Cours de géométrie différentielle

(1)

G´ eom´ etrie diff´ erentielle

Pr´eparation ` a l’agr´egation (2020–2021)

Jean-Fran¸cois Babadjian

Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à la généralisation des courbes et des surfaces dans l’espace Euclidien qui conduit `la notion de sous-variété différentielle.

Nous définirons les sous-variétés de Rⁿ de différentes manières ayant chacune leur in- terprétation géométrique propre.

1 Sous-vari´ et´ es

Définition 1. Soient nPN^˚, kPN^˚Y t`8u et p P t1, . . . , nu. Un sous ensemble M de Rⁿ est une sous-variété de Rⁿ de dimension p et de classe C^k si, pour tout x0 PM, il existe un voisinage ouvert U de x₀ dans Rⁿ et un C^k-difféomorphisme ϕ:U Ñ Rⁿ de U sur son image tels que

ϕpMXUq “ϕpUq X rR^pˆ t0_R^n´pus.

La définition précédente en terme de carte locale signifie que localement, M est C^k- difféomorphe à un sous-espace vectoriel deRⁿde dimensionp. Dans le résultat suivant, nous donnons d’autres caractérisations dont les preuves reposent sur les Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Par la suite, nous identifierons Rⁿ et R^pˆR^n´p de sorte que tout point xPRⁿ s’écrit x“ py, zq PR^pˆR^n´p.

Théorème 1. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) M est une sous-vari´et´e de Rⁿ de dimensionp et de classe C^k;

(ii) Fonction implicite : pour tout x0 P M, il existe un voisinage ouvert U de x0

dansRⁿet une fonctionf :U ÑR^n´p de classeC^ktels quedfpx₀q PLpRⁿ;R^n´pq est surjective et

M XU “ txPU : fpxq “0u;

(iii) Graphe : pour tout x0 “ py0, z0q PM, il existe un voisinage ouvert V de y0

dans R^p, un voisinage ouvert W de z0 dans R^n´p, une fonction g :V Ñ W de classeC^k etAPGL_npRq tels que

MX pV ˆWq “ tApy, gpyqq: yPVu;

(2)

(iv) Nappe paramétrée : pour tout x₀ PM, il existe un voisinage ouvert U de x₀ dans Rⁿ, un voisinage ouvert V de 0_R^p dans R^p et une fonction j : V Ñ Rⁿ de classe C^k telle que jp0q “x₀, djp0q P LpR^p;Rⁿq est injective et j réalise un homéomorphisme deV sur M XU.

Remarque 1. 1) La caractérisation (ii) d’une sous-variété M en terme de fonction implicite signifie que, localement, M est l’ensemble de niveau 0 d’une fonction f : RⁿÑR^n´p. Une fonction f :U ÑR^n´p de classeC^k sur un ouvertU ĂRⁿ contenant x0 et telle que dfpx0q PLpRⁿ;R^n´pq est surjective s’appelle une submersionde classe C^k en x₀

2) La caractérisation (iii) d’une sous-variété M en terme de graphe signifie que localement,M est le graphe d’une fonctiong:R^p ÑR^n´p. La présence de l’application linéaire A est due au fait qu’il peut être nécessaire d’effectuer un changement de base afin de se ramener à une telle fonction. On pourrait se passer d’introduire ce changement de base mais il faudrait alors identifier Rⁿ à EˆF où E et F sont deux sous espaces vectoriels de Rⁿ de dimenson p et n´p respectivement. Dans nos notations, on a en fait queE “ApR^pˆ t0_Rn´puqetF “Apt0_R^pu ˆR^n´pq.

3) La caractérisation (iv) d’une sous-variétéM en terme de nappe paramétrée signifie que, localement,M est l’image d’une fonctionj:R^p ÑRⁿ. Une telle fonctionj:V Ñ Rⁿ de classe C^k sur un ouvert V Ă R^p contenant 0 telle que djp0q P LpR^p;Rⁿq est injective s’appelle une immersion de classeC^k en 0.

Démonstration du Théorème 1.

Carte localeùñ Fonction implicite : Soient x0 P M, U un voisinage ouvert de x0

dansRⁿ etϕ:U ÑRⁿ unC^k-diff´eomorphisme deU sur son image tels que ϕpMXUq “ϕpUq X rR^pˆ t0_R^n´pus.

