soitα:R2→R3donnée par
α(θ, φ) = ((2 + cosφ) cosθ,(2 + cosφ) sinθ,sinφ).
C’est une immersion analytique réelle, dont l’image est exactementT. De plus, pour(θ, φ)∈R2, un voisinage de(θ, φ)dansR2est envoyé de manière homéomorphe parαsur un voisinage de α(θ, φ)dansT. Le théorème des immersions (dans sa version analytique réelle) assure donc que T est une sous-variété analytique réelle deR3.
(2) Par définition des submersions sur les variétés,fadmet un point critique enα(θ, φ)si et seulement sif◦αadmet un point critique en(θ, φ). Maisf◦α(θ, φ) = (2 + cosφ) cosθ. Ainsi, (θ, φ)est un point critique def◦αsi et seulement sisinθ= 0etsinφ= 0. On obtient donc 4points critiques def surT, en(3,0,0),(1,0,0), (−1,0,0),(−3,0,0). Géométriquement, ce sont les points où le plan{x=c}est tangent àT.
(3) Soitc6∈ {−3,−1,1,3}. Alorsfest une submersion en tout point def−1(c), doncf−1(c) est une sous-variété deTpar le théorème des submersions, et donc deR3. Les préimagesf−1(−3) etf−1(3)sont des points deT, donc des sous-variétés de dimension0. Les préimagesf−1(−1) etf−1(1)sont homéomorphes à des8, donc ne sont pas des sous-variétés. Géométriquement, les courbes de niveau sont de la forme suivante :
f
Schème E.25 (1) SoitX∈Vr. Il existe des matrices inversiblesPetQtelles que P XQ=
Ir 0 0 0
=Ir,0.
Si on savait queVr était une sous-variété au voisinage deIr,0, on en déduirait donc le même résultat au voisinage deXpuisque le difféomorphismeΦ :Y 7→P Y QlaisseVrinvariant.
Il suffit donc de travailler au voisinage deIr,0. Si A C
B D
est une matrice assez proche de0pour queIr+Asoit inversible, on a
Ir+A C
B D
(Ir+A)−1 −(Ir+A)−1C
0 In−r
=
Ir 0 B(Ir+A)−1 D−B(Ir+A)−1C
. Ainsi,
Ir+A C
B D
est de rangrsi et seulement siD=B(Ir+A)−1C. Soit
Φ :
Ir+A C
B D
7→D−B(Ir+A)−1C
définie au voisinage deIr,0dansMn,m(R)à valeurs dansMn−r,m−r(R). Sa différentielle est sur-jective enIr,0car elle est donnée pardΦIr,0
A C B D
=D. Ainsi, le théorème des submersions s’applique et montre queΦ−1(0)est une sous-variété au voisinage deIr,0. Sa codimension est dimMn−r,m−r(R) = (n−r)(m−r), donc sa dimension estr(n+m−r).
(2) Lorsquep+q=r, notons Ip,q=
Ip 0 0 −Iq
et Ip,q,0=
Ip,q 0 0 0
.
Par diagonalisation, toute matrice symétrique de rangrs’écrit sous la forme tP Ip,q,0P pour une certaine matrice inversible P et desp, q tels quep+q=r. Il suffit donc comme dans le cas précédent de montrer que les matrices symétriques de rangrforment une sous-variété au voisinage deIp,q,0.
Comme plus haut, une matrice symétrique
Ip,q+A tB
B D
proche deIp,q,0est de rangrsi et seulement siD=B(Ip,q+A)−1tB. On considère donc une applicationΦcomme ci-dessus. Sa différentielle est encore surjective (cette fois sur l’espace vectoriel des matrices symétriques de
taille(n−r)×(n−r)), donc on conclut comme plus haut. Ici, la codimension est la dimension des matrices symétriques de taillen−r, i.e.(n−r)(n2−r+1).
