Mémoire d'actuariat

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Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances pour l’obtention

du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

le 23 septembre 2008 Par : Arnaud LACOUME

Titre: Mesure du risque de réserve sur un horizon de un an

Confidentialité : _ NON OUI (Durée : 1 an 2 ans 5 ans)

Membre du jury I.A. Entreprise : Towers Perrin

M. THEROND Pierre

Membres du jury I.S.F.A.

M. AUGROS Jean-Claude

M. BIENVENÜE Alexis Directeur de mémoire :

Mme EYRAUD-LOISEL Anne Christian de La FOATA M. LAURENT Jean-Paul

M. LEBOISNE Nicolas M. LOISEL Stéphane

Mme MAUME-DESCHAMPS Véronique

M. PLANCHET Frédéric Secrétariat

M. QUITTARD-PINON François Mme GARCIA Marie-José Mme REY-FOURNIER Béatrice Mme BARTHELEMY Diane

M. RULLIERE Didier M. BRIAS Samy

Mme BRUNET Marie-Christine Mme GHAZOUANI Sondès

Invité : M. HUET Jean-Daniel

Mme MOUCHON Marie-Claude Bibliothèque :

Mme SONNIER Michèle

50 Avenue Tony Garnier 69366 Lyon Cedex 07 Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

M´ emoire pr´ esent´ e ` a l’Institut de Science Financi` ere et d’Assurances

pour l’obtention du diplˆ ome du Master Actuariat et l’admission ` a l’Institut des Actuaires

Par : Dongdong CHEN

Titre : Calibration de lois biom´etriques sur un portefeuille d’assurance d´ependance

Confidentialité : 2Non X Oui (Durée : 21 an X 2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité ci-dessus

Membre pr´esent du jury de l’Institut Entreprise :

des Actuaires : Nom : SCOR

Signature :

Directeur de M´emoire en entreprise : Membre pr´esent du Jury du Master Nom : Nicolas Heinrich

Actuariat de l’ISFA : Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise Secr´etariat :

Signature du candidat Biblioth`eque :

Institut de Science Financi`ere et d’Assurances – ISFA, 50 Avenue Tony Garnier, 69007 Lyon

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R´esum´e

L’amélioration du niveau de vie et les progrès de la médecine sont les principaux facteurs liés

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a une augmentation de l’espérance de vie humaine. Le vieillissement de la population dans le monde entier conduit aussi à un accroissement de la proportion d’individus en situation de perte d’autonomie. Par conséquent, de plus en plus de ménages sont intéressés par des produits Assurances dépendance privés car l’aide de l’état est loin d’être suffisante pour couvrir les coûts.

Le marché de l’assurance dépendance fran¸cais est un marché mature, les produits proposés par les assureurs s’adaptent à l’évolution des besoins des clients. Malgré de nombreux efforts fournis au niveau de la conception et de la tarification des produits, le risque dépendance est encore loin d’être maˆıtrisé en raison de son caractère complexe et croissant dans le temps.

L’objectif de ce mémoire est de calibrer les lois biométriques sur un portefeuille d’assurance dépendance. Tout d’abord nous commen¸cons par définir une population homogène à travers différents critères comme par exemple les années de survenance, les années calendaires, et les surprimes des assurés etc... ceci a pour but d’écarter de notre étude certains comportements atypiques des assurés qui peuvent potentiellement biaiser les résultats de calibration. Le calcul des taux d’incidence et de mortalité des autonomes est effectué par la méthode de maximum de vraisemblance dans un modèle à risques concurrents. Les taux sont ensuite lissés et nous utilisons des modèles paramétriques pour extrapoler les taux d’incidence jusqu’à 120 ans. La mortalité des dépendants a été estimée avec le modèle élaboré par Guillaume Biessy dans sa thèse Modélisation semi-markovienne de la perte d’autonomie chez les personnes âgées, l’hypothèse principale du modèle consiste à diviser les nouveaux dépendants en 2 groupes d’individus en fonction de la durée de vie passée en dépendance. Nous avons ensuite calibré la mortalité générale du portefeuille à l’aide de la méthode relationnelle de Brass, la loi de référence considérée

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etant la loi de mortalité fran¸caise. Enfin, l’information relative au décès des cotisants n’étant pas exhaustive, cela nous amène à considérer 2 scénarii dans l’estimation de la mortalité des autonomes par une méthode d’inférence récursive.

Mots-clés:Assurance dépendance;Modèle paramétrique;Modèle relationnel;Modèle à risques concurrents;Maximum de vraisemblance;Extrapolation;Méthode de lissage;Taux instantané.

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Over the past decades, improvements in living standards and medical progress have signif- icantly increased our life expectancy. Population is aging worldwide and thus elderly people are more likely to become dependent. As a result, more and more households are interested in private long-term care insurance products since state support is far from sufficient to cover costs.

The French Long-term care market is a demanding market, companies have to adapt to the ever changing needs of customers. Despite many efforts in product design and pricing, the risk of dependence is still far from under control because of its complex nature, especially because it evolves over time while the patient is aging.

The purpose of this thesis is to calibrate biometric laws on a long-term care portfolio. First of all we start by defining a fairly consistent population through different criteria such as the years of occurrence, the calendar years, and the extra premium of insureds etc. This definition could help us to filter cases that may possibly bias our calibration results. The incidence and mortality rates are calculated by using the maximum likelihood method. The rates are then smoothed and we use parametric models to extrapolate incidence rates up to 120 years. Mortality rates of dependent people are estimated by the model explained by Guillaume Biessy in the models Semi-Markovian modeling of the loss of autonomy in the elderly, the main hypothesis of the model was to divide new dependents into 2 groups according to the time spent in dependence.

We then calibrated the all-cause mortality of the portfolio using the relational method of Brass and considered French mortality law as the reference. Finally, due to the lack of exhaustive information on the autonomous deaths, we had to consider two scenarios in order to approach the actual autonomous mortality, by using recursive inference method.

Keywords:Long Term Care Insurance;Parametric model;Relational model;Competing risk model;maximum likelihood;Extrapolation;Smoothing method;Instantaneous rate.

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Remerciements

Je voudrais dans un premier temps remercier mon directeur du mémoire Monsieur Nicolas Heinrich, responsable de l’équipe Experience Analysis, pour sa patience, ses précieux conseils et surtout son temps consacré pour répondre à mes innombrables questions durant l’élaboration de mon mémoire.

Je remercie également Monsieur Guillaume Biessy pour ses conseils et ses explications, qui ont contribué à alimenter mes réflexions.

Je tiens à remercier mon tuteur académique Monsieur Yahia SALHI, maˆıtre de conférence

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a l’ISFA, pour ses conseils et suggestions. Je remercie également les professeurs de l’Institut de Science Financière et d’Assurances pour m’avoir fourni les outils et les connaissances nécessaires à la réussite de mes études.