On d´efinit f :U ÑR^n´p par

fpxq “ pϕ_p`1pxq, . . . , ϕ_npxqq pour toutxPU.

La fonction f est de classe C^k et d’après le théorème de différentiation des fonctions composées, on a pour tout xPU,

dfpxq “ pdϕ_p`1pxqphq, . . . , dϕ_npxqphqq pour touthPRⁿ.

Commeϕest unC^k-diff´eomorphisme local au voisinage dex₀, on en d´eduit quedϕpx₀q P GLnpRq et donc, pour tout v PR^n´p il existe un unique h PRⁿ tel que dϕpx0qphq “ p0_R^p, vq, ce qui montre que

dfpx₀qphq “v

et donc que dfpx0q P LpRⁿ;R^n´pq est surjective. On a donc montr´e que f est une submersion de classeC^k en x0. Enfin,

xPMXU ðñ ϕpxq PϕpUq X rR^pˆ t0_R^n´pus ðñ xPU etfpxq “0.

(3)

Fonction implicite ùñ Graphe : Soient x₀ P M, U un voisinage ouvert de x₀ dans Rⁿ et f : U Ñ R^n´p une fonction de classe C^k telle que dfpx0q P LpRⁿ;R^n´pq est surjective et

M XU “ txPU : fpxq “0u.

Comme dfpx₀q P LpRⁿ;R^n´pq est surjective on a rgpdfpx₀qq “ n´p et le Théorème du rang montre que E “Kerpdfpx₀qqest un sous-espace vectoriel de Rⁿ de dimension p. Soit F “ E^K le supplémentaire orthogonal à E dans Rⁿ (qui est un sous espace vectoriel de dimension n´p) de sorte queRⁿ“E‘F.

Dans la suite, nous identifieronsRⁿ `a EˆF via l’hom´eomorphisme Rⁿ“E‘F Ñ EˆF,

x“y`z ÞÑ py, zq.

Par abus de notation, nous écrirons tout xPRⁿ sous la formex “ py, zq PEˆF. En particulier, on ax0“ py0, z0q PEˆF. Quitte à réduireU, nous pouvons supposer que U “V ˆW où V est un voisinage ouvert de y₀ dans E etW est un voisinage ouvert de z₀ dansF. Considérons l’application partielle

fpy₀,¨ q:W ÑR^n´p

qui est de classe C^k. Sa différentielle en z0 est donnée par dzfpy0, z0q “ dfpx0q|F P LpF;R^n´pq. SivPFest tel qued_zfpy₀, z₀qpvq “dfpx₀qpvq “0, alorsvPKerpdfpx₀qq “ E ce qui montre que v “0. Par conséquent,d_zfpy₀, z₀q est injective et donc bijective puisque dimpFq “ dimpR^n´pq “ n´p. On en déduit que dzfpy0, z0q P GLn´ppRq de sorte que nous pouvons appliquer le Théorème des fonctions implicites. Il existe donc un ouvert V¹ Ă V contenant y₀, un ouvert W¹ Ă W contenant z₀ et une fonction g:V¹ ÑW¹ de classe C^k tels que

#

py, zq PV¹ˆW¹,

fpy, zq “0 ðñ

# yPV¹, z“gpyq.

Par cons´equent,

MX pV¹ˆW¹q “ tpy, gpyqq: yPV¹u.

Grapheùñ Carte locale : Soient x₀ “ py₀, z₀q P M, V un voisinage ouvert de y₀ dans R^p, W un voisinage ouvert de z₀ dans R^n´p, g :V Ñ W une fonction de classe C^k etAPGLnpRq tels que

MX pV ˆWq “ tApy, gpyqq: yPVu.

Quitte `a faire un changement de base, on peut supposer queA“Id. Soitϕ:V ˆW Ñ Rⁿ la fonction d´efinie par

ϕpxq “ϕpy, zq “ py, z´gpyqq pour toutx“ py, zq PV ˆW.

