Ecole Polytechnique. Promotion 2011. ´ Analyse Num´ erique et Optimisation (MAP 431) Contrˆ ole hors classement du Lundi 22 Avril 2013
Sujet propos´ e par Benoˆıt Merlet.
Important : N’oubliez pas d’indiquer votre num´ero de PC sur votre copie.
Exercice 1 (Diff´erences finies, 8 points)
On mod´elise l’´ecoulement des vagues en dimension 1 par l’´equation avec conditions p´eriodiques
∂ u
∂t − ∂
∂t
∂2u
∂x2 +∂ u
∂x = 0 pour x∈R, t >0, u(x+ 1, t) = u(x, t) pour x∈R, t >0,
u(x,0) = u0(x) pour x∈R.
(1)
La donn´ee initiale u0 est une fonction r´eguli`ere et 1-p´eriodique.
SoientN ≥1 et ∆t >0. On pose ∆x= 1/N et pour j∈Zetn∈Non d´efinit le point de discr´etisation
(xj, tn) = (j∆x , n∆t).
Pour construire une approximation unj de la solution exacte de (1) au point (xj, tn), nous proposons le sch´ema centr´e en espace suivant.
un+1j −unj
∆t + 1
∆t
"
−un+1j+1 + 2un+1j −un+1j−1
(∆x)2 − −unj+1+ 2unj −unj−1 (∆x)2
#
+ un+1j+1 −un+1j−1
2∆x = 0.
La condition initiale est donn´ee par u0j =u0(xj) et les conditions aux limites p´eriodiques se traduisent parunj+N =unj quel que soitj∈Z.
Question 1 En supposant que c = ∆x/∆t est fix´e, montrer que le sch´ema est consistant d’ordre 1 avec le probl`eme (1).
Question 2 Etudier la stabilit´e´ L2 du sch´ema (on calculera le facteur d’amplification A(k)).
Question 3 En d´eduire un r´esultat de convergence.
On d´efinit les ´energies continueE(t) = Z 1
0
u2(x, t)dx et discr`eteEn = 1 N
N−1
X
j=0
|unj|2. Nous admettons que pour la solution exacte, E(t) est conserv´ee. Ne pas le d´emontrer ! Question 4 La suite (En)n est-elle constante, croissante, d´ecroissante ? Qu’en concluez vous sur la nature du sch´ema ?
1
Exercice 2 (Formulation variationnelle, 12 points)
Consid´erons un domaine ouvert Ω deRN connexe et born´e dont le bord est r´egulier. ´Etant donn´ee f ∈L2(Ω), nous notonsu∈H2(Ω) la solution du probl`eme aux limites.
−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω. (2)
Consid´erons maintenant un sous ensemble ouvert Ωa ⊂ Ω dont le bord Γ est r´egulier. On suppose Ωa ⊂ Ω et on pose Ωb = Ω\ Ωa. On note na la normale ext´erieure sur ∂Ωa et nb =−na la normale ext´erieure sur∂Ωb (voir figure).
nb
na Ωa
Ωb
Γ
∂Ω
Introduisons l’espaceH=
w∈H1(Ωb) : w= 0 sur ∂Ω et les deux formulations varia- tionnelles :
a) ´Etant donn´ee ga∈L2(Γ), trouver va∈H1(Ωa) telle que Z
Ωa
∇va· ∇w + Z
Γ
(va−ga)w − Z
Ωa
f w = 0 ∀w∈H1(Ωa).
b) ´Etant donn´ee gb∈L2(Γ), trouvervb ∈H telle que Z
Ωb
∇vb· ∇w + Z
Γ
(vb−gb)w − Z
Ωb
f w = 0 ∀w∈H .
Question 5 Montrer que la formulation variationnelle (a) admet une unique solution.
Question 6 Montrer que siva∈H2(Ωa) est solution de (a) alorsvaest solution d’un probl`eme aux limites `a pr´eciser.
Quel est le probl`eme aux limites correspondant `a la formulation variationnelle (b) ? On se donneva0∈H1(Ωa) etvb0 ∈H et on d´efinit de mani`ere it´erative pour k≥0,
vk+1a ∈H1(Ωa) est solution de (a) avec ga:=−∂ vkb
∂nb +vkb. (3) vk+1b ∈H est solution de (b) avec gb :=−∂ vka
∂na +vka. (4) Dans la suite nous admettons que les solutions des formulations variationnelles rencontr´ees sont de r´egularit´e H2. Notons u la solution du probl`eme (2). Nous souhaitons montrer que (vka)k converge versu|Ωa dans H1(Ωa) et que (vbk)k converge versu|Ωb dansH1(Ωb). Pour cela on d´efinit les erreurs
eka = vka−u|Ωa ∈H1(Ωa), ekb = vbk−u|Ωb ∈H, pour k≥0.
2
Question 7 Montrer que les suitesvak=u|Ωa,vkb =u|Ωb v´erifient (3) et (4).
En d´eduire, dans le cas g´en´eral, la formulation variationnelle satisfaite parek+1a en fonction de hka:=−∂ ekb
∂nb
+ekb et celle satisfaite par ek+1b en fonction de
hkb :=−∂ eka
∂na +eka. Donner les probl`emes aux limites correspondants.
Question 8 Montrer que pour k≥0 et w∈H1(Ωa), on a Z
Ωa
∇ek+1a · ∇w− Z
Γ
∂ek+1a
∂na
w = 0.
En d´eduire que pourk≥0, on a l’identit´e Z
Ωa
|∇ek+1a |2+1 4
Z
Γ
|hk+1b |2 = 1 4
Z
Γ
|hka|2. Indication : on pourra utiliser αβ= 14(α+β)2−14(α−β)2.
Question 9 Ecrire l’identit´e correspondante pourek+1b . En d´eduire qu’on a X
k≥1
Z
Ωa
|∇eka|2+ Z
Ωb
|∇ekb|2
≤ C.
Que pouvez vous en conclure ?
3