Enfin, je voudrais remercier grandement mes amis Pierre, Wu Shao, Chupriya et Cl´ement pour leurs soutiens pr´ecieux et inestimables.

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Table des mati` eres

Remerciements 5

Table des mati`eres 7

1 Introduction 9

Introduction 9

2 Contexte et m´ethodes 11

2.1 L’assurance dépendance en France . . . 11 2.2 Hypothèses et Méthodologies . . . 14

3 Pr´esentation du Portefeuille de l’´etude 23

3.1 Présentation du produit Assurance Dépendance SCOR . . . 23 3.2 Préparation des données pour l’étude . . . 24 3.3 Statistiques descriptives . . . 27

4 Calibration des lois de transition des autonomes 33

4.1 L’outil Testing . . . 34 4.2 Pré-testing : détermination du portefeuille (une population homogène) pour l’étude . 34 4.3 Lois brutes d’incidence et de mortalité . . . 43 4.4 Choix de la méthode de lissage . . . 44

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4.5 M´ethodes d’extrapolation des lois d’incidence . . . 49

4.6 Extrapolation par les m´ethodes param´etriques . . . 51

5 Calibration de la loi de mortalit´e toute cause 53 5.1 Pr´e-testing . . . 54

5.2 Lois brutes de mortalit´e . . . 57

5.3 M´ethode d’extrapolation de BRASS . . . 60

5.4 Choix d’une loi de mortalité générale d’un portefeuille similaire . . . 63

6 Calibration de la loi de mortalité des dépendants 67 6.1 Pré-testing . . . 68

6.2 Mod`ele utilis´e . . . 71

6.3 Calibration de la loi de mortalit´e des d´ependants . . . 74

6.4 Back-testing pour les lois de mortalit´e des d´ependants . . . 79

7 Finalisation des lois biom´etriques 81 7.1 M´ethode Bouclage . . . 81

7.2 Passage des intensit´es aux probabilit´es de transition . . . 85

7.3 Pour aller plus loin . . . 88

Conclusion 89

Bibliographie 90

Annexes 93

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Chapitre 1

Introduction

Si l’état de dépendance est fortement lié à l’âge, les prévisions de l’INSEE [Robert-Bobée (2018)]

indiquent une forte augmentation de l’esp´erance de vie `a la naissance d’ici 2060, passant de 78.4

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a 86 ans pour les hommes et de 84.8 `a 91.1 ans pour les femmes. L’INSEE estime ´egalement que la population senior de plus de 60 ans pourrait atteindre un tiers de la population totale en 2050, soit une part deux fois plus importante qu’en 2005.

En 2018, on dénombre 15 millions de fran¸cais âgés de plus de 60 ans en France. Selon les études récentes de l’INSEE [Laborde et al. (2017)] réalisées sur un échantillon de 2,2 millions d’individus de cette tranche d’âges, près d’un quart déclarent des problèmes fonctionnels sévères, parmi ces derniers, environ 170 mille sont identifiés comme dépendants. Le vieillissement de la population s’accompagne de l’amélioration de l’espérance de vie, si la majorité des individus vieillissent dans de bonnes conditions d’autonomie, l’âge moyen de perte d’autonomie (83 ans aujourd’hui) augmente moins vite que celle l’espérance de vie en général, ce qui signifie que la période de dépendance est globalement croissante. La dépendance coûte cher, les dépenses sont liées essentiellement aux aménagements des locaux, aux loyers des chambres dans des établissements d’hébergement et aux emplois des aides à domicile. Les dépenses publiquesAllocation Personnalisée d’Autonomiene couvrant qu’une partie des charges totales des résidents dépendants, ces derniers doivent avoir recours aux assurances privées.

Le risque lié à l’état de dépendance est complexe à cause de son caractère évolutif et de son engagement sur long terme. Les réassureurs aident les assureurs à effectuer des suivis permanents sur leurs produits d’assurance dépendance afin de mieux appréhender les évolutions de leurs portefeuilles d’assurance sur leurs provisions et leurs bénéfices. L’étude du risque dépendance est possible à l’aide de la construction des lois biométriques telles que le taux de mortalité des cotisants, l’incidence de la perte d’autonomie et la durée de vie des dépendants. Ces lois peuvent nous aider

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a conduire une évaluation plus précise des engagements associés.

Dans ce mémoire, nous décrirons un ensemble de processus pour calibrer les différentes lois dans un modèle dépendance à 3 états, en prenant comme hypothèse l’impossibilité de retour à l’état d’autonomie pour un dépendant. Tout d’abord nous ferons une présentation de l’assurance dépendance en France, des différents critères d’évaluation du niveau de perte d’autonomie et des rappels des notions actuarielles nécessaires pour la suite de l’étude. Dans une seconde partie,

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nous présenterons le produit d’assurance dépendance qui servira de base à l’étude, accompagné de données statistiques qui nous donneront une première approche du portefeuille. Enfin, nous ap- pliquerons les différentes méthodes de calibration pour estimer les taux de mortalité des autonomes, de passage en dépendance et de mortalité des dépendants. Nous ferons une comparaison des lois d’expériences construites avec les lois de référence SCOR pour avoir une idée sur leur cohérence par rapport aux autres portefeuilles d’assurance dépendance que SCOR possède.

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Chapitre 2

Contexte et m´ ethodes

2.1 L’assurance d´ ependance en France

2.1.1 Contexte et quelques chiffres

L’assurance dépendance regroupe un ensemble de garanties qui ont pour but à couvrir les frais inhérents à la survenance d’une perte d’autonomie plus ou moins importante. Selon un sondage d’Autonom-ease [AutonomEase (2018)] réalisé en mai 2016 sur un échantillon de deux mille individus, environ trois quarts des personnes interrogées préfèrent la prise en charge à domicile des personnes âgées que de faire appel à des établissements spécialisés. Les assureurs ont su adapter leurs produits aux besoins de leurs clients : les garanties d’une assurance dépendance sont principalement sous forme d’une rente viagère quand l’assuré passe en dépendance, accompagnée souvent des services d’assistance et d’une garantie capital, souvent optionnelle, destinée à faire face aux frais d’aménagements du domicile.

Selon les chiffres du Haut Conseil de la famille de l’enfance et de l’âge (HCFEA) [et Ro- meo Fontaine (2018)], 6,8 millions d’individus sont assurés pour la couverture de ce risque en 2015 dont environ 50% ont souscrit auprès des sociétés d’assurances privées. Les cotisations globales sont estimées à 751 millions d’euros fin 2015, le montant de prestations versées est de 238 millions d’euros et la rente mensuelle moyenne est de 585 euros. Quant au montant des provisions constituées en 2016, il est estimé à 5,1 milliards d’euros, en hausse d’environ 7% en un an.