(4)

La fonctionϕest de classeC^k surV ˆW. De plusϕest clairement bijective deV ˆW sur son image ϕpV ˆWq d’inverse donn´e par

ϕ^´1py¹, z¹q “ py¹, z¹`gpy¹qq pour toutpy¹, z¹q PϕpV ˆWq.

Par ailleurs, pour tout x“ py, zq PV ˆW et tout h“ ph1, h2q P R^pˆR^n´p, on a dϕpxqphq “ ph1, h2´dgpzqph1qq,

de sorte que dϕpxq PGLnpRq avec rdϕpxqs^´1pkq “ pk1, k2 `dgpzqpk1qq pour tout k “ pk₁, k₂q P R^p ˆR^n´p. Le Théorème d’inversion globale montre que ϕ réalise un C^k- difféomorphisme deV ˆW sur son image (qui est ouverte).

Enfin, comme

x“ py, zq PM X pV ˆWq ðñ py, zq PV ˆW etz“gpyq, on en d´eduit que

ϕpxq PϕpM X pV ˆWqq ðñ ϕpxq PϕpV ˆWq etϕ_p`1pxq “ ¨ ¨ ¨ “ϕ_npxq “0, ce qui montre que

ϕpMX pV ˆWqq “ϕpV ˆWq X rR^pˆ t0_R^n´pus.

Grapheùñ Nappe param´etr´ee : On suppose de nouveau queA “Id. On pose U “ V ˆW qui est un ouvert de Rⁿ et

V¹ “ tyPR^p: py0`y, gpy0`yqq PUu

qui est un ouvert deR^p(comme image r´eciproque de l’ouvertU par la fonction continue y ÞÑ py0 `y, gpy0`yqq) qui contient 0_R^p puisque py0, gpy0qq “ py0, z0q “ x0 P U. On d´efinit

j:V¹ Ñ Rⁿ

y ÞÑ py₀`y, gpy₀`yqq

qui est une fonction de classe C^k sur V¹. De plus jp0q “ py₀, gpy₀qq “ py₀, z₀q “ x₀ et djp0qphq “ ph, dgpy₀qphqq pour tout h PR^p. Par cons´equent, djp0qphq “ 0 implique que h “ 0, ce qui montre que djp0q P LpR^p;Rⁿq est injective et donc que j est une immersion de classe C^k en 0.

Montrons quej:V¹ÑMXU est bijective. Tout d’abord, siy1ety2 PV¹ sont tels que jpy1q “jpy2q, on en d´eduit quepy0`y1, gpy0`y1qq “ py0`y2, gpy0`y2qqce qui montre quey₁ “y₂et donc quejest injective surV¹. Par ailleurs, pour toutx“ py, zq PMXU, on az“gpyq, donc en posant ¯y:“y´y0, on ajpyq “ py¯ 0`¯y, gpy0`yqq “ py, zq “¯ xPU ce qui implique que ¯y PV¹ et jp¯yq “ x. Ceci implique que j est surjective de V¹ sur

(5)

MXU et donc quejréalise une bijection deV¹surMXU. Remarquons que l’application réciproque j^´1:M XU ÑV est donnée par

j^´1pxq “ ppx´x₀q1, . . . ,px´x₀qpq pour toutxPMXU (1) qui définit bien une fonction continue sur M XU. Nous avons finalement montré que j:V¹ÑMXU est un homéomorphisme.

Nappe paramétréeùñ Graphe : Soit x₀ P M, U un voisignage ouvert de x₀ dans Rⁿ,V un voisinage ouvert de 0_R^p dansR^p etj :V ÑRⁿune fonction de classeC^k telle que jp0q “ x0, djp0q PLpR^p,Rⁿq est injective et j réalise un homéomorphisme de V surU XM.

Commedjp0q PLpR^p;Rⁿq est injective,E:“Impdjp0qqest un sous espace vectoriel deRⁿ de dimensionp. SoitF “E^K le supplémentaire orthogonal àE dansRⁿ(qui est un sous espace vectoriel de dimension n´p) de sorte que Rⁿ “ E‘F. De nouveau, nous identifions Rⁿ à EˆF et nous écrirons x“ py, zq PEˆF. En particulier, on a x0 “ py0, z0q PEˆF. On notePE :Rⁿ ÑE (resp.PF :Rⁿ ÑF) la projection sur E (resp. F) et on définit la fonction

J :V Ñ E

y ÞÑ P_Epjpyqq.