(3) Comme plus haut, on se ramène au voisinage deIr,0. En effet,Ir,0est la matrice de la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel desrpremières coordonnées dansRn, et par transitivité de l’action deO(n)sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimensionrdeRn, toute autre matrice de projection orthogonale de rangrs’écritP−1IrP avecP∈O(n). Comme P−1=tP, la matrice d’une projection orthogonale est bien symétrique. Réciproquement, toute matriceMsymétrique vérifiantM2=Mest la matrice d’un projecteur orthogonal, carKeru est orthogonal àImusiuest un endomorphisme symétrique deRn.
On considère une matrice symétriqueM=
Ir+A tB
B D
proche deIr,0. Par (1), elle est de rangrsi et seulement siD=B(Ir+A)−1tB. En ce cas, la matriceM2−Mest égale à
A+A2+ tBB AtB+ tBB(Ir+A)−1tB
BA+B(Ir+A)−1tBB BtB+B(Ir+A)−1tBB(Ir+A)−1tB−B(Ir+A)−1tB
. La matriceM est un projecteur si et seulement si cette matrice est nulle, ce qui équivaut à A+A2+ tBB = 0, i.e. tBB =−A(Ir+A): on vérifie en effet que cette condition implique que les quatre cœfficients de la matrice écrite ci-dessus sont nuls.
On définit donc une application à valeurs dans le produit de l’espace vectoriel des matrices symétriques de taille(n−r)×(n−r)et de l’espace vectoriel des matrices de tailler×r
Φ :
Ir+A tB
B D
7→(D−B(Ir+A)−1tB, A+A2+ tBB).
Une matrice symétriqueMproche deIr,0est un projecteur orthogonal de rangrsi et seulement siΦ(M) = 0. De plus,dΦIr,0:
A tB
B D
7→(D, A)est surjective. On conclut donc comme plus haut. La dimension est
n(n+ 1)
2 −(n−r)(n−r+ 1)
2 −r(r+ 1)
2 =r(n−r).
Schème E.26 L’image deϕi,±est la boule ouverte unité deRn, et l’inverse deϕi,±est (x0, . . . ,xbi, . . . , xn)7→(x0, . . . , xi−1,±
s 1−X
j6=i
x2j, xi+1, . . . , xn).
Schème E.27 Soitf:Sn→Rnune immersion. Son image est alors ouverte (par le théorème d’inversion locale) et fermée (par compacité), c’est donc tout Rn par connexité, ce qui est absurde par compacité.
Schème E.29 (1) et (3) Dans les deux cas, le sens direct est immédiat, car la composée de deux applicationsCkl’est encore.
Pour le sens réciproque, on se ramène, par le théorème 2.8 de forme normale des im-mersions et des subim-mersions, au cas où f est respectivement l’application (x1, . . . , xp) 7→
(x1, . . . , xp,0, . . . ,0)et (x1, . . . , xp)7→(x1, . . . , xq)avec q ≤p et respectivementM =Rpet N = Rq, auquel cas le résultat est clair, car l’application x 7→ (g1(x), . . . , gp(x))est Ck si
51
x 7→(g1(x), . . . , gp(x),0, . . . ,0)l’est, et(x1, . . . , xq)7→g(x1, . . . , xq)estCk si(x1, . . . , xp)7→
g(x1, . . . , xq)l’est.
Schème E.30(1) SoitPune variétéCkde dimensionr,Uun voisinage dexdansM,s:U→P une submersionCkenx,V un voisinage ouvert des(x)dansP eti:V →N une immersion Ckens(x). Montrons quei◦sest une application de rang constantrau voisinage dex. Soient (W, ϕ),(W0, ϕ0),(W00, ϕ00)des cartes locales deM, P, Nenx, s(x), i◦s(x)respectivement. Alors le rang de
dϕ(x)(ϕ00◦i◦s◦ϕ−1) =dϕ(x)(ϕ00◦i◦ϕ0−1)◦dϕ(x)(ϕ0◦s◦ϕ−1) vautrcar la première application linéaire est surjective et la seconde injective.