Il existe différents instruments qui permettent d’évaluer le niveau de dépendance d’un individu en perte d’autonomie. Dans la partie suivante, nous allons présenter brièvement 3 définitions différentes qui sont les AVQ, la grille AGGIR et les contrats labélisés.

2.1.2 Activit´es de la Vie Quotidienne

Le principe est de compter le nombre d’Activités de la Vie Quotidienne (AVQ) que l’individu est capable d’exercer avec ou sans équipements adaptés ou assistance d’une tierce personne afin

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d’´evaluer le niveau de d´ependance. Les AVQ sont au nombre de 6 :

— La toilette : capacité de satisfaire à un niveau d’hygiène et de toilette acceptable.

— L’habillage : capacit´e de s’habiller et se d´eshabiller seul.

— L’alimentation : capacité à se servir et à manger de la nourriture préparée préalablement.

— La continence : capacit´e d’assurer les besoins, avec utilisation possible des protections pr´evues et des appareils chirurgicaux.

— Le déplacement : pouvoir se déplacer à l’intérieur de son logement (surface plane ou aménagée),ou de s’en extraire en cas de danger imminent.

— Les transferts : pouvoir se déplacer d’un lit à une chaise ou un fauteuil, ou inversement La plupart des contrats d’assurance choisissent quatre AVQ pour définir le degré de dépendance des individus. Si trois AVQ sur quatre sont jugées invalides, l’individu sera atteint d’une dépendance dite lourde par comparaison à la dépendance légère pour laquelle deux AVQ sur 4 sont validées.

2.1.3 Grille AGGIR (Autonomie G´erontologie Groupe Iso-Ressources)

Cette grille d’évaluation a été créée par des médecins de la sécurité sociale et la Société Fran¸caise de Gérontologie en 1997, une personne en état de dépendance est classée dans un des six groupe iso-Ressources. Ce tableau est aussi utilisé pour évaluer si la personne en perte d’autonomie est éligible à l’APA (Allocation personnalisée d’autonomie), seuls les quatres premiers groupes donnent droit à une prestation.

L’évaluation est basée sur la capacité de l’individu à effectuer les activités définies par AGGIR, la grille liste 10 activités dites discriminantes et sept activités dites illustratives. Les activités discriminantes servent à déterminer le groupe ”iso-ressources” (GIR) dont relève la personne

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evaluée, tandis que les activités illustratives servent à apporter des précisions ou des informations complémentaires sur l’état de santé de l’individu.

Les tableaux des six groupes Iso-Ressources et les activités permettant l’évaluation de l’état de santé de l’individu sont fournis en annexe.

2.1.4 Contrat lab´elis´e GAD

Les contrats d’assurance dépendance sont souvent difficilement comparables à cause de la variété des garanties et des différents critères d’évaluation utilisés, nous en avons présenté deux précédemment mais il en existe bien plus. Afin de répondre aux inquiétudes des fran¸cais sur la perte d’autonomie et les aider à faciliter leur choix entre les différents produits Dépendance, la FFSA a créé le label GAD (Garantie Assurance Dépendance) en 2013. Les contrats labélisés GAD doivent respecter neuf critères, listés dans le tableau suivant :

— L’utilisation d’un vocabulaire permettant une grande clart´e des garanties.

— La définition unitaire de la ”dépendance lourde” par la grille AVQ(Actes élémentaires de la Vie Quotidienne).

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2.1. L’ASSURANCE D ´EPENDANCE EN FRANCE 13

— Le format viager de la garantie, sans tenir compte de la date d’apparition de la d´ependance lourde.

— L’instauration d’une rente d´ependance minimale de 500 euros par mois, en cas de d´ependance lourde.

— La d´efinition contractuelle des revalorisations des garanties et des cotisations.

— Aucune s´election m´edicale pour les souscriptions avant 50 ans.

— Dès la signature du contrat, proposition d’actions de prévention et d’accompagnement à l’assuré et aux aidants.

— Une information annuelle du montant des cotisations et des garanties.

— La possibilit´e de maintenir les droits en cas de suspension du paiement de la cotisation d´ependance.

Le label GAD laisse à l’assureur le choix d’inclure ou non une garantie de dépendance partielle et la liberté de définir le niveau de sévérité dans l’établissement du questionnaire de santé, qui joue un rôle important dans la tarification.

2.1.5 Fonctionnement d’un contrat en Assurance d´ependance

Dans le cas général, un contrat d’assurance dépendance propose une garantie totale et une garantie partielle, souvent accompagnée d’une garantie Capital optionnelle. De plus en plus, l’assurance propose un service assistance qui aide les assurés et leurs familles à préparer la dépendance des assurés. L’assurance dépendance peut être souscrite individuellement par les individus ou de fa¸con collective par les entreprises.

Dans le cadre d’une souscription individuelle, l’assuré paye une cotisation mensuelle, fixe en général, jusqu’à ce qu’il passe en dépendance ou décède. Le montant de la cotisation varie en fonction de l’âge à l’adhésion de l’assuré et des majorations peuvent être appliquées en fonction de l’état de santé de l’assuré au moment de la souscription. Dans le cadre d’une assurance collective, une entreprise souscrit auprès d’un assureur une assurance dépendance collective pour l’ensemble de ses salariés : l’employeur paye une partie des primes et les salariés payent le complément.

Les cotisations des salariés peuvent être forfaitaires ou en pourcentage du salaire. Par ailleurs l’assureur doit proposer un contrat relais qui accompagne le contrat collectif : un salarié quittant l’entreprise et souhaitant conserver ses droits acquis en termes de garantie dépendance peut adhérer au contrat relais , ce dernier permet donc aux ex-salariés d’être couverts par l’assurance sans avoir cotisé à fond perdu.

En échange des primes, l’assureur doit payer à l’assuré une rente viagère qui est égale à 50%

(resp. 100%) du montant de rente totale garantie si ce dernier passe en d´ependance partielle (resp.

dépendance totale). La garantie Capital permet à l’assuré de recevoir un paiement sous forme de capital dès qu’il passe en dépendance dans le but de couvrir les frais éventuels liés à l’aménagement du logement.

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2.1.6 Rˆole du r´eassureur

Le réassureur a pour rôle de soutenir la cédante dans le but de réduire la variabilité de la sinistralité, de diminuer le besoin en fonds propres de l’assureur et d’apporter son savoir-faire dans la maˆıtrise de ses risques. Le risque dépendance est un risque nouveau et complexe, les premières assurances garantissant la perte d’autonomie sont lancées autour des années 90 et les réassureurs ont participé activement à la mise en place de ces produits. Les réassureurs apportent leur expertise technique au niveau de la tarification du produit et aident les assureurs à piloter le risque encouru par le portefeuille : la suffisance du montant de provisions et la nécessité ou non d’un plan de redressement sont des sujets souvent en discussion pour assurer la bonne pérennité du produit.

