UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE -Paris 6 Notes de cours de LM250 “Suites, s´eries et int´egrales” Dominique Le Brigand

UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE -Paris 6 Notes de cours de LM250

“Suites, s´ eries et int´ egrales”

Dominique Le Brigand

Premier semestre 2006-2007

Table des mati` eres

1 Rappels - Compl´ements 3

1.1 Rappels . . . 3

1.1.1 Suites . . . 3

1.1.2 Fonctions de variables r´eelles . . . 5

2 S´eries num´eriques 7 2.1 Premi`eres propri´et´es . . . 7

2.1.1 D´efinitions . . . 7

2.1.2 Premier exemple : la s´erie harmonique . . . 8

2.1.3 Condition n´ecessaire de convergence . . . 9

2.1.4 Exemple fondamental : la s´erie g´eom´etrique . . . 9

2.1.5 Autres exemples de s´eries . . . 11

2.1.6 Op´erations sur les s´eries . . . 12

2.2 S´eries `a termes positifs . . . 13

2.2.1 D´efinition . . . 13

2.2.2 Condition n´ecessaire et suffisante de convergence . . . 13

2.2.3 Crit`eres de convergence pour les s´eries `a termes positifs . . . 13

2.2.4 Crit`ere de Cauchy pour les s´eries `a termes positifs . . . 15

2.2.5 Crit`ere de d’Alembert pour les s´eries `a termes positifs . . . 16

2.2.6 Crit`ere int´egral pour les s´eries `a termes positifs . . . 18

2.2.7 Applications : s´erie de Riemann et s´erie de Bertrand . . . 18

2.3 S´eries num´eriques `a termes r´eels quelconques ou complexes . . . 20

2.3.1 Convergence absolue . . . 20

2.3.2 S´eries altern´ees . . . 21

2.3.3 Th´eor`eme d’Abel . . . 23

2.4 Produit de 2 s´eries . . . 24

3 Int´egration - Int´egrale g´en´eralis´ee 26 3.1 Rappels sur l’int´egrale d´efinie . . . 26

3.1.1 D´efinitions . . . 26

3.1.2 Propri´et´es de l’int´egrale d´efinie . . . 27

3.2 Fonction rationnelle de variable r´eelle . . . 30

3.2.1 D´ecomposition en ´el´ements simples . . . 30

3.2.2 Primitive de fonction rationnelle . . . 33

3.3 Int´egrale g´en´eralis´ee (ou impropre) . . . 35

3.3.1 Nature d’une int´egrale g´en´eralis´ee . . . 35

3.3.2 Exemple fondamental : int´egrales de Riemann . . . 37

3.3.3 Crit`eres de convergence - cas des fonctions positives . . . 38

3.3.4 Crit`eres de convergence - cas g´en´eral . . . 39

4 S´eries enti`eres 43 4.1 S´eries de fonctions . . . 43

4.1.1 Convergence simple et absolue . . . 43

4.1.2 Convergence normale . . . 44

4.2 Un exemple de s´eries de fonctions : les s´eries enti`eres . . . 45

4.2.1 Premi`eres propri´et´es . . . 45

4.2.2 Calcul pratique du rayon de convergence . . . 48

4.2.3 Somme et produit de 2 s´eries enti`eres . . . 50

4.3 Propri´et´es de la somme d’une s´erie de fonctions normalement convergente (hors programme) . . . 51

4.3.1 Continuit´e . . . 51

4.3.2 D´erivabilit´e (cas x∈R) . . . 53

4.3.3 Int´egrabilit´e (cas x∈R) . . . 54

4.4 Propri´et´es de la somme d’une s´erie enti`ere . . . 55

4.4.1 Continuit´e sur D_R . . . 55

4.4.2 D´erivabilit´e et int´egrabilit´e dans D_R . . . 56

4.5 D´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction . . . 58

4.5.1 Exemples de fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere en 0 . . . 58

4.5.2 Utilisation d’une ´equation diff´erentielle . . . 60

5 S´eries trigonom´etriques et S´eries de Fourier 63 5.1 S´eries de Fourier . . . 63

5.1.1 D´efinitions . . . 63

5.1.2 Interpr´etation physique . . . 64

5.1.3 Cas des fonctions de p´eriode 2π . . . 64

5.1.4 Formules utiles . . . 66

5.1.5 Convergence de la s´erie de Fourier . . . 66

5.2 S´eries trigonom´etriques (hors programme) . . . 69

5.2.1 D´efinition . . . 69

5.2.2 Convergence d’une s´erie trigonom´etrique . . . 70

Chapitre 1

Rappels - Compl´ ements

1.1 Rappels

Soit K = R ou C. Si x ∈ K on note |x| la valeur absolue de x ∈ R (resp. le module de x ∈ C). Si x ∈ C est un nombre complexe, on peut le noter x = ρe^iθ o`u ρ = |x| est le module et θ∈R l’argument. On a |e^iθ|= 1.

Ensemble born´e (major´e et minor´e) : soit A ⊂ K, A est born´e si il existe M > 0 tel que |x| ≤M pour tout x∈A.

La borne sup´erieure (resp. borne inf´erieure) d’un ensemble A⊂R (si elle existe) est le plus petit (resp. le plus grand) des majorants (resp. minorants). Si A ⊂ R, n’est pas major´e (resp. minor´e) on pourra dire que sa borne sup´erieure est +∞(resp. −∞).

Notion de voisinage : si a ∈ R, V_a =]a−ν, a+ν[ (ν > 0), si a = +∞, V_a =]A,+∞[, si a=−∞, V_a=]− ∞, B[).

1.1.1 Suites

Suites num´eriques : (u_n)n≥n₀, u_n∈R ouC. D´efinition de la limite d’une suite

l= lim

n→+∞u_n ⇐⇒ ∀ >0,∃N ∈N, ∀n ≥N ,|u_n−l|< . D’o`u

l = lim

n→+∞u_n ⇐⇒ 0 = lim

n→+∞|u_n−l|.

Si la suite (u_n)n≥n₀ tend vers +∞(resp. −∞) elle diverge. La suite (u_n)n≥n₀ tend vers +∞

s’´ecrit

∀A >0, ∃N ∈N, ∀n≥N , un> A.

Nature d’une suite (convergence ou divergence) : c’est une propri´et´e asymptotique.

Ceci signifie que si on modifie un nombre fini de termes de la suite, cela ne change pas la nature de la suite. De plus, si une suite CV de limite l et qu’on modifie un nombre fini de termes de la suite, la nouvelle suite CV aussi vers l.

Si une suite (un)n≥n0 converge, elle est born´ee. En effet, soit l= lim

n→+∞un et soit >0 fix´e. Alors, il existe un rang N tel que

∀n≥N , l− < u_n < l+ d’o`u|u_n|<max{|l−|,|l+|}.

Soit M = max{|u_n0|, . . . ,|u_N−1|,|l−|,|l+|}. On a |u_n| ≤M pour toutn ≥0.