L’applicationg: (x1, . . . , xn)7→(x1, . . . , xr,0, . . . ,0)deRndansRr+pest la composée de la submersions: (x1, . . . , xn)7→(x1, . . . , xr)et de l’immersioni: (y1, . . . , yr)7→(y1, . . . , yr,0, . . . ,0), ainsi que de l’immersion
i: (x1, . . . , xn)7→(x1, . . . , xr,0, . . . ,0, xr+1, . . . , xn)
de RndansRn+pet de la submersions: (y1, . . . , yn+p)7→(y1, . . . , yr+p), deRn+pdansRr+p. Par le théorème 2.8 de forme normale locale des applications de rang constant, et puisque la composée de deux submersions est une submersion, et la composée de deux immersions est une immersion, le résultat en découle.
(2) Localement, on écritf=i◦s, doncg◦f◦g0= (g◦i)◦(s◦g0), doncg◦f◦g0, comme composé d’une submersion, puis d’une immersion (attention à l’ordre !), est de rang constant, par la question (1).
(3) Non,s: (x, y)7→x2+yest une submersion de R2 dansRet i: x7→(x,0)est une immersion deRdansR2, maiss◦i:x7→x2n’est pas une application de rang constant deR dansR.
Schème E.31 En prenant une carte locale, on se ramène au cas oùF=Rp× {0} ⊂E=Rn. Dire queGest une sous-variété deF signifie qu’il existe un difféomorphisme localφdeRptel queφ(G)coïncide localement avecRq× {0} ⊂Rp. On prolongeφà un petit ouvert deRn en posantφ(x, y) = (φ(x), y). C’est encore un difféomorphisme local, et il vérifie que˜ φ(G)˜ coïncide localement avecRq× {0} × {0} ⊂Rn. Cela montre queGest une sous-variété deE.
Une autres solution est la suivante. Notons i : F → E,j : G→ F et k : G →E les inclusions. Cmmei◦j=k, le résultat découle immédiatement de la propriété universelle de la structure de variété standard d’une sous-variété (voir la proposition 2.16).
Schème E.32 En prenant des cartes locales, on se ramène au cas oùF=Rp× {0} ⊂G=Rn etE=Rs. Notonsil’injection canonique deF dansG. Alors la différentielle dei◦f:Rs→Rn s’obtient en rajoutantn−plignes remplies de zéros à la différentielle def. Cela ne change pas le rang de la matrice, ni son injectivité. Ainsi,i◦f est une immersion si et seulement sifest une immersion.
Schème E.34 (1) Les trois dessins qui suivent donnent trois contre-exemples :
52
(2) Soitk≥1le cardinal des fibres def. Soienty∈f(M)etx1, . . . , xkses préimages dans M. Pour chaquei, il existe un voisinage ouvertBidexisur lequelfest un plongement, d’après le théorème des immersions. Quitte à réduire les Bi, on peut supposer que leurs adhérences sont disjointes.
On va démontrer le fait suivant : pour tout voisinageV deydansNassez petit,f−1(V)⊂ B1∪. . .∪Bk.
Si ce fait n’était pas vrai, il existerait une suitexndeM−S
Bitelle quef(xn)→y. Comme f est propre, la suitexn appartient à un compact, et on peut donc supposer qu’elle converge quitte à extraire. Sa limitexest alors un antécédent deydifférent desxi, ce qui est absurde.
Soit V assez petit pour que les conclusions du fait soient satisfaites. Montrons alors que f(Bi)∩V est indépendant dei. Soity0 ∈ f(Bi)∩V. Alors y0 a exactementk antécédents.
Mais il en a au plus un dans chaqueBj, et il ne peut en avoir à l’extérieur desBj. Ainsi, il en a exactement un dans chaqueBj. En particulier,f(Bi)∩V ⊂f(Bj)∩V. La situation étant symétrique, on obtient l’égalité recherchée.
Finalement,f(M)∩V =f(B1)∩V est bien une sous-variété au voisinage dey, puisquef est un plongement surB1.
