Fiche 4

ECE2 Fiche 4 : pr´ eparation aux parisiennes

Exercice [ESCP 2003]

Soita, bdeux entiers naturels non nuls et sleur somme.

Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher.

On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant :

— si la boule tir´ee est blanche, elle est remise dans l’urne ;

— si la boule tir´ee est noire, elle est remplac´ee dans l’urne par une boule blanche prise dans une r´eserve annexe.

Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules.

On d´esigne par (Ω,B,P) un espace probabilis´e qui mod´elise cette exp´erience et, pour tout entier naturel n non nul, on note :

— Bn l’´ev´enement ”la n-i`eme boule tir´ee est blanche ” ;

— Xn la variable al´eatoire d´esignant le nombre de boules blanches tir´ees au cours desnpremiers tirages ;

— un l’esp´erance de la variable al´eatoireXn, c’est-`a-dire un =E(Xn).

1. Etude d’un ensemble de suites´

SoitAl’ensemble des suites (xn)n>1 de r´eels qui v´erifient :

∀n∈N^∗, s xn+1= (s−1)xn+b+n

(a) Soitαetβ deux r´eels et (vn)n>1 la suite d´efinie par : ∀n∈N^∗, vn=α n+β .

D´eterminer en fonction debet de sles valeurs deαetβ pour que la suite (vn)n>1 appartienne `aA.

(b) Soit (xn)n>1 une suite appartenant `a A, (vn)n>1 la suite d´etermin´ee `a la question pr´ec´edente et (yn)n>1 la suite d´efinie par : ∀n∈N^∗, yn=xn−vn.

Montrer que la suite (yn)n>1 est une suite g´eom´etrique et expliciter, pour tout entier naturel n non nul,yn

puisxn en fonction dex1, b, setn.

2. Expression de la probabilit´e P(Bn+1)`a l’aide de un

(a) Donner, en fonction deb et des, les valeurs respectives de la probabilit´eP(B1) et du nombre u1. (b) Calculer la probabilit´eP(B2) et v´erifier l’´egalit´e : P(B2) = b+ 1−u1

s .

(c) Soitnun entier naturel v´erifiant 16n6a. Montrer que, pour tout entierkde l’intervalle [0, n], la probabilit´e conditionnelle P_[Xn=k](Bn+1) est ´egale `a b+n−k

s En d´eduire l’´egalit´e : P(Bn+1) = b+n−un

s (d) Soitnun entier naturel v´erifiantn > a.

Si kest un entier de l’intervalle [0, n−a−1], quel est l’´ev´enement [Xn =k] ?

Si kest un entier de l’intervalle [n−a, n], justifier l’´egalit´e :P_[Xn=k](Bn+1) = b+n−k s Montrer enfin que l’´egalit´e P(Bn+1) =b+n−un

s est encore v´erifi´ee.

3. Calcul des nombres un et P(Bn)

(a) Soitnun entier naturel non nul. ´Etablir, pour tout entierk de l’intervalle [n+ 1−a, n] l’´egalit´e : P(Xn+1=k) = a−n+k

s P(Xn =k) +b+n−k+ 1

s P(Xn=k−1) V´erifier cette ´egalit´e pourk=n+ 1, k=n−aet pour tout entierk de l’intervalle [1, n−a−1].

(b) Calculer, pour tout entier naturelnnon nul,un+1 en fonction deun et den. En d´eduire que la suite (un)n>1

appartient `a l’ensemble A´etudi´e dans la question 1

(c) Donner, pour tout entier naturelnnon nul, les valeurs deun et deP(Bn+1) en fonction de b, s etn.

(d) Quelles sont les limites des suites (un)n>1 et (P(Bn))n>1?