Suites de nombres complexes : Si u_n =a_n+ib_n ∈C, (u_n)n≥n₀ converge si et seulement si (a_n)n≥n0 et (b_n)n≥n0 converge. Plus pr´ecis´ement, l =a+ib = lim

n→+∞u_n si et seulement si a= lim

n→+∞a_n etb = lim

n→+∞b_n. En effet, si l =a+ib, |u_n−l|² =|a_n−a|²+|b_n−b|². 1. Donc si a = lim

n→+∞a_n et b = lim

n→+∞b_n, on a lim

n→+∞|a_n−a| = 0 = lim

n→+∞|b_n−b|, donc

n→+∞lim |un−l|= 0.

2. R´eciproquement, si lim

n→+∞|u_n−l|= 0, comme|a_n−a| ≤ |u_n−l|et |b_n−b| ≤ |u_n−l|, on a lim

n→+∞|a_n−a|= 0 = lim

n→+∞|b_n−b|.

Une suite (u_n)n≥n0, u_n ∈ R ou C, converge si et seulement si c’est une suite de Cauchy, i.e.

∀ >0, ∃N ∈N, ∀p > q > N ,|u_p−u_q|< .

Suite de r´eels monotone : Toute suite de r´eels croissante major´ee (resp. d´ecroissante minor´ee) est convergente. Exemples : u_n= 1

n suite d´ecroissante minor´ee par 0, converge et sa limite est 0 ; u_n = sinn born´ee, pas monotone, diverge.

Exemple fondamental : la suite g´eom´etrique, (rⁿ)n≥0, r ∈ K. La suite g´eom´etrique, (rⁿ)n≥0, converge si et seulement si |r| < 1 et alors sa limite est 0 ou si r = 1 et alors sa limite est 1. La somme des n+ 1 premiers termes est

n

X

k=0

r^k = 1−rⁿ⁺¹

1−r si r6= 1.

Sous-suite : si une suite converge, toute sous-suite converge et vers la mˆeme limite.

Si lim

p→+∞u_2p = lim

p→+∞u_2p+1 =l, alors lim

n→+∞u_n=l. Contre-exemple de u_n= (−1)ⁿ. Suites adjacentes : Deux suites de nombres r´eels (un) et (vn) sont dites adjacentes si

1. (u_n) est croissante, 2. (v_n) est d´ecroissante, 3. lim

n→+∞(u_n−v_n) = 0.

On peut alors montrer queu_n ≤v_n pour tout n. De plus, deux suites adjacentes sont CV et ont la mˆeme limite.

1.1.2 Fonctions de variables r´ eelles

On suppose dans la suite que D ⊂ R est un ouvert, i.e. pour tout a ∈ D il existe V_a = ]a−ν, a+ν[⊂D (ν > 0).

Une fonction f, d´efinie dans un voisinage ´epoint´e de a ∈ R (i.e. sauf peut-ˆetre en a), a une limite l en a si et seulement si pour toute suite (x_n) telle que lim

n→+∞x_n = a, on a

n→+∞lim f(xn) = l.

D´efinition de la continuit´e de f :D→R, D⊂R en a∈D : lim

x→af(x) =f(a) et aussi

∀ >0, ∃Va, ∀x∈Va, |f(x)−f(a)|< . Enfin, f est continue en a si et seulement si lim

x→a⁺f(x) = lim

x→a⁻f(x) (limite `a droite ´egale limite `a gauche).

Continuit´e sur un ensemble D

∀ >0, ∀a∈D, ∃V_a,∀x∈V_a, |f(x)−f(a)|< .

Si f est continue sur I = [a, b],f est born´ee et atteind ses bornes. Plus pr´ecis´ement on a le Th. des valeurs interm´ediaires: Soit f (non constante) continue sur I = [a, b]. Alors f prend ses valeurs dans [m, M] et pour touty ∈[m, M], il existe x∈[a, b] tel que y=f(x).

D´efinition de la d´erivabilit´e de f :D→R, D⊂R en a∈D : f⁰(a) = lim

x→a, x6=a

f(x)−f(a) x−a .

D´erivable implique continue (et non l’inverse !!). Par suite, pas continue implique pas d´erivable.

Sif est d´efinie et continue dans un voisinage dea et d´erivable dans un voisinage ´epoint´e de a, f est d´erivable ena si et seulement si lesd´eriv´ees `a droite et `a gaucheexistent et sont

´

egales, i.e.

f⁰_d(a) := lim

x→a⁺f⁰(x) = f⁰_g(a) := lim

x→a⁻f⁰(x).

Fonction f : D → R de classe C¹ sur D (f d´erivable et f⁰ continue dans D), de classe C⁽ⁿ⁾ sur D (f d´erivablen fois et la d´eriv´een-i`eme f⁽ⁿ⁾ est continue dans D), de classe C^∞ sur D (f d´erivable un nombre infini de fois).

Th. des accroissements finis : si f est continue sur I = [a, b] et C¹(]a, b[), alors

∃c∈]a, b[, f(b)−f(a) = (b−a)f⁰(c).

Formule de Taylor-Lagrange : soit f une fonction Cⁿ⁺¹(I), [a, b]⊂I ⊂R, alors

∃c∈]a, b[, f(b) =f(a) +

n

X

i=1

(b−a)ⁱ

i! f⁽ⁱ⁾(a) + (b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(c).

Formule de Mac-Laurin (Taylor en a= 0∈I) : x∈I, mˆemes hypoth`eses

∃θ ∈]0,1[, f(x) =f(0) +

n

X

i=1

xⁱ

i!f⁽ⁱ⁾(0) + xⁿ⁺¹

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx).

D’o`u, si lim

x→0(x) = lim

x→0

xf⁽ⁿ⁺¹⁾(θx)

(n+ 1)! = 0, DL en x= 0 f(x) = f(0) +

n

X

i=1

xⁱ

i!f⁽ⁱ⁾(0) +xⁿ(x), lim

x→0(x) = 0,

xⁿ(x) avec lim

x→0(x) = 0 se note o(xⁿ).

Primitives - Int´egrale d´efinieUne fonctionf admet une primitive si il existeF d´erivable telle que F⁰ =f. Une fonction f : I = [a, b] →R, continue (par exemple !), est int´egrable, i.e. admet une primitive. SoitF la primitive nulle enx=a, F(x) =

Z x a

f(t)dt. Alors

F⁰(x) = Z x

a

f(t)dt ⁰

=f(x).

Interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrale Z b

a

f(t)dt : c’est l’aire alg´ebrique comprise entre l’axe des x, le graphe de f et les droites d’´equation x=a etx=b.

Sif est positive et d´ecroissante sur [n, n+1] (et int´egrable), on a : faire un dessin et comparer l’aire A =

Z n+1 n

f(t)dt avec l’aire des rectangles dont un des cˆot´es est le segment [n, n+ 1]

sur l’axe des x, de longueur 1, et l’autre cˆot´e est de longueurf(n) (resp. f(n+ 1)) f(n+ 1)≤

Z n+1 n

f(t)dt ≤f(n). (1.1)

Chapitre 2

S´ eries num´ eriques

2.1 Premi` eres propri´ et´ es

Une s´ erie est (sch´ ematiquement) une somme ayant un nombre infini de termes. On essaiera de r´ esoudre les probl` emes suivants :

1) est-ce qu’une telle somme a une valeur finie ?