La fonction J est de classe C^k sur V et on a dJp0qphq “ PE ˝djp0qphq pour tout h P R^p. De plus si dJp0qphq “ 0 on en déduit que djp0qphq P KerpP_Eq “ E^K “ Impdjp0qq^K ce qui implique quedjp0qphq “0, soith“0 puisquedjp0q est injective. On en déduit quedJp0q PLpR^p;Eqest injective puis, comme dimpEq “dimpR^pq “p, que dJp0q P GLppRq. D’après le Théorème d’inversion locale, il existe un voisinage ouvert V₀ Ă V de 0 dans R^p et un voisinage ouvert V_y₀ de y₀ dans E tels que J réalise un C^k-difféomorphisme deV0 surVy0.

Soit ˜U “jpV₀qqui est un ouvert deRⁿpuisqueV₀ est ouvert dansR^p etj^´1:RⁿÑ R^p est continue d’apr`es (1). Alors

x“ py, zq PM XU˜ ðñ il existe y¹PV0 tel quex“jpy¹q

ðñ il existe y¹PV₀ tel quey“Jpy¹q etz“P_Fpjpy¹qq ðñ yPV_y₀, y¹ “J^´1pyq etz“P_Fpjpy¹qq

ðñ yPV_y₀ etz“P_FpjpJ^´1pyqqq.

Soit g :V_y₀ ÑF la fonction d´efinie par gpyq “ P_F ˝j˝J^´1pyq pour tout y PV_y₀ qui est une fonction de classeC^k. On a bien montr´e queMXU˜ “ tpy, gpyq: yPVy0u.

Exemple 1. 1) Soit V ĂR^p un ouvert. Alors M “V ˆ t0_R^n´pu est une sous-vari´et´e de Rⁿ de dimension p et de classe C⁸. Il suffit de choisir pour tout x0 P M l’ouvert U “V ˆB_R^n´pp0, rq (avecr ą0 arbitraire) etϕ“id.

(6)

2) La sphèreS^n´1 “ tpx₁, . . . , x_nq PRⁿ : x²₁` ¨ ¨ ¨ `x²_n “1u est une sous-variété de Rⁿ de dimensionn´1 et de classeC⁸. En effet, l’application

f :Rⁿ Ñ R x ÞÑ

n

ÿ

j“1

x²_j´1 est de classeC⁸ et, pour tout xPRⁿ,

dfpxqphq “2x¨h pour touthPRⁿ,

ce qui montre que dfpxq est surjective pour toutx P S^n´1. De plus S^n´1 “ tx PRⁿ : fpxq “0u.

2 Espace tangent

La notion d’espace tangent pour les sous-variétés généralise celle de droite tangente pour les courbes.

Définition 2. Soit M une sous-variété de Rⁿ de dimension p et de classe C¹. Pour tout x₀ PM, l’espace tangent à M en x₀, noté T_x₀M, est défini par

Tx0M :“

!

vPRⁿ: il existe un intervalle ouvert I contenant 0 et

γ PC¹pI;Rⁿq tels que γpIq ĂM, γp0q “x₀, γ¹p0q “v )

.

Le plan tangent `a M en x0 est d´efini parx0`Tx0M.

Nous allons voir queT_x₀M est un sous-espace vectoriel deRⁿet donc quex₀`T_x₀M est un sous espace affine deRⁿ de dimensionp.

Théorème 2. SoitM une sous-variété deRⁿde dimensionpet de classeC¹. Pour tout x0 PM, l’espace tangent à M en x0 est un sous espace vectoriel de Rⁿ de dimension p. De plus, on a les caractérisations suivantes :

(i) Carte locale : T_x₀M “dϕpx₀q^´1pR^pˆ t0_R^n´puq; (ii) Nappe param´etr´ee : Tx0M “Impdjp0qq.

(iii) Graphe : Tx0M “ tAph, dgpx0qphqq: hPR^pu; (iv) Fonction implicite : T_x₀M “Kerpdfpx₀qq; D´emonstration. Fixons un point x0 PU.