SCOR est le 4ème réassureur de personnes dans le monde et possède plus de 30 années d’expérience du risque dépendance sur le marché fran¸cais. Pour mieux accompagner et anticiper les évolutions du marché et du risque dépendance, un centre de recherche dédié à cette garantie a été créé en 2002.

Le Centre International de Recherche Développement sur l’Assurance Dépendance (CIRDAD) fournit des services complets sur les traités de réassurance dépendance réassurés par SCOR. Il intervient entre autres dans l’élaboration des bases techniques spécifiques, le suivi des portefeuilles et la communication des informations sur l’évolution du risque et les produits sur les marchés.

2.2 Hypoth` eses et M´ ethodologies

Le but de cette partie est de présenter les hypothèses nécessaires qui sont prises en considération pour la suite de l’étude et quelques définitions nécessaires pour estimer les probabilités condition- nelles de sorties (décès ou dépendance) des individus en état d’autonomie et la probabilité de décès des dépendants. Nous allons tout abord présenter la notion de l’intensité de transition, l’hypothèse choisie pour estimer les valeurs de ces intensités entre deux âges successifs, puis nous allons voir le modèle à risques concurrents et la méthode de calcul des taux d’intensité bruts.

Le but du mémoire est d’étudier le comportement des assurés d’un portefeuille d’assurance dépendance grâce à la construction de 4 lois d’expérience suivantes :

— Loi de passage en d´ependance (1)

— Loi de mortalit´e des autonomes (2)

— Loi de mortalité générale (3)

— Loi de mortalit´e des d´ependants (4)

Pour modéliser le risque dépendance, nous utilisons un modèle à 3 états, les lois ci-dessus sont aussi appelées lois de probabilité de transition puisqu’elles permettent le passage d’un état à un autre, le schéma du modèle est le suivant :

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2.2. HYPOTH `ESES ET M ´ETHODOLOGIES 15

Fig 1 : modélisation à 3 états du risque Dépendance

La mortalité générale (numéro 3 du schéma) représente le taux de décès de l’ensemble des assurés (autonomes ou dépendants) présents dans le portefeuille, elle sera étudiée dans le chapitre cinq.

2.2.1 Les intensit´es de transition

L’intensité de transition est la probabilité de passage d‘un état à un autre durant un lapse de temps. Dans notre modèle, il existe quatre intensités de transition qui sont :

— µa(x),l’intensité de décès d’un individu en état d’autonomie.

— µg(x), l’intensité de décès pour un quelconque individu.

— λ(x), l’intensit´e de passage en d´ependance.

— µi(x), l’intensité de décès des dépendants .

Intuitivement, en termes de formules de probabilité, elles s’écrivent de la manière suivante : Soit Zx une variable indiquant l’état d’un individu à l’âge x appartenant à l’ensemble {A, D, I}, ces lettres désignent respectivement Autonomie, Décédé et Dépendant.

µa(x) = lim

−>0

−1

P(Zx+ =D|Z_x=A) µg(x) = lim

−>0

−1

P(Zx+=D|Z_x ∈ {A, I}) λ(x) = lim

−>0

−1

P(Zx+ =I|Z_x =A) µi(x, t) = lim

−>0

−1

P(Zx+t+ =D|Z_x−⁰ =A, Zx =I, Zx+t=I) avec⁰ tr`es proche de 0

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2.2.2 Hypoth`eses sur les intensit´es de transition

Nous savons exprimer les intensités de transition en fonction des âges entiers, quelles seront leurs valeurs pour des âges non entiers ? En l’absence d’information sur le nombre de décès durant une année, les actuaires doivent prendre des hypothèses dans leurs travaux, trois hypothèses sont souvent utilisées :

(HP1) Hypothèse de répartition uniforme des décès : On suppose que le taux de changement d’état conditionnel est distribué uniformément sur [x,x+1[, elle revient à considérer la relation suivante :

Nx+t=Nx+t(Nx+1−Nx)

Avec t∈ [0,1[ et Nx le nombre d’individus en ann´ee x. En consid´erant que le taux de transition q_x= ^N_N^x+1

x , la relation peut encore s’´ecrire sous la forme suivante :

tq_x=tq_x

Cette formule est peu évidente pour la tranche d’âge élevée où le taux de transition de fin d’année présente une différence significative par rapport au taux du début d’année.

(HP2) Hypoth`ese de Balducci :

1−tqx+t= (1−t)qx ∀t∈[0,1[ (1)

Une autre écriture de la relation précédente est la suivante (démonstration voir Annexe) :

tqx= _p ^tq^x

x+tqx −→

t−>1qx

Grâce à la relation (1), l’hypothèse Balducci permet d’exprimer l’intensité de transition de la manière suivante avec t ∈[0,1[ :

µ_x+t= ^δ(ln(_δt^t^p^x⁾⁾ = _p ^q^x

x+t∗qx

Cette hypothèse rend l’intensité de transition décroissante dans l’année, elle suppose que l’individu se rajeunit entre [x,x+1[ , ce qui ne correspond pas à la réalité (que ce soit pour la mortalité ou pour l’incidence).

(HP3) Hypoth`ese de la constance de l’intensit´e de transition :

L’intensité de décès ou de passage en dépendance est constante sur [x,x+1[ :

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2.2. HYPOTH `ESES ET M ´ETHODOLOGIES 17 µ_x+t=µ_x ∀t∈[0,1[

Antoine Delware et Michel Denuit ont comparé l’impact des 3 hypothèses dans la calibration des lois biométriques et ont obtenu les résultats suivants :

Fig 2 et 3 : Simulation des décès en fonction des hypothèses

Le premier graphique à gauche montre l’impact des 3 hypothèses sur l’estimation des taux instantanées de mortalité à partir de la table masculine fran¸caise 2000-2002. Le 2^`ême graphique montre l’influence de ces hypothèses sur le nombre moyen de survivants à partir de la même table.

Les actuaires utilisent souvent l’une de ces 3 hypothèses pour définir les taux de mortalité au niveau des âges non entiers. D’après le graphique à droite, on peut observer que l’hypothèse de Balducci (HP2) surestime la mortalité par rapport aux 2 autres et que l’hypothèse de répartition uniforme des décès (HP1) la sous-estime. Pour assurer la cohérence de l’étude actuelle avec les autres études chez SCOR, nous allons considérer l’hypothèse de la constance du taux instantané par morceau (HP3), elle est un compromis des deux autres hypothèses précédentes comme nous pouvons l’observer sur la figure 3 : la droite représentant l’effectif des survivants sous HP3 se situe entre celle de l’HP1 et de l’HP2.

