Université de Cergy-Pontoise 2012-2013 L3 : Analyse complexe
Examen d'analyse complexe (Session1) : lundi 22 avril 2013
Durée : 3 heures.
Exercice 1 [Cours] : Enoncer et démontrer le théorème de Weierstrass.
Exercice 2 : 1) Calculer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
∞
X
n=0
zn (n+ 1)n,
∞
X
n=0
zn (n+ 1)3. 2) On considère la fonction
ϕ(z) = 1 1−z−z2. a) Montrer queϕest holomorphe dans un voisinage de0.
b) Décomposer ϕ en éléments simples, puis déterminer son développement en série entière en0
ϕ(z) =
∞
X
n=0
anzn.
c) Calculer le rayon de convergence du développement en série entière précédent.
d) En utilisant l'identité(1−z−z2)ϕ(z) = 1, démontrer que∀n≥2, an=an−1+an−2. e) On note CR = C(0, R) le cercle de centre 0 et de rayon R > 0. Calculer (selon les valeurs deR) l'intégrale
Z
CR
ϕ(z)dz.
Exercice 3 : 1) Soitf une fonction holomorphe surD(0,1)le disque ouvert de centre 0et de rayon 1et continue surD(0,1). Enoncer le principe du maximum pourf. 2) Soit P un polynôme de degré n ∈ N et soit M = max
z∈D(0,1)
(|P(z)|). Montrer que si
|z| ≥1, alors |P(z)| ≤M|z|n.
Indication : On pourra considérer la fonction f(z) =znP(1z) et utiliser 1).
1
Exercice 4 : Soitξ∈R. Le but de cet exercice est de montrer que Z +∞
−∞
e−2iπxξ
cosh(πx)dx= 1 cosh(πξ).
C'est-à-dire que la fonction cosh(πx)1 est égale à sa propre transformée de Fourier.
1) [Résultat préliminaire] Soientg, hdeux fonctions holomorphes sur un ouvertU deC.
On suppose queh a un zéro d'ordre1 en z0 ∈U et queg(z0)6= 0. a) Montrer quef = hg a un pôle simple enz0.
b) Montrer que
Res(f, z0) = g(z0) h0(z0).
2) On considère la fonctioncosh(πz) = eπz+e2−πz. Quel est son domaine d'holomorphie ? Déterminer l'ensemble des zéros decosh(πz)et calculer leur ordre.
3) Soitξ∈Rxé. On considère la fonction
f(z) = e−2iπzξ cosh(πz).
On noteγRle rectangle fermé constitué des segments[−R, R],[R, R+2i],[R+2i,−R+2i]
et[−R+ 2i,−R]et orienté dans le sens positif.
a) Montrer que pour toutR >0, Z
γR
f(z)dz =−2e2πξ
eπξ−e−πξ
.
b) Montrer que
R→∞lim Z
[R,R+2i]
f(z)dz= 0, lim
R→∞
Z
[−R+2i,−R]
f(z)dz= 0.
c) On note
I = Z +∞
−∞
f(x)dx, l'intégrale que l'on souhaite calculer. Montrer que
R→∞lim Z
[R+2i,−R+2i]
=−e4πξI.
d) Utiliser a), b) et c) pour montrer le résultat.
Exercice 5 : 1) Enoncer le principe des zéros isolés.
2) Existe-t-il une fonctionf holomorphe dans le disque unitéD(0,1)telle que pour tout entiern >0, on ait
f(1
n) =f(−1 n) = 1
n2.
Indication : On pourra introduire la fonctiong(z) =f(z)−z2 et utiliser 1).
2