(i) Carte locale : Soit U un voisinage ouvert de x₀ dans Rⁿ et ϕ : U Ñ Rⁿ un C¹-diff´eomorphisme deU sur son image tels que

ϕpMXUq “ϕpUq X rR^pˆ t0_R^n´pus.

(7)

Montrons tout d’abord que T_x₀M Ădϕpx₀q^´1pR^pˆ t0_Rn´puq. Soit v P T_x₀M, alors il existe un intervalle ouvert I Ă R et une application γ : I Ñ M de classe C¹ telle que γp0q “ x₀ et γ¹p0q “ v. Quitte à restreindre l’intervalle I, on peut supposer que γpIq Ă U. On peut alors définir ˜γptq “ϕpγptqq pour tout tP I de sorte que ˜γ est de classeC¹ surI. Commeγptq PMXU pour touttPI, alors ˜γptq PϕpUq X rR^pˆ t0_R^n´pus et donc ˜γ¹p0q “ dϕpγp0qqpγ¹p0qq “ dϕpx₀qpvq P R^p ˆ t0_R^n´pu. On en déduit que v P dϕpx₀q^´1pR^pˆ t0_Rn´puq.

Pour montrer l’autre inclusion, fixons un ´el´ementwPR^pˆ t0_R^n´pu. CommeϕpUqest ouvert contenantϕpx₀q, il existeεą0 tel queϕpx₀q `twPϕpUqpour touttP s ´ε, εr.

On d´efinit alors

γ :s ´ε, εr Ñ Rⁿ

t ÞÑ ϕ^´1pϕpx₀q `twq

qui est une fonction de classe C¹. Comme ϕpx₀q `tw P ϕpUq X rR^p ˆ t0_R^n´pus pour touttP s ´ε, εretϕpMXUq “ϕpUq X rR^pˆ t0_R^n´pus, on en déduit que γptq PMXU pour tout t P s ´ε, εr. De plus γp0q “ x0. Par définition de l’espace tangent, on doit avoir queγ¹p0q “dpϕ^´1qpϕpx₀qqpwq “dϕpx₀q^´1pwq PT_x₀M. On a donc bien établi que dϕpx0q^´1pR^pˆ t0_R^n´puq ĂTx0M.

Comme Tx0M “ dϕpx0q^´1pR^p ˆ t0_R^n´puq et dϕpx0q P GLnpRq, on en d´eduit que T_x₀M est un sous-espace vectoriel deRⁿ de dimensionp.

(ii) Nappe paramétrée : Soit U un voisinage ouvert de x0 dans Rⁿ, V un voisinage ouvert de 0_R^p dans R^p et j :V Ñ Rⁿ une fonction de classe C¹ telle que jp0q “ x₀, djp0q PLpR^p;Rⁿq est injective et j réalise un homéomorphisme deV sur MXU.

SoitwPR^p, commeV est un ouvert deR^p contenant 0, il existeεą0 tel quetwPV pour touttP s ´ε, εr. On d´efinit alors

γ :s ´ε, εr Ñ Rⁿ t ÞÑ jptwq.

Comme jpVq “ M XU, on en déduit que γptq P M pour tout t P s ´ε, εr. De plus, la fonction γ est de classe C¹ et satisfait γp0q “ jp0q “ x₀. Par définition de l’espace tangent, on a γ¹p0q “djp0qpwq PTx0M, ce qui montre que Impdjp0qq ĂTx0M. Comme djp0q PLpR^p;Rⁿq est injective, Impdjp0qqest un sous-espace vectoriel deRⁿde dimension p. CommeT_x₀M est un sous-espace vectoriel de Rⁿ de dimensionp, on en déduit queTx0M “Impdjp0qq.

(iii) Graphe : Soit V un voisinage ouvert de y₀ dans R^p, W un voisinage ouvert de z0 dansR^n´p,g:V ÑW une fonction de classeC¹ etAPGLnpRq tels que

MX pV ˆWq “ tApy, gpyqq: yPVu.

(8)

Supposons pour simplifier que A “ Id. Comme les fonctionsj et g sont reli´ees par la relation

jpyq “ py0`y, gpy0`yqq pour toutyPV, on en d´eduit que

T_x₀M “Impdjp0qq “ tdjp0qphq: hPR^pu “ tph, dgpx₀qphqq: hPR^pu.