2.2.3 Les intensités et les probabilités de transition 2.2.3.1 Modèles à 2 états

Dans un monde où il n’existe que 2 états, l’intensités de transition d’un état à un autre peut s’écrire en fonction de la probabilité de transition qui lui est associée. Prenons par exemple un

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modèle à 2 états qui sont {Vivant, Décès}, les individus vivants comprennent les autonomes et les dépendants, leur seule cause de sortie possible est le décès. Dans ce contexte, la seule loi de changement d’état du modèle est la loi de mortalité générale appelée aussi la mortalité de toute cause, le schéma illustrant le modèle est le suivant :

Fig 4 : Modèle à 2 états

Sous l’hypothèse de la constance de l’intensité de transition (HP3), l’écritures de l’intensité de transition µg(x) associée à la probabilité de décès est la suivante :

q_g(x) = 1−e^−µ^g^(x)

2.2.3.2 Mod`eles `a risques concurrents

Le modèle décrit précédemment est un modèle à 2 états qui n’est pas suffisant pour modéliser le risque dépendance. Un assuré en état d’autonomie peut avoir 2 destinations différentes qui sont le décès et la dépendance. Nous avons donc besoin d’utiliser un modèle à risques concurrents pour représenter ce phénomène où le risque de décès et le risque de dépendance sont simultanément présents pour un individu en état d’autonomie. La formule évoquée précédemmentqx= 1−e^−µ^(x) est valable uniquement dans le cadre d’un modèle à 2 états pour une sortie toute cause confondue alors que dans un modèle à risques concurrents, le termee^−µ^(x) n’est plus une probabilité et nous avons besoin d’autres relations pour établir le lien entre les probabilités et les intensités de transition. A l’aide d’un modèle additif, nous supposons que la probabilité de changement d’état en un lapse de temps partant de l’état d’autonomie est la somme de la probabilité de décès et la probabilité de passer en dépendance, ceci signifie qu’à chaque instant, l’individu peut soit devenir dépendant soit décéder (il n’y a pas de notion d’ordre entre les 2 destinations) :

P(Z_x+ =A|Z_x=A) = 1−P(Z_x+=I|Z_x=A)−P(Z_x+ =D|Z_x=A) avecproche de 0

Le modèle peut être représenté par le schéma suivant :

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Fig 5 : Mod`ele `a risques concurrents

Nous détaillons ci-dessous la méthode pour retrouver la formule deqa(x) en fonction de son intensité de transition associée :

Soit x : l’ˆage de l’assur´e, (u, v)∈[x, x+ 1] tel que v < u:

q_a(x) =

x+1

R

x

P[Z_u =D, Z_v =A|Z_x=A]du qa(x) =

x+1

R

x

P[Zu =D|Z_v=A, Zx =A]∗P[Zv =A, Zx=A]]du

qa(x) =

x+1

R

x

µa(u)e

−

u

R

x

(µa(v))+λ(v))dv

du

La formule de i_x peut être obtenue de la même manière :

i(x) =

x+1

R

x

λ(u)e

−

u

R

x

(µa(v))+λ(v))dv

du

Avec

— e

−

u

R

x

(µa(v))+λ(v))dv

la probabilité conditionnelle de rester autonome en u, c’est à dire la probabilité conditionnelle de survie de rester en état d’autonomie dans [x,u[.

— µa(u) (resp λ(u)) représente l’intensité de mortalité (resp. d’incidence) avec u qui prend valeur dans [x,x+1[.

Sous l’hypothèse de la constance de l’intensité de transition sur [x,x+1[ (HP3), les 2 formules précédentes peuvent encore s’écrire de la fa¸con suivante (cf la démonstration en annexe) :

q_a(x) = _µ ^µ^a^(x)

a(x)+λ(x)(1−e^−(µ^a^(x)+λ(x))) (2) i(x) = _µ ^λ(x)

a(x)+λ(x)(1−e^−(µ^a^(x)+λ(x))) (3)

On retrouve ainsi les lois de mortalité et d’incidence qu’on cherche à modéliser, de plus les formules (2) et (3) correspondent bien au modèle additif présenté précédemment puisque :

(20)

P(Zx+1 =A|Z_x=A) = 1−qa(x)−i(x) =e^−(µ^a^(x)+λ(x))

2.2.4 Le calcul des taux par la m´ethode de Maximum de Vraisemblance

Deux principales méthodes sont utilisées par les actuaires pour calculer les probabilités de transition : la méthode de Kaplan Meier et la méthode par Maximum de Vraisemblance connue aussi sous le nom de la méthode de Hoem . Dans notre étude la méthode de Hoem est utilisée.

Les informations nécessaires pour le calcul des taux de passage en dépendance et des taux de mortalité pour chaque assuré doivent contenir les éléments suivants :

— x_i : l’âge de l’assuré i au début de la période d’observation

— y_i : l’âge de l’assuré i à la date de sortie

— ci : la cause de sortie, il prend sa valeur dans{0,1,2}qui désignent respectivement{vivant, décès, passage en dépendance}

— s_i : le sexe de l’assur´e i.

Le calcul de taux d’incidence et de mortalité des autonomes est possible grâce aux informations contenues dans (x_i, y_i, c_i, s_i), à partir de ces dernières, les termes suivants peuvent être calculés pour chaque âge :

— N : le nombre d’assurés considéré dans l’étude

— E_x =

N

P

i=1

max(0, min(y_i, x+ 1)−max(x_i, x)) : l’exposition qu’on appelle l’exposition centrale pour un âge x ; il correspond au nombre total d’années survécues par les individus entre les ˆ

ages x et x+1.

— Dx ou Ix : le nombre de décès ou d’incidences observés entre [x,x+1[ : Dx=

N

P

i=1

1_{c_i_=1}1_[x,x+1[(yi) Ix=

N

P

i=1

1_{c_i_=2}1_[x,x+1[(yi)

Dans la suite, nous allons considérer uniquement les taux de décès, en effet, les formules pour les taux d’incidences sont déterminées avec le même principe.

En utilisant la méthode de maximum de vraisemblance, les estimateurs des intensités de transition sont calculés en maximisant la vraisemblance suivante :

L_µ_a =

N

Q

i=1

µ_a(y_i)¹⁽^ci⁼¹⁾ ∗e

−^yiR

xi

µa(u)du

Interprétation de la formule précédente :

— Pour un assuré vivant à la fin de la période d’observation, sa contribution à la vraisemblance est e

−^yiR

xi

µa(u)du

qui peut s’interpr´eter comme la probabilit´e de survie de l’individu.

— Un assuré décédé à l’âgeyi, alors sa contribution à la vraisemblance est la composition de la probabilité de survie et le taux instantané de mortalité :µ_a(y_i)¹⁽^ci⁼¹⁾

Au lieu de considérer le produit des vraisemblances des individus, nous pouvons considérer le produit des vraisemblances sur les âges, l’équation précédente peut encore s’écrire :

(21)

Lµa =Q

x

µa(x)^D^x∗e^−E^X^µ^a^(x) (4)

En maximisant le log(Lµa) par rapport `a µa, les estimateurs des intensit´es sont : ˆ

µ_a(x) = ^D_E^x

x

ˆλ(x) = _E^I^x

x

Ainsi, en utilisant les équations (2) et (3) évoquées précédemment et sous l’hypothèse de la constance de l’intensité de transition entre [x,x+1[, nous obtenons les estimateurs ˆq_a(x) et î(x) du modèle à risques concurrents.