2) si oui (seulement dans certains cas) on calculera cette valeur.

2.1.1 D´ efinitions

On note K = R ou C. Soit (u_n)n≥n₀ une suite d’´el´ements de K (u_n ∈ K). On d´efinit la n-`eme somme partielle S_n par

Sn :=un0 +· · ·+un, pour tout n≥n0

et on consid`ere la suite (Sn)n≥n0. Admettons que n0 = 0 pour simplifier, alors S₀ =u₀, S₁ =u₀+u₁, S₂ =u₀+u₁+u₂, . . . , S_n+1 =S_n+u_n+1.

D´efinition 2.1 Soit (u_n)n≥n₀ une suite d’´el´ements de K (u_n ∈K). L’´etude de la s´erie num´erique de terme g´en´eral u_n, not´ee X

n≥n₀

u_n (ou en abr´eg´e X

u_n), est l’´etude de la suite des sommes partielles (S_n)n≥n₀, o`u S_n =X

k≤n

u_k. On dit que la s´erie de terme g´en´eral u_n est convergente (CV en abr´eg´e) et que sa somme est S si la suite (S_n)n≥n₀ tend vers S quand n tend vers +∞. On ´ecrit alors

S = X

n≥n0

u_n ou bien S =

+∞

X

n=n0

u_n.

Si la suite(S_n)_n≥n0 est divergente, on dit que la s´erie X

u_n estdivergente (DV en abr´eg´e).

Si la s´erie converge et que sa somme est S, on peut d´efinir lereste d’ordren R_n:=S−S_n ; alors la suite (R_n)n≥n₀ converge et sa limite est lim

n→+∞R_n= 0.

Par d´efinition, la s´erie X

n≥n0

u_n convergente et sa somme est S si et seulement si il existe S ∈K tel que lim

n−>+∞S_n =S ou lim

n−>+∞R_n = 0.

D´efinition 2.2 Donner la nature d’une s´erie c’est dire si la s´erie est convergente ou divergente.

Lemme 2.3 La nature d’une s´erie est une propri´et´e asymptotique : si on modifie un nombre fini de termes, on ne change pas la nature.

Preuve : Soit X

n≥n0

u_n une s´erie et soit (v_n)_n≥n0 une suite d’´el´ements de K telle que v_n=u_n pour toutn≥N. On pose S_n :=u_n0+· · ·+u_n, n≥n₀ etT_n:=v_n0+· · ·+v_n, n ≥n₀. Alors Tn−Sn =TN −SN =A pour tout n ≥N donc lim

n→+∞Sn existe si et seulement si lim

n→+∞Tn

existe.

Soit X

u_n une s´erie convergente de somme S. Si on modifie un nombre fini de termes, on obtient une s´erieX

vnqui est encore convergente mais par contre la somme de cette nouvelle s´erie peut ˆetre 6=S (comparer avec les propri´et´es d’une suite : si une suite convergente vers l et qu’on modifie un nombre fini de termes, la nouvelle suite converge vers la mˆeme limite l).

Remarque 2.4 Quand on parle de la somme S d’une s´erie convergente X

n≥n₀

u_n, il est tr`es important de mettre explicitement le rang n0 `a partir duquel on commence la somme infinie.

Ecrire S =X

u_n n’a aucun sens, il faut ´ecrire :

S = X

n≥n₀

u_n ou bien S =

+∞

X

n=n0

u_n.

2.1.2 Premier exemple : la s´ erie harmonique

Th´eor`eme 2.5 La s´erie harmonique X

n>0

1

n diverge.

Preuve : Plusieurs d´emonstrations.

• La suite (S_n) n’est pas une suite de Cauchy donc diverge. En effet, pour tout entier n ≥1 on a

S_2n−S_n= 1

n+ 1 + 1

n+ 2 +· · ·+ 1

2n > n 1 2n = 1

2 soit

∃ = 1

2,∀N ∈N, ∃p= 2n > q =n > N tels que S_2n−S_n> 1 2.

• Si la suite (Sn) convergeait, les suites (S2n) et (Sn) auraient la mˆeme limite ce qui est impossible puisque S_2n−S_n> 1

2 pour tout entier n ≥1.

• La fonctionf(x) = 1

x est positive et d´ecroissante surR^∗+, donc, pour tout entiern ≥1, on a

1 n+ 1 <

Z n+1 n

1

tdt < 1 n. D’o`u

0≤ Z n+1

1

1

tdt= ln(n+ 1)<1 + 1 2+ 1

3+ 1

4+· · ·+ 1 n =S_n et comme lim

n→+∞ln(n+ 1) = +∞, on a lim

n→+∞S_n= +∞ ce qui prouve que la suite (S_n) diverge.

2.1.3 Condition n´ ecessaire de convergence

Th´eor`eme 2.6 Si la s´erie de terme g´en´eral u_n converge, alors lim

n−>+∞u_n= 0.

Preuve : u_n =S_n−Sn−1 ⇒ lim

n−>+∞u_n=S−S = 0.

Remarque 2.7 ATTENTION : Ce n’est pas une condition suffisante.

Contre-exemple : u_n = 1/n tend vers 0 quand n tend vers +∞, mais X 1

n est divergente.

X

n≥1

vn, avec vn = 1/√

n est divergente (alors que lim

n→+∞vn = 0). On a Sn ≥ n

√n = √ n et donc limS_n= +∞.

X

n≥0

w_n, avec w_n = √

n+ 1− √

n est divergente . On peut ´ecrire w_n = √

n+ 1 −√ n =

√ 1

n+ 1 +√

n, donc lim

n→+∞w_n= 0, et S_n=√

n+ 1→+∞.

Corollaire 2.8 Si lim

n−>+∞u_n6= 0, alors la s´erie de terme g´en´eral u_n diverge. On dit que la s´erie diverge grossi`erement.

Exemple de s´erie divergeant grossi`erement : X

n≥0

(−1)ⁿdiverge carS_2p = 1 etS_2p+1 = 0.

2.1.4 Exemple fondamental : la s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 2.9 La s´erie g´eom´etriqueX

n≥0

qⁿ, q∈R ou C, convergente si et seulement si

|q|<1.

Si |q|<1, la s´erie converge et sa somme est S =X

n≥0

qⁿ= 1 1−q.

Preuve : On suppose quen ≥0. La n-`eme somme partielle est S_n=

n

X

k=0

q^k =







1−qⁿ⁺¹

1−q si q6= 1 n+ 1 si q= 1 1. Si q= 1, S_n=n+ 1 et lim

n→+∞S_n = +∞ donc la s´erie diverge.

2. Si q6= 1, S_n= 1−qⁿ⁺¹

1−q et lim

n→+∞S_n existe si et seulement si lim

n→+∞qⁿ existe.