(iv) Fonction implicite : Soit U un voisinage ouvert de x₀ dans Rⁿ et f :U ÑR^n´p une fonction de classe C¹ tels quedfpx0q PLpRⁿ;R^n´pqest surjective et

M XU “ txPU : fpxq “0u.

SoitvPTx0M, il existe un intervalle ouvertI ĂRet une fonctionγ :I ÑM de classe C¹telle queγp0q “x0etγ¹p0q “v. Quitte à restreindre l’intervalleI, on peut supposer que γptq P U pour tout t P I. Par conséquent, fpγptqq “ 0 pour tout t P I, puis en dérivant, il vient

dfpγptqqpγ¹ptqq “0 pour tout tPI.

En particulier, pour t “ 0, on a dfpx0qpvq “ 0 ce qui montre que v P Kerpdfpx0qq et donc que Tx0M Ă Kerpdfpx0qq. Par ailleurs, la surjectivit´e de dfpx0q P LpRⁿ;R^n´pq montre que Kerpdfpx₀qqest un sous espace vectoriel deRⁿde dimensionp, tout comme Tx0M. Par cons´equent,Tx0M “Kerpdfpx0qq.

3 Extrema li´ es

SoitU est un ouvert de Rⁿ etf une fonction de classeC¹ surU. Nous avons déjà vu dans le cours de calcul différentiel que sif admet un extremum local en x₀ PU, alors x₀ est un point critique def, ce qui signifie

dfpx0q “0. (2)

Il s’agit d’un résultat propre à un ouvert de Rⁿ car dans ce cas, on a le droit de faire toutes les variations infinitésimales autours de x₀ pour montrer que la différentielle s’annule en ce point.

Nous allons nous intéresser maintenant au cas d’une fonctionf de classeC¹ dans un voisinage ouvert d’une sous-variété M. Dans ce cas, nous allons montrer si f admet un extremum local sur M enx0, alorsf satisfait une condition d’optimalité d’ordre 1, similaire à (2). Le fait de travailler sur un espace ambiant qui n’est pas “plat” impose de faire des variations infinitésimales autours dex0 dans le plan tangent àM en x0, ce qui se manifeste par l’apparition de mulitiplicateurs de Lagrange.

(9)

Théorème 3. Soient M une sous-variété de Rⁿ de classe C¹ et f une fonction de classe C¹ sur un voisinage ouvert de M. On suppose que f admet admet un extremum local sur M enx₀, i.e. il existe un ouvert U contenant x₀ tel que

fpx₀q ďfpyq pour tout yPMXU

ou

fpx0q ěfpyq pour tout yPMXU.

Alors T_x₀M ĂKerpdfpx₀qq.

Démonstration. Soit v P T_x₀M, il existe donc un intervalle ouvert I Ă R et une fonction γ :I Ñ M de classeC¹ tels queγp0q “x0 etγ¹p0q “v. Quitte à restreindre l’intervalle I, on peut supposer que γptq P U pour tout t P I. On en déduit que la fonctiontPI ÞÑfpγptqqadmet un extremum local sur l’intervalle ouvertI ent“0, ce qui implique que

d

dtpf˝γqp0q “0

ou encore dfpx₀qpvq “0. On en d´eduit quevPKerpdfpx₀qq.

Remarque 2. SiV ĂRⁿ est un ouvert, on montre en utilisant la définition par carte locale que V est une sous-variété de dimension n et de classe C⁸ dansRⁿ (il suffit de prendreU “V et ϕ“id_Rⁿ). De plus le plan tangent Tx0V “Rⁿ pour tout x0 PV (il suffit de considérer la courbeγptq “x₀`tv pour touttP s ´ε, εravec εą0 assez petit etvPRⁿarbitraire). Dans ce cas, si x0 PV est un point d’extremum local de f surV, on a Kerpdfpx0qq “Rⁿ et doncdfpx0q “0.

Le résultat général précédent se précise quand on écrit la sous-variété sous la forme d’une fonction implicite.