Nous pouvons remarquer que l’expression de l’équation (4) est à un facteur constant près de la vraisemblance deD_x, en considérant cette dernière une variable aléatoire suivant une loi de poisson de paramètreµaEx. Par conséquent, nous pouvons considérer que la loi de poisson peut modéliser correctement le nombre de décès par âge.

ˆ

µa(x) et ˆλ(x) sont les estimateurs de maximum de vraisemblance et ont pour caractéristiques d’être asymptotiquement sans biais et distribués asymptotiquement selon une loi normale. On retrouve :

E[ˆµa(x)] = µa(x)(Sans biais)

= ^D_E^x

x(pt´e. Loi de poisson) V ar[ˆµa(x)] = ^D_E^x2

x

E[ˆλ(x)] = λ(x)(Sans biais)

= _E^I^x

x( pt´e. Loi de poisson) V ar[ˆλ(x)] = _E^I^x2

x

L’intervalle de confiance à 95% est beaucoup utilisé dans le domaine statistique pour estimer une fréquence à partir d’une probabilité. Dans notre cas, il permet d’avoir une idée sur quel intervalle varie l’intensité dans les 95% des cas. Bien entendu, plus cette intervalle de seuil 95% est petite plus l’estimateur est efficace puisque sa variance sera petite.

µa(x)∈[^D_E^x

x ∓1.96∗

√ Dx

Ex ] λ(x)∈[_E^I^x

x ∓1.96∗

√ Ix

Ex ]

(22)

(23)

Chapitre 3

Pr´ esentation du Portefeuille de l’´ etude

Le but du mémoire est de présenter tout le processus de calibration des lois biométriques pour le risque dépendance, il détaille les différentes méthodes de calibration des lois en se basant sur les données d’un produit d’assurance dépendance. Désormais, nous appelons ce produit l’Assurance Dépendance SCOR, l’un des plus anciens portefeuilles en assurance dépendance que SCOR réassure sur le marché fran¸cais. Ce produit est actuellement enRun-off.

Cette partie de l’étude a pour but de donner une approche statistique du portefeuille Assurance Dépendance SCOR et de présenter les différentes manipulations nécessaires sur les données avant de passer à l’étape de calibration des lois.

3.1 Pr´ esentation du produit Assurance D´ ependance SCOR

Assurance Dépendance SCOR est un produit d’assurance dépendance dont les critères d’évaluation du niveau de dépendance sont basés sur les AVQ (Activité de la Vie Quotidienne). Il ne propose qu’une garantie couvrant la dépendance totale : une perte d’autonomie équivalent à une incapacité d’effectuer 3 des 4 activités de la vie quotidienne. Un assuré, adhérant au contrat, doit payer une prime dont le montant est fixé à l’avance, si l’expertise constate une perte d’autonomie sur au moins 3 activités de la vie quotidienne parmi les 4, l’assuré recevra la prestation prévue sous forme d’une rente viagère.

Les termes du contrat pr´evoient :

L’assuré est considéré dépendant lorsqu’il se trouve dans l’incapacité définitive d’accomplir seul, c’est à dire sans l’assistance d’une tierce personne, 3 des 4 catégories d’actes ordinaires de la vie courante :

— S’alimenter

— Se laver et se vˆetir

— Se déplacer à l’intérieur de son logement 23

(24)

— Se lever et se coucher

Le contrat prévoit un délai de carence, la période où la garantie ne s’applique pas en cas de dépendance, il a pour rôle de compléter l’examen médical et de lutter contre l’anti-sélection. Les termes du contrat citent : la couverture est acquise directement en cas de dépendance suite

`

a un accident, après un délai de carence de trois ans si la dépendance est due à une maladie neurodégénérative ou une démence sénile, et enfin après un délai d’un an pour toutes les autres causes de dépendance .

Les conditions générales précisent une autre clause donnant lieu à une période de consolidation pour les dépendants : la franchise. Elle est absolue, c’est à dire que l’assuré en perte d’autonomie ne sera indemnisé qu’après la période de consolidation. Par conséquent, le premier versement de rente pour les nouveaux dépendants n’aura lieu qu’au 4^`ême mois.

3.2 Pr´ eparation des donn´ ees pour l’´ etude

Dans ce paragraphe, nous allons créer une base de données propre récapitulant correctement tous les changements d’état de santé des assurés, cette étape qu’on qualifie de nettoyage de données est une étape cruciale, une étape où les erreurs ne sont pas permises. Les fichiers à dispositions sont au nombre de deux : un fichier Cotisantet un fichier Rentier.

3.2.1 Fichier des cotisants

Amélioration du système de reporting des décès des autonomes :

Le portefeuille étant très ancien, le service gestion n’avait pas la capacité nécessaire pour un bon suivi des états de santé des cotisants (absence d’informations exhaustives sur leurs causes de sortie), par conséquent certains décès des autonomes n’ont pas de date de décès renseignée dans la base de données Cotisantmais possèdent une date de sortie. Nous verrons dans la partie 4 qu’une amélioration du système de Reporting des décès a eu lieu au cours de temps, mais la part des décès manquants du portefeuille nous oblige à étudier avec précaution la loi de mortalité des autonomes, la calibration de celle-ci sera finalisée dans le chapitre 7.

Des traitements sont apportés aux données re¸cues afin de les rendre exploitables. Les corrections consistent entre outre à :

— Supprimer les doublons dont l’origine peut être une re-souscription de garantie suite à la résiliation de celle-ci.

— Synthétiser les informations issues d’un même assuré : cette opération peut concerner une demande d’ajout de garantie pour une rente plus élevée.

— Corriger les erreurs de saisie.

Le principe est de synthétiser les informations en une ligne de données par assuré récapitulant toutes les informations du contrat et celles concernant les changements d’état d’un assuré.

(25)

3.2. PR ÉPARATION DES DONN ÉES POUR L’ ÉTUDE 25 Absence d’information des décès des dépendants les 3 premiers mois :

Dans la base des données Cotisant, les décès des assurés sont enregistrés avec une date de décès, au cours de notre étude, nous avons remarqué que cette base contient aussi les dépendants qui sont décédés durant la période de consolidation de l’état de dépendance. Les assurés passés en dépendance et décèdant dans les 3 mois suivant leur date de passage en dépendance ont une date de décès renseignée dans le fichier Cotisant , ils ne sont pas enregistrés dans la base des rentiers. Par conséquent, nous n’avons pas les moyens de distinguer si un assuré est décédé en état d’autonomie ou en état de consolidation. Cette méthode d’enregistrement nous a obligé à adapter notre méthode de calibration des lois, une raison de plus d’étudier plus attentivement les lois de changement d’état des autonomes.