(3) On notenla dimension deN,ple rang def etp+qla dimension deM.
Soitk≥1le nombre de composantes connexes des fibres non vides def. Soienty∈f(M)et X1, . . . , Xkles composantes connexes def−1(y). Quitte à prendre une carte au voisinage dey, on peut supposer queN=Rnet quey= 0. SoitXl’un desXi, on va étudier le comportement def au voisinage deX.
Fixons un point de référence x0 ∈ X. En appliquant le théorème du rang constant au voisinage dex0, on obtient que l’image parfd’un voisinage dex0est une sous-variété deRn de dimensionp. Quitte à composer par un difféomorphisme local deRnen0, on peut supposer que l’image d’un voisinage dex0 est incluse dansRp× {0}.
Première étape : il existe un voisinageU deX tel quef(U)⊂Rp× {0}.
On définit une relation d’équivalence surX, parx∼y si, pour tout voisinageU dex, il existe un voisinageV deytel quef(V)⊂f(U), et inversement. D’après le théorème du rang constant, les classes d’équivalence sont ouvertes. CommeX est connexe, il y a donc une seule classe d’équivalence, c’est-à-dire celle dex0.
Ainsi, tout pointxdeXa un voisinageUxtel quef(Ux)⊂Rp× {0}. On prendU=S Ux. Deuxième étape : pour touta∈Rp× {0}assez petit,f−1(a)∩U est connexe non vide.
Pour toutx∈X, il existe un difféomorphismeφxentre un voisinageUxdex(inclus dans U) et un ouvert ]−x, x[p×]−rx, rx[q tel quef◦φ−x1 soit la projection sur lesppremières variables, d’après le théorème du rang constant. Par compacité, on peut recouvrirX par un nombre fini de tels ouvertsU1, . . . , Un.
On noterai→j siUi∩Uj∩X est non vide. Montrons qu’il existe alorsij>0tel que, pour touta∈Rpavec||a|| ≤ij,f−1(a)∩(Ui∪Uj)est connexe. Les “tranches” f−1(a)∩Ui
etf−1(a)∩Uj sont toutes deux connexes non vides siaest assez petit, par définition deUi
etUj. Soitx∈Ui∩Uj∩X. Alors l’image de tout voisinage dexcontient un voisinage de0 dansRp, par le théorème du rang constant appliqué enx. En particulier, sia est assez petit, f−1(a)∩Ui∩Ujest non vide. Cela implique quef−1(a)∩(Ui∪Uj)est connexe comme réunion de deux connexes qui s’intersectent.
Pour tous1≤i, j≤n, il existe une suitei1, . . . , irtelle quei→i1,ij→ij+1,ir→j: cela provient de la connexité deX. On en déduit que, pour touta∈Rpavec||a|| ≤min(ij), le sous-espacef−1(a)∩U est connexe.
Troisième étape : conclusion
On peut ensuite procéder exactement comme dans la question précédente, en remplaçant les arguments portant sur des points par des arguments portant sur des composantes connexes.
Schème E.35 C’est un cas particulier de l’exercice E.36.
Schème E.36 SiP est homogène de degrék(aveck6= 0carP est non constant), en dérivant par rapport àtla relationP(tx) =tkP(x)et en prenant la valeur ent= 1, on obtient, pour toutxtel queP(x) =a, que
Xn i=1
xi
∂P
∂xi(x) =ka6= 0.
Doncaest une valeur régulière deP (i.e.P est une submersion en tout point deP−1(a)), qui est atteinte par hypothèse, donc le premier résultat découle du corollaire 2.22. Commex7→tx induit un difféomorphisme analytique réel (resp. complexe) pourt >0(resp.t∈C− {0}) de P−1(a)surP−1(tka), la dernière assertion en découle.
Schème E.37 (1) Si{f, g}est une partition de l’unité de classeCksubordonnée au recouvre-ment ouvert{cA,cB}, alorsfconvient.