(a) Si|q|<1, lim

n→+∞qⁿ = 0 et lim

n→+∞S_n = 1 1−q.

(b) Si |q| ≥ 1, |qⁿ| = |q|ⁿ ≥ 1 pour tout n donc lim

n→+∞qⁿ 6= 0 et la s´erie diverge grossi`erement

Attention au 1er terme :

+∞

X

n=1

qⁿ = q

1−q, si et seulement si |q|<1.

Exemple : si x >0, on a

X

n≥0

e^−nx= 1

1−e^−x = e^x e^x−1. Conclusion sur ce d´ebut de chapitre :

1 + 1 2+ 1

3+ 1

4+· · ·+ 1

n + 1

n+ 1 +· · ·= +∞ ⇒X

n≥1

1

n diverge.

Par contre on montrera que (cf. 2.1) la s´erie X

n≥1

(−1)ⁿ⁺¹

n est convergente et que sa somme est :

1− 1 2+ 1

3− 1

4 +· · ·+ (−1)ⁿ⁺¹

n +· · ·= ln 2, ou que la s´erie X

n≥1

1

n² est convergente et que sa somme est : 1 + 1

2² + 1 3² + 1

4² +· · ·+ 1

n² + 1

(n+ 1)² +· · ·= π² 6 . ATTENTION : Ne pas m´elanger suite (u_n) et s´erie X

u_n : par exemple, la suite

1 n

converge alors que la s´erie X 1

n diverge.

2.1.5 Autres exemples de s´ eries

(1)Utilisation de Mac-Laurin pour le calcul de la somme d’une s´erie convergente.

Th´eor`eme 2.10 Soit x∈R. Alors

e^x =X

n≥0

xⁿ n!. En particulier

e=X

n≥0

1 n!.

Preuve : On applique le formule Mac-Laurin `a la fonction C^∞ f(x) =e^x : e^x = 1 +

n

X

k=1

x^k

k! + xⁿ⁺¹

(n+ 1)!e^θx, 0< θ <1.

Soit M(x) := max(1, e^x), alors 0 < e^θx < M(x) : M(x) ne d´epend pas de n, alors que θ en d´epend. On a

|e^x−Sn(x)|=

e^x−

n

X

k=0

x^k k!

=

xⁿ⁺¹ (n+ 1)!e^θx

≤M(x) |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)!. Posons vn:= |x|ⁿ

n! et appliquons le crit`ere de d’Alembert (cf. Th. 2.24 et exemple 2.25) `a la s´erie X

v_n :

n→+∞lim v_n+1

v_n = lim

n→+∞

|x|

n+ 1 = 0 <1 donc la s´erie X

v_n converge. Par la condition n´ecessaire de convergence, on a lim

n→+∞v_n= 0.

Finalement, on a montr´e que lim

n→+∞|e^x−S_n(x)|= 0, c’est `a dire que lim

n→+∞S_n(x) =e^x pour tout x∈R.

Pourx= 1, il est clair directement que|e−S_n(1)| ≤M(1) 1

(n+ 1)!implique que lim

n→+∞S_n(1) = e. On obtient que

+∞

X

n=0

1 n! =e.

Autre exemple : f(x) = ln(1 +x) est d´efinie sur I =]−1,+∞[, elle est C^∞ sur I puisque f⁰(x) = 1

1 +x et par r´ecurrence, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = (−1)ⁿn!

(1 +x)ⁿ⁺¹ pour tout n ≥ 0. On a donc f⁽ⁿ⁺¹⁾(0) = (−1)ⁿn! et f(0) = 0. On applique Mac-Laurin

∃θ ∈]0,1[, ln(1 +x) =

n

X

k=1

(−1)^k+1x^k

k + (−1)ⁿxⁿ⁺¹ (n+ 1)(1 +θx)ⁿ⁺¹.

Consid´erons la s´erie de terme g´en´eral (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n , pourn ≥1 et x∈[0,1]. Lan-`eme somme partielle S_n(x) est telle que

|ln(1 +x)−S_n(x)|=

ln(1 +x)−

n

X

k=1

(−1)^k+1x^k k

=

(−1)ⁿxⁿ⁺¹ (n+ 1)(1 +θx)ⁿ⁺¹

≤ 1 n+ 1 donc lim

n→+∞S_n(x) = ln(1 +x). Soit ln(1 +x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n pour tout x∈[0,+1].

En particulier pour x= 1 :

ln(2) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n . (2.1)

(2) S´erie t´elescopique : Siu_n =f(n)−f(n+ 1),n≥1, on a S_n=f(1)−f(n+ 1). Alors Xu_n converge si et seulement si (S_n) converge soit si et seulement si lim

n−>+∞f(n) existe.

Par exemple : sin >0,u_n= 1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1,S_n= 1− 1

n+ 1, donc

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1) = 1.

2.1.6 Op´ erations sur les s´ eries

La s´erie somme de deux s´eries de termes g´en´eraux respectivement u_n et v_n est la s´erie de terme g´en´eral (u_n+v_n).

Th´eor`eme 2.11 Lin´earit´e - 1. Si a∈K^∗, les s´eries X

u_n et X

au_n sont de mˆeme nature.

Si X

u_n converge et si S = X

n≥n0

u_n, alors X

n≥n0

au_n converge et X

n≥n0

au_n =aS.

2. La somme de deux s´eries convergentes est convergente.

Si X

u_n et X

v_n sont convergentes et si S = X

n≥n0

u_n et T = X

n≥n0

v_n, X

n≥n0

(u_n+v_n) = S+T.

3. La somme d’une s´erie convergente et d’une s´erie divergente est divergente.

Preuve : Consid´erer les sommes partielles.

Remarque 2.12 Pour la somme de deux s´eries divergentes il n’y a pas de r´esultat g´en´eral, sauf pour les s´eries `a termes positifs o`u on a DV +DV =DV (cf. Th. 2.15).

Exemple : si u_n = 1 n + 1

n = 2 n, X

u_n diverge mais si u_n = 1

n − 1

n+ 1 = 1

n(n+ 1), X u_n converge (s´erie t´elescopique).

Corollaire 2.13 Soit u_n = a_n +ib_n ∈ C. Alors X

u_n converge ⇐⇒ X

a_n et X b_n convergent.

Preuve : Consid´erer les sommes partielles S_n = A_n +iB_n et utiliser que la suite (S_n) converge si et seulement si les suites (A_n) et (B_n) convergent.

2.2 S´ eries ` a termes positifs

2.2.1 D´ efinition

On dira qu’une s´erie X

un est `a termes positifs, si un≥ 0 `a partir d’un certain rang N, c’est `a dire pour tout n≥N.

On peut remplacer les termes < 0 ´eventuels (qui sont au plus en nombre fini) par 0 sans changer la nature de la s´erie. On pourra donc supposer que u_n ≥ 0 `a partir du premier terme.