En résumé, à cause de l’absence d’informations exhaustives des assurés décédés pendant la période de la franchise, nous sommes amenés à considérer en premier lieu les éléments suivants :

— les individus considérés comme des dépendants sont des assurés qui sont passés en état de dépendance et qui ont survécu au minimum 3 mois dans cet état.

— Les décès en état d’autonomie incluent les décès des dépendants durant la franchise.

— L’absence d’information exhaustive concernant les décès des autonomes nous oblige à être très prudent quant à l’étude de la loi de mortalité des autonomes, nous devons trouver une méthode pour corriger ce manque d’information. Nous verrons plus tard que c’est aussi la raison pour laquelle nous avons considéré deux lois de mortalité générale (partie 5), ces dernières seront servies pour calibrer et finaliser la loi de mortalité des autonomes.

Format des donn´ees

Après avoir traité les données, elles sont synthétisées sous le format suivant : Sexe

Date de naissance

Date de souscription ou la date d’effet du contrat Date de passage en d´ependance

Date de d´ec`es Montant de garantie

Pour chaque assuré présent dans la base des cotisants, une seule ligne de données lui est associée, elle doit contenir au minimum des informations concernant les variables citées ci-dessus.

3.2.2 Le fichier des rentiers

Comme nous l’avons indiqué précédemment, les rentiers considérés dans le fichier sont des individus qui ne sont pas capable d’effectuer 3 activités sur 4 des AVQ listées dans la partie 3.1 et qui ont vécu au moins 3 mois dans l’état de dépendance. Le service gestion nous a confirmé que tous les rentiers sont enregistrés dans le fichier Rentier, ces dépendants ont au moins re¸cu une rente, c’est à dire qu’ils ont tous survécu les 3 premiers mois de dépendance. Nous verrons plus tard que les lois de transition des autonomes sont calibrées avec prise en compte de la franchise, nous retirerons l’effet de la franchise de nos lois dans le chapitre 7.

(26)

Quelques traitements et hypothèses sont utilisés durant la restructuration des données de la base des rentiers :

— Les rentiers qui n’ont pas de date de souscription sont supposés avoir cotisé 10 ans avant leur date d’entrée en dépendance. La date de souscription des rentiers sera utilisée pour étudier la loi de mortalité toute cause dans le chapitre 5.

— Certains rentiers possèdent des lignes de rentes de montants différents, ce sont des rentiers qui ont ajouté des garanties durant leur période de cotisation. Les montants de leurs rentes s’ajoutent.

Pour chaque rentier, une seule ligne de donn´ees lui est associ´ee, elle contient au minimum des informations concernant les variables suivantes :

Sexe

Date de naissance Date de souscription

Date de passage en dépendance totale Date de décès

Montant de rente

3.2.3 Jointure des bases de donn´ees

Dans la base des cotisants, la date de sortie des assurés peut être à l’origine de plusieurs motifs de sortie :

— L’assuré peut avoir résilié le contrat

— L’assur´e est devenu d´ependant

Avec seulement les données de la base des cotisants, il n’est pas possible d’identifier si un assuré sorti a résilié le contrat ou est passé en dépendance. Pour calibrer des lois d’incidence, il est nécessaire d’identifier en amont les causes de sortie des cotisants, une jointure entre la base des cotisants et la base des rentiers est nécessaire. Cette étape de jointure a non seulement pour objectif de cibler les passages en dépendance des assurés mais aussi pour vérifier la cohérence entre les données enregistrées dans les 2 fichiers, par exemple nous pouvons vérifier les dates de passage en dépendance, les dates de décès et les dates de naissance etc... Tous les dépendants de la base des rentiers doivent retrouver les informations liées à leur période de cotisation dans la base des cotisants, nous devons aussi nous assurer que :

— Chaque rentier doit être joint à une seule ligne de données dans la base des cotisants.

— Pour un rentier, sa date de sortie de la base des cotisants doit être la même que la date d’entrée en dépendance de la base des rentiers.

(27)

3.3. STATISTIQUES DESCRIPTIVES 27

3.3 Statistiques descriptives

Avant de procéder à une étude plus approfondie, il est important de savoir à quel type de population nous avons affaire et d’avoir une vision globale du portefeuille. Cette partie présente quelques éléments statistiques pour mieux illustrer la composition du portefeuille.

3.3.1 Assurance D´ependance SCOR – Cotisants

Nombre d’assur´es de la base d’´etude 200 000

Age moyen `a l’adh´esion 63 ans

Pourcentage d’homme 43%

Nombre d’autonomes non r´eduits `a la date d’extraction 110 000

Nombre de d´ec`es 35 000

Fig 6 : Nombre de contrats par ˆage

Le graphique précédent montre la répartition du nombre de souscriptions par âge et par sexe.

Nous pouvons remarquer que la population de 60-70 ans est la plus à même à souscrire la garantie et le portefeuille présente davantage de femmes que d’hommes.

(28)

Fig 7 : Nombre de contrats par ann´ee de souscription

La date de début de commercialisation du produit Assurance Dépendance SCOR est en 1988 mais les ventes sont dérisoires les premières années, elles ont ensuite explosé dans les années 1998- 2001, sûrement grâce à une amélioration de la stratégie de commercialisation. Le produit est en Run-off en fin 2002, bien que l’on observe malgré tout quelques contrats souscrits en 2003, dû vraisemblablement à des retards dans la prise en compte des souscriptions par le service de gestion.

Fig 8 : Répartition des assurés en fonction de l’état actuel du contrat

Ce diagramme circulaire montre la répartition des états des assurés dans notre portefeuille. Le portefeuille est très ancien, ce qui explique un nombre important de décès et de chutés (contrats résiliés). Nous comptons aujourd’hui 57% d’autonomes et 2,7% rentiers.

(29)

Fig 9 : Analyse des d´ec`es par mois

Ce graphique présente l’analyse des décès par mois, où la droite rouge représente la moyenne

1

12, soit le niveau de décès moyen si ces derniers étaient uniformément répartis sur une année. Sur le graphique, nous pouvons observer une saisonnalité des décès, leur nombre augmente significativement pendant l’hiver, entre novembre et mars, tandis que les mois d’avril à octobre sont plus épargnés. Ce phénomène peut s’expliquer par le fait que les maladies comme la grippe et les infections respiratoires qui en découlent sont particulièrement meurtrières auprès des personnes ˆ

agées. Des études ont été effectuées pour expliquer ce phénomène de surmortalité, selon l’article du Monde [Vaudano (2018)], dans lequel l’auteur nous montre que selon les données fournies par l’Institut national de la statistique et des études économiques (Insee), le mois de janvier est le mois le plus meurtrier : Le nombre de décès enregistrés y est en moyenne supérieur de 15% à la moyenne de l’année .