Théorème 4 (des extrema liés). Soient U ĂRⁿ un ouvert et f, g₁, . . . , g_q :U ÑR des fonctions de classe C¹ (qďn). On pose

Σ :“ txPU : g1pxq “ ¨ ¨ ¨ “gqpxq “0u.

Soit x0 PΣ un extremum local de f sur Σtel que la famille tdg1px0q, . . . , dgqpx0qu est libre. Alors il existe des r´eels λ₁, . . . , λ_q P R (appel´e multiplicateurs de Lagrange) tels que

dfpx0q “

q

ÿ

i“1

λidgipx0q.

D´emonstration. Soit G:U ÑR^q le champ de vecteur d´efini par Gpxq “ pg1pxq, . . . , gqpxqq pour toutxPU.

(10)

Comme les vecteurs dg₁px₀q, . . . , dg_qpx₀q sont linéairement indépendants, la matrice jacobienne JGpx0q admet un sous-déterminant d’ordre q non nul. Par continuité du déterminant, il existe un voisinage ouvert U_x₀ de x₀ tel que cette propriété subsiste pour tout x P U_x₀. Autrement dit, les vecteurs dg₁pxq, . . . , dg_qpxq sont linéairement indépendants, ce qui montre que l’application linéairedGpxq PLpRⁿ;R^qqest surjective pour toutxPU_x₀. D’après la caractérisation d’une sous-variété par fonction implicite, ceci implique queM :“ΣXU_x₀ est une sous-variété de dimensionp:“n´q de Rⁿde classe C¹.

D’après le Théorème 3, on en déduit que T_x₀M Ă Kerpdfpx₀qq. La sous-variété M

´

etant défini par fonction implicite, le Théorème 2 montre queT_x₀M “KerpdGpx₀qq “ Ş_q

i“1Kerpdgipx0qq. La conclusion provient du résultat suivant d’algèbre linéaire.

Lemme 1 (des noyaux). Soient tL₁, . . . , L_qu une famille libre dans LpRⁿ;Rq et LPLpRⁿ;Rq. Alors

q

č

i“1

KerpLiq ĂKerpLq si et seulement s’il existe λ1, . . . , λq PR tels que

L“

q

ÿ

i“1

λiLi. (3)

D´emonstration. Il est clair que si L est de la forme (3), alors on a Şq

i“1KerpL_iq Ă KerpLq. R´eciproquement, montrons par r´ecurrence qu’il existe des vecteurse1, . . . , eqP Rⁿ tels quexLi, ejy “δij pour touti,jP t1, . . . , qu.

(i) Si q “ 1, l’hypothèse signifie que KerL₁ Ă KerL. Dans le cas L₁ “ 0, alors KerL1 “ KerL “ Rⁿ et donc L “ 0. Sinon, il existe un e P RⁿzKerL1 tel que L1peq “ 1. Par conséquent, x ´L1pxqe P KerL1 et donc, par hypothèse, x´L₁pxqePKerL soitLpxq “LpeqL₁pxq et le résultat suit.

(ii) Supposons le r´esultat vrai au rangq´1 pour un certain entierq ě1. Comme la familletL1, . . . , Lqu est libre, alorsLi ‰0 pour toutiP t1, . . . , qu. Montrons que pour iP t1, . . . , qu, on a Ş

j‰iKerL_j ĆKerL_i. En effet, dans le cas contraire, il existerait uni0P t1, . . . , qu tel queŞ

j‰i0KerLj ĂKerLi0 et, d’après l’hypothèse de récurrence, des réels tλjuj‰i0 tels que Li0 “ ř

j‰i0λjLj ce qui impliquerait que la familletL₁, . . . , L_quest liée et donc on aboutirait à une contradiction. Par conséquent, pour toutiP t1, . . . , quil existe une_i PKerL_j pour toutj‰itel que ei RKerLi. Après renormalisation, on peut supposer queLipeiq “1 etLjpeiq “0 pour toutj‰i.

SixPRⁿ, alorsx´ř_p

j“1L_jpxqe_j PŞ_q

i“1KerL_iet donc par hypoth`esex´ř_p

j“1L_jpxqe_j P KerL, soitLpxq “ř_q

j“1LjpxqLpejq, ce qui ´etablit le r´esultat en posantλj “Lpejq.