2.2.2 Condition n´ ecessaire et suffisante de convergence

Proposition 2.14 Une s´erie `a termes positifs est convergente si et seulement si la suite (S_n) des sommes partielles est major´ee.

Preuve : La s´erie X

un converge si et seulement si (Sn) est une suite convergente. Si u_n ≥0 pour tout n≥N, (S_n) est monotone croissante (au moins `a partir du rang N) donc la suite (S_n) converge si et seulement si elle est major´ee.

2.2.3 Crit` eres de convergence pour les s´ eries ` a termes positifs

Th´eor`eme 2.15 1. Crit`ere de comparaison -

Si (`a partir d’un certain rang) on a : 0≤u_n≤v_n, alors Xv_n CV ⇒X

u_n CV et

Xu_n DV ⇒X

v_n DV 2. Si une des s´eries `a termes positifs X

u_n et X

v_n diverge, alorsX

(u_n+v_n) diverge.

3. Si (`a partir d’un certain rang) 0< av_n≤u_n ≤bv_n avec a >0et b >0, alors les s´eries Xu_n et X

v_n sont de mˆeme nature.

4. Crit`ere d’´equivalence - Si u<sub>n</sub> est ´equivalent `a v_n quand n → +∞, les s´eries (`a termes strictement positifs) X

u_n et X

v_n sont de mˆeme nature.

Preuve :

1. SoitS_n(resp. T_n) la n-`eme somme partielle deX

u_n(resp. X

v_n). On a 0 ≤S_n ≤T_n,

`

a partir d’un certain rang, d’o`u le r´esultat.

2. A partir d’un certain rang 0≤un ≤un+vn et 0 ≤vn≤un+vn et on applique 1.

3. X

v_n, X

av_n,X

bv_n sont de mˆeme nature puis appliquer 1.

4. si u_n, v_n > 0 `a partir d’un certain rang, u<sub>n</sub> est ´equiv. `a v_n quand n → +∞ signifie

n→+∞lim u_n

v_n = 1. On en d´eduit que, pour tout > 0, on a |u_n

v_n −1| < `a partir d’un certain rang. Pour = 1

2, on a 1

2v_n< u_n< 3

2v_n puis appliquer 3.

Exemple 2.16 • un = 2 + sin(n)

3ⁿ⁺¹ . On a 0≤un≤ 3 3ⁿ⁺¹ =

1 3

n

=vn. X

vn est une s´erie g´eom´etrique convergente donc X

u_n converge.

• 1

n² ´equivalent `a 1

n(n+ 1) quand n→+∞, donc X 1

n² converge.

Remarque 2.17 (cf. chapitre 1)

• Notion d’´equivalent pour les suites `a termes strictement positifs : u<sub>n</sub> est ´equiv. `a vn quand n→+∞ signifie lim

n→+∞

u_n v_n = 1.

• Notations ‘o’

Si u est au voisinage de 0, o(uⁿ) =uⁿ(u) avec lim

u→0(u) = 0.

Utilis´e dans les DL, par exemple ln(1−u) = −u−u²

2 +o(u²) au lieu de ln(1−u)−=−u− u²

2 +u²(u) avec lim

u→0(u) = 0.

• Notations ‘O’

Si u est au voisinage de 0, O(uⁿ) = uⁿh(u) avec h born´ee au voisinage de 0.

Donc un o(uⁿ) est un O(uⁿ) mais l’inverse n’est pas toujours vrai.

Si f ∼g au voisinage de 0, on a f =O(g) au voisinage de 0.

C’est commode pour l’´etude des s´eries : par exemple un=−1

n −ln

n−1 n

=−1 n −ln

1− 1

n

Quand n →+∞, on a u_n = 1

2n² +o 1

n²

ou bien u_n=O 1

n²

ou bien u_n∼ 1 2n².

De un = 1 2n² +o

1 n²

on d´eduit que un est positif pour n assez grand. La s´erie converge, par comparaison avec la s´erie (de Riemann, cf. plus loin) X 1

n².

2.2.4 Crit` ere de Cauchy pour les s´ eries ` a termes positifs

Par comparaison avec la s´erie g´eom´etrique.

Th´eor`eme 2.18 Crit`ere de Cauchy - Soit une s´erie X

u_n `a termes positifs telle que

n→+∞lim (u_n)^1/n =l ∈R⁺∪ {+∞}

1. si l <1, la s´erie converge,

2. si l >1,la s´erie diverge (vrai `a fortiori si lim

n→+∞(u_n)^1/n = +∞).

3. si l = 1 on ne peut pas conclure.

Preuve : Par hypoth`ese lim

n→+∞(u_n)^1/n =l. On a donc

∀ >0, ∃N ∈N, ∀n≥N, l−≤(u_n)^1/n ≤l+.

1. Si 0 ≤ l < 1, il existe r ∈ R tel que l ≤ r < 1 et (u_n)^1/n ≤ r < 1 pour tout n assez grand¹. On a donc un ≤rⁿ. CommeX

rⁿ est une s´erie g´eom´etrique convergente, on en d´eduit que X

u_n converge par le crit`ere de comparaison.

2. Si l > 1 ou l = 1⁺, on a (u_n)^1/n ≥1 pour tout n assez grand (n ≥N). Donc u_n ≥1 pour tout n assez grand et le terme g´en´eral ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞.

La s´erie diverge grossi`erement.

3. Si l= 1, il n’y a pas de r´esultat g´en´eral. Par exemple : Pour u_n = 1

n, on a (u_n)^1/n = e^−ln(n)n →n→+∞ e⁰ = 1 et on sait que la s´erie X 1 diverge. n

Pour u_n = 1

n², on a (u_n)^1/n = e^−ln(n2)n →n→+∞ e⁰ = 1 et on sait que la s´erie X 1 n² converge.

Exemple 2.19 Nature de la s´erie de terme g´en´eral u_n =

(n+ 1)² n²+ 1

−n²

. C’est une s´erie

`

a termes positifs. On applique le crit`ere de Cauchy (un)^1/n =e^−nln

“

1+_n2+1²ⁿ ”

.

Quand n tend vers +∞, (u_n)^1/n tend vers e⁻² <1 donc la s´erie converge.

1Soit >0 tel quer=l+ <1. Alors il existeN tel que∀n≥N on a 0≤(un)^1/n≤l+=r <1

D´efinition 2.20 La limite sup´erieure d’une suite (an) est d´efinie par lim_n→+∞a_n= lim

n→+∞s_n ∈R∪ {+∞}, o`u s_n = sup{a_p, p≥n} ∈R¯ =R∪ {±∞}.

Remarque 2.21 limn→+∞a_n existe mˆeme si lim

n→+∞a_n n’existe pas. Mais, si lim

n→+∞a_n existe dans R¯, alors limn→+∞a_n= lim

n→+∞a_n=l. On a

a = limn→+∞a_n ⇐⇒ ∀ >0,∀N ∈N, ∃n > N, a− < a_n≤a.

Par exemple si lim

p→+∞a_2p =l₁ et lim

p→+∞a_2p+1 =l₂ alors limn→+∞a_n = max{l₁, l₂}.