(2) Puisque les fermésV et cU sont disjoints, soitϕ :M →R une application de classe Ck, nulle surcU, valant1surV. Alors l’applicationg:M→R, qui coïncide avecϕf surU, prolongée par0hors deU, convient.
Schème E.38 (1) Puisque la question est locale, on peut se ramener par cartes locales à N=Rp× {0}etM=Rn, alorsg(x1, . . . , xn) =f(x1, . . . , xp)convient.
(2) Par la question précédente, pour toutxdansN, il existe un voisinage ouvertUxdex dansM etgx:Ux→Rune applicationCkprolongeantf|Ux∩N. Soit(ϕ0, ϕx)x∈N une partition de l’unité Cksubordonnée au recouvrement ouvert (cN, Ux)x∈N de M, et prolongeons par0 hors deUxl’applicationgxϕx. Alorsg=P
x∈Ngxϕxconvient.
(3) Non, l’applicationx7→logxsur la sous-variété]0,∞[de la variétéRne se prolonge pas àR!
(4) Comme une sous-variété est localement fermée,N est fermée dans un de ses voisinages ouvertsU (voir l’exercice 2.15, et l’exercice E.171 de l’appendice A.1), et on applique (2).
Schème E.39 CommeMest localement fermée,M−Mest un fermé deRn. Construisons tout d’abord une applicationφde classeCksurM, strictement positive, qui se prolonge continûment par0surM−M. SiMest fermée, c’est évident, il suffit de prendreφ= 1. Pourx∈M, soitVxun voisinage ouvert dexdansRnsur lequeld(y, M−M)≥d(x, M−M)/2. L’ouvertV =S
x∈MVx
admet une partition de l’unitéCk: il existe des fonctionsφxde classe Cksupportées parVx, positives ou nulles, dont les supports forment une famille localement finie et avecP
x∈Mφx= 1.
On définit alors une fonctionφsurMparφ(y) =P
x∈Mφx(y)d(x, M−M)/2. Notons que cette somme est en fait localement finie, si bien queφest bien définie, strictement positive surMet Ck. De plus, pour touty∈M,φ(y)≤d(y, M−M).
On définit finalement une applicationΨde M dansRn+1 par Ψ(x) = (x,1/φ(x)). C’est manifestement un plongementCk, il faut vérifier que son image est fermée pour conclure. Soit xk∈Mune suite telle queΨ(xk)converge. En particulier,xkconverge dansRn, vers un point x∈M. Sixn’appartenait pas àM, alors1/φ(xk)tendrait vers l’infini, ce qui est absurde. Par conséquent,x∈M, puisΨ(xk)tend versΨ(x), qui appartient bien àΨ(M).
Schème E.40 Soit(ϕi)i∈Nune partition de l’unité (dénombrable) de classeCkdeMà supports compacts (qui existe, carMest localement compact à base dénombrable). Alorsf=P
i∈Niϕi
convient.
Schème E.41 (1) On calcule
∂f
∂x= 4x(x−1)(x−2) et ∂f
∂y = 2y .
Donc les points critiques def(qui sont les pointsudeR2où la différentielledfuest l’application nulle) sont(0,0),(1,0),(2,0). Les valeurs critiques de f sont donc f(1,0) = 0 etf(0,0) = f(2,0) =−1. L’ensemble des valeurs régulières (qui est le sous-ensemble des points de l’ensemble d’arrivée qui ne sont pas des valeurs critiques, et l’on fera donc attention au fait qu’une valeur régulière n’est pas forcément une valeur) defest doncR− {0,−1}.
Donc les points critiques def(qui sont les pointsudeR2où la différentielledfuest l’application nulle) sont(0,0),(1,0),(2,0). Les valeurs critiques de f sont donc f(1,0) = 0 etf(0,0) = f(2,0) =−1. L’ensemble des valeurs régulières (qui est le sous-ensemble des points de l’ensemble d’arrivée qui ne sont pas des valeurs critiques, et l’on fera donc attention au fait qu’une valeur régulière n’est pas forcément une valeur) defest doncR− {0,−1}.