Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 23
Semaine du 29/3/2021 au 3/4/2021 Questions de cours :
1. Caract´eriser les polynˆomes irr´eductibles de degr´es 1, 2 et 3 dansK[X].
2. D´ecrire les polynˆomes irr´eductibles deC[X] et de R[X].
3. Un polynˆome irr´eductible est premier avec tout polynˆome non nul qu’il ne divise pas.
4. Montrer queXn−2 est irr´eductible dansQ[X] pour toutn∈N∗.
5. SoitP ∈C[X] non constant. Montrer queP∧P′= 1 ⇐⇒ P est `a racines simples.
6. Justifier la bonne d´efinition de la d´eriv´ee d’une fraction rationnelle.
7. Donner deux expressions du coefficient d’un pˆole simple dans une d´ecomposition en ´el´ements simples dans C(X).
8. D´emontrer que les racines de P′ sont dans l’enveloppe convexe des racines deP.
Th` eme de la colle :
Alg` ebre K [ X ] des polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee
1. R´evisions.
2. Arithm´etique. PGCD, PPCM et polynˆomes irr´eductibles.
Corps K( X ) des fractions rationnelles ` a une ind´ etermin´ ee
Construction deK(X), manipulation des fractions rationnelles deK(X).
D´ecomposition en ´el´ements simples dansC(X).
Utilisation des sym´etries et de l’invariance par conjugaison (si la fraction est `a coefficients r´eels).
Vincent Bayle
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