Corollaire 2.22 Le Crit`ere de Cauchy est vrai aussi pour l = limn→+∞(u_n)^1/n. On utilisera aussi la notion suivante.

D´efinition 2.23 La limite inf´erieure d’une suite (a_n) est d´efinie par lim_n→+∞a_n= lim

n→+∞t_n ∈R∪ {−∞}, o`u t_n = inf{a_p, p≥n} ∈R¯.

On v´erifie facilement que

tn = inf{ap, p≥n} ≤an≤vn= sup{ap, p≥n}

pour tout n, que la suite (t_n) est croissante et la suite (v_n) est d´ecroissante, et enfin que

• lim_n→+∞an ≤limn→+∞an.

• lim_n→+∞a_n = limn→+∞a_n si et seulement si lim

n→+∞a_n existe.

• limn→+∞

1

a_n = 1

lim_n→+∞a_n.

2.2.5 Crit` ere de d’Alembert pour les s´ eries ` a termes positifs

Th´eor`eme 2.24 Crit`ere de d’Alembert - Soit une s´erie X

u_n `a termes strictement positifs telle que

n→+∞lim u_n+1

u_n =l ∈R⁺∪ {+∞}.

1. si l <1, la s´erie converge, 2. si l >1, diverge,

3. si l = 1 on ne peut pas conclure.

Preuve : Par hypoth`ese lim

n→+∞

u_n+1

u_n =l. On a donc

∀ >0, ∃N ∈N, ∀n ≥N, l−≤ un+1

u_n ≤l+. 1. Si 0 ≤l < 1, il existe r tel que l ≤ r <1 et 0 < u_n+1

u_n ≤ r < 1 pour n assez grand ². Posons v_n =rⁿ. La s´erie X

v_n est une s´erie g´eom´etrique CV. Alors 0≤ u_n+1

u_n ≤r= v_n+1

v_n , ∀n ≥N ou encore

un+1

v_n+1 ≤ un

v_n ≤ · · · ≤ uN

v_N =b

o`ubest une constante positive. On a donc u_n≤bv_npour toutn ≥N et commeX v_n est convergente, il en est de mˆeme deX

u_n par le crit`ere de comparaison.

2. Sil >1, on a u_n+1 un

>1 pournassez grand, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

Le terme g´en´eral ne tend pas vers 0 et la s´erie diverge grossi`erement.

3. Si l= 1, il n’y a pas de r´esultat g´en´eral. Par exemple : Pour un= 1

n, on a u_n+1

u_n →n→+∞ 1 et on sait que la s´erie X1

n diverge.

Pour u_n= 1

n², on a un+1

u_n = 1 et on sait que la s´erie X 1

n² converge.

Exemple 2.25 • X 1 n

n

converge par Cauchy (Attention : ce n’est pas une s´erie g´eom´etrique !).

• X|x|ⁿ

n! , pour toutx∈R^∗, converge par d’Alembert puisque lim

n→+∞

u_n+1

u_n = lim

n→+∞

|x|

n+ 1 = 0. On en d´eduit que lim

n→+∞

|x|ⁿ

n! = 0 grˆace `a la condition n´ecessaire de convergence.

Nous avions suppos´e cela dans le paragraphe 2.1.5.

• Xaⁿ

n², a > 0, converge si a < 1 par Cauchy lim

n→+∞

a

n^2/n = a et converge aussi pour a= 1 (s´erie de Riemann, cf. plus loin).

2Soit >0 tel quer=l+ <1. Alors il existeN tel que∀n≥N on a 0≤un+1

un

≤l+=r <1

2.2.6 Crit` ere int´ egral pour les s´ eries ` a termes positifs

Th´eor`eme 2.26 Crit`ere int´egral - Soit f une fonction positive, d´ecroissante, d´efinie et continue sur [n₀,+∞[. La s´erie de terme g´en´eral u_n :=f(n), n ≥ n₀, est de mˆeme nature que la s´erie de terme g´en´eral v_n :=

Z n+1 n

f(t)dt, n≥n₀.

Preuve : On a u_n+1 ≤v_n ≤u_n pour tout n ≥n₀ (cf. chapitre 1, (1.1)). Puis on applique le crit`ere de comparaison.

Corollaire 2.27 Soitf une fonction positive, d´ecroissante, d´efinie et continue sur[n₀,+∞[.

La s´erie de terme g´en´eral u_n:=f(n), n≥n₀, converge si et seulement si lim

n→+∞

Z n+1 n0

f(t)dt existe.

Preuve : D’apr`es le Th´eor`eme pr´ec´edent, X

n≥n0

f(n) converge si et seulement si X

n≥n0

vn, o`u v_n:=

Z n+1 n

f(t)dt, converge. La n-`eme somme partielle de la s´erie X

v_n est, pour n≥n₀

V_n=

Z n0+1 n0

f(t)dt+· · ·+ Z n+1

n

f(t)dt = Z n+1

n0

f(t)dt

donc X

n≥n₀

f(n) converge si et seulement si lim

n→+∞V_n existe.

D´ej`a utilis´e au d´ebut du cours pour d´emontrer que X 1

n est divergente.

Remarque 2.28 Dans le chapitre sur l’Int´egrale g´en´eralis´ee, on verra que (cf. 3.22) :

x→+∞lim Z x

a

f(t)dt existe signifie que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

a

f(t)dt est convergente.

2.2.7 Applications : s´ erie de Riemann et s´ erie de Bertrand

Th´eor`eme 2.29 Soit α ∈ R. La s´erie de Riemann X

n≥1

1

n^α converge si et seulement si α >1.

Preuve : Posons u_n= 1

n^α. La s´erie X

u_n est `a termes positifs.

1. si α≤0, lim

n→+∞u_n 6= 0 donc divergence grossi`ere.

2. si α= 1, s´erie harmonique divergente.

3. si α >0 et 6= 1, on pose f(x) = 1

x^α. La fonction f est d´efinie sur [1,+∞[, continue et d´ecroissante, car f⁰(x) = −α

x^α+1 <0. On applique le crit`ere int´egral : Z n

1

dt

t^α = 1

1−α(n^1−α−1) et lim

n→+∞

Z n 1

dt

t^α existe si et seulement si 1−α <0.

Corollaire 2.30 R`egle de n^αu_n. Soit X

u_n une s´erie `a termes positifs.

1. s’il existe α >1 tel que lim

n→+∞n^αu_n= 0, la s´erie X

u_n converge.

2. s’il existe α≤1 tel que lim

n→+∞n^αu_n= +∞, la s´erie X

u_n diverge.

3. si lim

n→+∞n^αu_n =a >0, les s´eries X

u_n et X 1

n^α sont de mˆeme nature.

Preuve :

1. Soit α > 1. La s´erie de Riemann X 1

n^α converge. Comme lim

n→+∞n^αu_n = 0, on a n^αu_n <1 pour tout n assez grand. Donc 0 ≤ u_n < 1

n^α avec X 1

n^α convergente. Par suite, X

un converge par le crit`ere de comparaison.

2. Soit α ≤ 1. La s´erie de Riemann X 1

n^α diverge. Comme lim

n→+∞n^αun = +∞, on a n^αun >1 pour tout n assez grand. Doncun > 1

n^α avec X 1

n^α divergente. Par suite, Xu_n diverge par le crit`ere de comparaison.

3. Si lim

n→+∞n^αu_n = a > 0, on a lim

n→+∞

n^αu_n

a = 1 = lim

n→+∞

u_n

a n^α

donc u_n ∼ a

n^α quand n →+∞, d’o`u le r´esultat par le crit`ere d’´equivalence.

Th´eor`eme 2.31 Soient α, β ∈ R. La s´erie de Bertrand X

n≥2

1

n^α(lnn)^β converge si et seulement si α >1 ou si [α= 1 et β >1].

Preuve : Posons u_n= 1

n^α(lnn)^β. La s´erie X

u_n est `a termes positifs.

1. si α > 1, soit γ tel que α > γ > 1. Alors lim

n→+∞n^γu_n = lim

n→+∞

1

n^α−γ(lnn)^β = 0 (la fonction puissance l’emporte sur la fonction logarithme) donc la s´erie X

u_n converge par la r`egle den^αu_n.

2. si α < 1, soit γ tel que α < γ < 1. Alors lim

n→+∞n^γu_n = lim

n→+∞

n^γ−α

(lnn)^β = +∞ donc la s´erie X

u_n diverge par la r`egle de n^αu_n. 3. si α= 1 on a u_n = 1

n(lnn)^β. (a) siβ <0, lim

n→+∞nu_n= +∞donc la s´erie X

u_n diverge par la r`egle de n^αu_n..

(b) siβ = 0, X

u_n est la s´erie harmonique divergente.

(c) si β > 0, on pose f(x) = 1

x(lnx)^β. La fonction f est d´efinie continue et d´ecroissante sur [2,+∞[. On applique le crit`ere int´egral :

Z n 2

f(t)dt =





 1

1−β (lnn^1−β −1)−(ln 2^1−β−1)

siβ 6= 1

ln(lnn)−ln(ln 2) siβ = 1

on obtient une limite finie quandn →+∞ si et seulement si 1−β <0.

2.3 S´ eries num´ eriques ` a termes r´ eels quelconques ou complexes

Soit X

u_n, u_n ∈C ou R, une s´erie `a termes complexes ou r´eels mais non toujours positifs.

Pour ´etudier la nature de cette s´erie, on ne peut pas appliquer les crit`eres du§2.2. Par contre on peut utiliser ces crit`eres pour ´etudier la nature de la s´erie `a termes positifsX

|un|. On va montrer que si la s´erieX

|u_n|converge, alors la s´erieX

u_n converge aussi (cf. th. 2.33).

Par contre si X

|u_n| diverge, alors on ne peut rien conclure pour la nature de X

u_n : en effet, il existe des s´eries X

u_n, appel´ees s´eries semi-convergentes, qui convergent alors que X|u_n|diverge.

2.3.1 Convergence absolue

D´efinition 2.32 La s´erie X

u_n, u_n ∈ R ou C, converge absolument si X

|u_n| est convergente.

Th´eor`eme 2.33 La convergence absolue implique la convergence.

Preuve :

• La condition de Cauchy pour X

|u_n| implique la condition de Cauchy pour X u_n, puisque : |uq+1+· · ·+up| ≤ |uq+1|+· · ·+|up|.

• Autre preuve :

1. Si un ∈R, on pose u⁺_n = max(un,0) et u⁻_n = max(−un,0). Alors un = u⁺_n −u⁻_n. De plus 0 ≤ u⁺_n ≤ |u_n| et 0 ≤ u⁻_n ≤ |u_n|. Comme X

|u_n| est convergente par hypoth`ese, le crit`ere de comparaison pour les s´eries `a termes positifs implique que les s´eries X

u⁺_n et X

u⁻_n convergent et donc aussi la s´erie X

u_n par lin´earit´e puisque u_n=u⁺_n −u⁻_n.

2. Siu_n =a_n+ib_n∈C, on a|a_n| ≤ |u_n|et|b_n| ≤ |u_n|, donc les s´eriesX

a_netX b_n sont absolument convergentes donc convergent par ce qui pr´ec`ede. Par lin´earit´e la s´erie X

u_n converge.

D´efinition 2.34 Une s´erie est semi-convergente si elle est convergente mais non ab- solument convergente.

Exemple 2.35 X

n≥1

(−1)ⁿ⁺¹

n est une s´erie semi-convergente : on a montr´e que la s´erie est convergente de somme ln 2 en utilisant la formule Mac-Laurin pour f(x) = ln(1 +x). Par contre la s´erie X

n≥1

(−1)ⁿ⁺¹ n

diverge puisque c’est la s´erie harmonique.

Pour ´etudier une s´erie `a termes quelconques, on commence par regarder si la s´erie est absolument convergente. Si c’est le cas, elle est convergente. Sinon...

cf. ce qui suit.

2.3.2 S´ eries altern´ ees

D´efinition 2.36 Une s´erie altern´ee est une s´erie dont le terme g´en´eral est r´eel et alter- nativement positif puis n´egatif, i.e. c’est une s´erie de terme g´en´eral u_n = (−1)ⁿa_n ou bien u_n = (−1)ⁿ⁺¹a_n, avec a_n =|u_n|>0.

Th´eor`eme 2.37 - Th´eor`eme sur les s´eries altern´ees - Soit u_n= (−1)ⁿa_n (ou bien u_n= (−1)ⁿ⁺¹a_n), avec a_n >0. Si (i) la suite (a_n) est une suite de nombres r´eels positifs d´ecroissante, (ii) lim

n→+∞a_n= 0,

alors la s´erie altern´ee X

u_n est convergente.

Preuve : (c’est un corollaire du Th´eor`eme d’Abel, cf. plus loin) - Soit un = (−1)<sup>n</sup>an pour tout n ≥ 0 et consid´erons la n-`eme somme partielle S_n = X

k≤n

(−1)^ka_k. Montrons que les suites (S_2p) et (S_2p+1) sont adjacentes.

1. lim

p→+∞|S_2p+1−S_2p|= lim

p.→+∞a_2p+1 = 0.

2. S_2p+1 −S2p−1 = a_2p −a_2p+1 ≥ 0 car la suite (a_n) est d´ecroissante, donc (S_2p+1) est croissante.

3. S_2p+2−S_2p =a_2p+2−a_2p+1 ≤0 donc (S_2p) est d´ecroissante.

4. (inutile) S_2p+1−S_2p =−a_2p+1 ≤0, donc S_2p+1 ≤S_2p pour tout p.

Les suites (S_2p) et (S_2p+1) sont donc convergentes vers la mˆeme limite, soit S, qui est la somme de la s´erie. De plus S_2p+1 ≤S ≤S_2p pour tout p≥0.

Exemple 2.38 Nature de la s´erie de terme g´en´eral vn = (−1)ⁿ ln(n) + 1

√n, n ≥ 2. La s´erie de terme g´en´eral (−1)ⁿ

ln(n) est une s´erie altern´ee convergente car la suite de terme g´en´eral 1

ln(n) tend vers 0 en d´ecroissant, et la s´erie de terme g´en´eral 1

√n est une s´erie de Riemann divergente. La s´erie de terme g´en´eral v_n est donc divergente (CV+DV=DV).

Exemple 2.39 * La s´erie altern´ee X

n≥1

(−1)ⁿ⁺¹

n est semi-convergente et sa somme est ln(2).

* u_n = (−1)ⁿ n^α , X

u_n est absolument convergente si α >1, semi convergente si 0< α ≤1 et grossi`erement divergente si α≤0.

Corollaire 2.40 Propri´et´es des s´eries altern´ees convergentes- Soit X

n≥0

(−1)ⁿa_n une s´erie altern´ee telle que la suite (a_n) soit une suite de nombres r´eels (positifs) tendant vers 0 en d´ecroissant. Alors cette s´erie converge. Notons S sa somme, S_n la n-i`eme somme partielle et R_n:=S−S_n le reste d’ordre n. On a les r´esultats suivants :

• Encadrement de la somme - Pour toutp≥0, S_2p+1 ≤S ≤S_2p.

• Majoration du reste - Pour tout n≥0, |R_n| ≤a_n+1 =|u_n+1|.

Preuve : On a vu dans la preuve pr´ec´edente que S_2p+1 ≤ S ≤ S_2p pour tout p ≥ 0. De plus, |R_2p|=S_2p−S ≤S_2p−S_2p+1 =a_2p+1 et|R_2p+1|=S−S_2p+1 ≤S_2p+2−S_2p+1 =a_2p+2, donc |R_n| ≤a_n+1 pour toutn ≥0.

Ce Corollaire permet de donner une approximation de la somme d’une s´erie altern´ee : S 'S_n, pour un n assez grand, avec une majoration de l’erreur commise |e|=|R_n| ≤a_n+1. Si on se fixe la pr´ecision d´esir´ee, on peut en d´eduire l’indice n `a retenir.

2.3.3 Th´ eor` eme d’Abel

Plus g´en´eralement on a :

Th´eor`eme 2.41 Th´eor`eme d’Abel - Soit une s´erie de terme g´en´eral u_n:=a_nv_n, n≥0, avec an∈R⁺ et vn∈C. Si les trois propri´et´es suivantes sont r´ealis´ees :

(i) la suite (a_n)n≥0 est une suite d´ecroissante de nombres r´eels positifs, (ii) lim

n→+∞a_n= 0,

(iii) il existe A >0 ind´ependant de n tel que |v0+v1+...+vn| ≤A pour tout n≥0, alors la s´erie X

u_n est convergente.

Preuve : Pour montrer que la s´erie X

n≥0

u_n est convergente, montrons qu’elle v´erifie la condition de Cauchy. Soit donc p > q et posons

U_p,q :=a_pv_q+· · ·+a_q+1v_q+1 etV_n:=v₀+· · ·+v_n. On a v_n=V_n−Vn−1 pour tout n≥1, donc

U_p,q =

p

X

n=q+1

a_nv_n =

p

X

n=q+1

a_n(V_n−Vn−1) =

p

X

n=q+1

a_nV_n−

p

X

n=q+1

a_nVn−1.

Donc

U_p,q =

p

X

n=q+1

a_nV_n−

p−1

X

n=q

a_n+1V_n=

p−1

X

n=q+1

(a_n−a_n+1)V_n+a_pV_p−a_q+1V_q. On en d´eduit que (en utilisant que la suite (a_n) d´ecroit, i.e. a_n−a_n+1 ≥0)

|U_p,q| ≤

p−1

X

n=q+1

(a_n−a_n+1)|V_n|+a_p|V_p|+a_q+1|V_q| ≤A(

p−1

X

n=q+1

(a_n−a_n+1) +a_p+a_q+1) = 2Aa_q+1. Comme lima_n = 0, on a aussi lim

q→+∞, p>qU_p,q = 0.

Remarque 2.42 Les s´eries altern´ees X

n≥0

(−1)ⁿa_n (ouX

n≥0

(−1)ⁿ⁺¹a_n) ont un terme g´en´eral de la forme un :=anvn, n ≥0, en posantvn= (−1)ⁿ. La condition(iii) du th´eor`eme d’Abel est alors v´erifi´ee puisque |v₀+v₁+...+v_n| ≤1 pour tout n≥0.

Soit (a_n) une suite de nombres r´eels positifs tendant vers 0 en d´ecroissant. Montrons que la s´erie X

u_n o`u u<sub>n</sub> = a<sub>n</sub>e<sup>inθ</sup> avec θ 6= 0 mod 2π est convergente. On va appliquer le Th´eor`eme d’Abel et pour cela, on utilise le lemme suivant.

Lemme 2.43 Soit θ6= 0 mod 2π et A= 1

|sin(θ/2)|, on a

n

X

k=0

e^ikθ

≤A.

On a aussi

n

X

k=0

cos(kθ)

≤A,

n

X

k=0

sin(kθ)

≤A.

Preuve : On aθ 6= 0 mod 2π ⇐⇒ e^iθ 6= 1. PosonsV_n =

n

X

k=0

e^ikθ. Alors

|V_n|=

n

X

k=0

e^ikθ

=

1−e^i(n+1)θ 1−e^iθ

≤ 2

|1−e^iθ| = 2

|e^iθ/2|

1

|e^−iθ/2−e^iθ/2| = 1

|sin(θ/2)|. Comme

|V_n|² =

n

X

k=0

cos(kθ)

!2

+

n

X

k=0

sin(kθ)

!2

≤ 1

|sin(θ/2)|² on en d´eduit les autres in´egalit´es.

Exemple 2.44 Soit (a_n)une suite de nombres r´eels positifs tendant vers 0en d´ecroissant.

un = ancos(nθ), un = ansin(nθ) avec θ 6= 0 mod 2π sont les termes g´en´eraux de s´eries convergentes. Si θ = π mod 2π, u_n = a_ne^inθ = (−1)ⁿa_n, X

u_n est une s´erie altern´ee convergente.

Si α >0, on montre en appliquant le th´eor`eme d’Abel que u_n= cos(nθ)

n^α est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente.

2.4 Produit de 2 s´ eries

D´efinition 2.45 La s´erie produit (appel´ee aussi produit de Cauchy) de X u_n et Xv_n est la s´erie X

w_n de terme g´en´eral wn = X

p+q=n

upvq.

Proposition 2.46 La s´erie produit X

n≥0

w_n de 2 s´eries absolument convergentes X

n≥0

u_n et X

n≥0

v_n est absolument convergente et sa somme est ´egale au produit des sommes deX

n≥0

u_n et X

n≥0

v_n.