3.3.2 Assurance D´ependance SCOR – Rentiers

Nombre de rentiers en cours 5 000

Age moyen de passage en d´ependance 80 ans

Pourcentage d’homme 42%

Durée moyenne passée en dépendance parmi les dépendants décédés 3 années

(30)

Fig 10 : Nombre de d´ependants par ann´ee de survenance

L’augmentation du nombre de nouveaux dépendants correspond d’abord à l’avancement de l’âge au fil du temps mais aussi à l’évolution du nombre de souscriptions par année. On observe que l’effectif de nouveaux dépendants augmente lentement dans les années 90 puis s’accélère à partir de 2004. Ce résultat n’est pas surprenant puisque nous avons vu dans les analyses statistiques des cotisants de la partie (3.3.1), un nombre accru de souscriptions entre 1998 et 2002. Cependant, le graphique indique une chute d’effectif en 2016, ceci peut s’expliquer par le fait que nous ne disposons pas l’intégralité des informations sur cette année.

Fig 11 : Nombre de décès des dépendants par année

La répartition des décès en fonction de l’année montre une évolution similaire à celle du nombre de passages en dépendance. Comme rappelé précédemment, nous ne disposons pas l’exhaustivité des informations en 2016, ce qui explique une brève baisse dans les effectifs cette année.

(31)

Fig 12 : Saisonalité des incidences Fig 13 : Saisonalité des décès

Les 2 graphiques ci-dessus montrent qu’il existe une saisonnalité des passages en dépendance et des décès des dépendants dans l’année. Si la répartition des incidences (resp. des décès) est homogène, nous devrions observer la courbe bleue proche de la droite rouge qui indique le niveau

1

12. Par conséquent, comme pour les décès des autonomes, nous pouvons en déduire qu’en moyenne le nombre de nouveaux dépendants (resp. décès des rentiers) est plus élevé en hiver qu’en été.

Fig 14 : Exposition des rentiers par âge Fig 15 : Nombre de dépendants par âge de survenance

Les graphiques ci-dessus montrent qu’en général, nous avons plus de dépendants femmes que d’hommes que ce soit en termes d’effectifs ou en termes de nombre d’années d’exposition au risque.

Nous pouvons remarquer que les âges où il y a le plus de passages en dépendance sont entre 75-85 ans et qu’en parallèle et que l’exposition des dépendants la plus importante est entre 82 et 90 ans.

(32)

Fig 16 : Nombre de rentiers par ancienneté par années passées en dépendance

Le graphique ci-dessus indique la répartition des rentiers décédés en fonction de la durée passée en dépendance, Nous observons une décroissance rapide de l’effectif dans les premières années, puis l’évolution est ralentie quand la durée augmente. Nous pouvons observer qu’il existe tout de même un nombre non négligeable de rentiers au-delà de cinq ans d’ancienneté, par conséquent, il est important pour l’assureur, engagé de fa¸con viagère vis à vis des rentiers, d’adopter un comportement de prudence dans l’évaluation de son engagement. Grâce à l’analyse statistique du portefeuille, nous avons désormais une meilleure appréciation du type de population que nous avons parmi les cotisants et les rentiers. L’étape suivante sera consacrée à la calibration des différentes lois.

(33)

Chapitre 4

Calibration des lois de transition des autonomes

SCOR dispose de lois de référence pour des différentes définitions de dépendance, nous les utiliserons pour les comparer aux lois du portefeuille Assurance Dépendance SCOR de l’étude actuelle. Les lois de références sont construites par le service R&D à partir d’un ensemble de portefeuilles qui ont la même définition de la dépendance. Dans notre étude, les lois de référence AVQ sont utilisées, elles sont calibrées à partir de plusieurs portefeuilles dont le critère de définition est basé sur les Activités de la vie quotidienne. Les lois de références considérées sont les suivantes :

— Loi référence de mortalité des autonomes

— Loi référence de mortalité générale

— Loi référence de passage en dépendance totale (3AVQ4)

— Loi référence de mortalité des dépendants

Ces lois permettent de confronter l’expérience que SCOR possède sur le marché de dépendance fran¸cais avec les lois Assurance Dépendance SCOR issues du portefeuille actuel. Elles seront aussi utilisées pour faire converger les lois Assurance Dépendance SCOR aux grands âges afin d’assurer une cohérence entre les lois issues de l’étude et les lois de référence.

Avant de passer à la calibration des lois, il faut assurer que les données utilisées dans l’étude reflètent bien le comportement général des assurés. Autrement dit, nous sommes amenés à considérer ultérieurement les assurés qui ont des comportements irréguliers par rapport aux autres. Nous devons aussi nous assurer que nous sommes en possession de toute l’historique de données sur la période que nous voulons étudier, ces informations doivent être exhaustives et permettre de retracer le parcours complet et correct des individus dans le portefeuille. Pour ce faire, il nous faut observer l’ensemble des assurés sous différents angles et écarter de l’étude les données des assurés qui peuvent potentiellement biaiser nos résultats.

33

(34)

4.1 L’outil

Testing

Testing est un outil développé par l’équipe R&D (l’équipe CIRDAD) de SCOR. Il joue un rôle important dans les études menées sur les différents portefeuilles en assurance dépendance. Cet outil a 3 fonctions principales, il permet de :

— Segmenter la base de données des assurés et d’identifier une sous-population homogène sur un large éventail de critères, nous appelons cette fonction le Pré-testing, elle est nécessaire avant toute calibration de loi.

— Comparer les lois issues de l’étude avec les lois de référence SCOR, cette fonction que nous appelons désormais la fonctionComparaisonest utilisée dans la calibration de la loi de mortalité générale (partie 5).

— Back-tester les lois obtenues issues de l’étude, c’est à dire vérifier si les lois reflètent bien le comportement des assurés du portefeuille, cette étape s’appelle Back-testing, elle est utilisée dans le chapitre 6 Calibration de la loi de mortalité des dépendants .

Dans cette partie, la fonction Pré-testing est utilisée. Son principe est d’observer les données en fonction de différentes variables dans l’objectif d’extraire une population homogène de celui-ci pour la suite de l’étude. L’outil prend en entrée un historique de données (la base de données nettoyée) et compare le nombre d’événements observé en fonction du paramètre considéré et le nombre moyen d’évènements. Cette comparaison nous permet d’identifier pour ensuite supprimer la partie des données qui illustre des comportements atypiques des assurés. L’outil construit tout d’abord une distribution empirique du taux de transition en fonction de l’âge, puis il calcule la probabilité d’entrée en dépendance (resp. la probabilité de décès) sur la période d’observation pour chaque individu. La somme de ces probabilités de tous les individus du portefeuille donne un nombre moyen d’évènements. L’outil fournit ensuite une distribution empirique du nombre moyen d’évènements, il simule un grand nombre de fois le passage en dépendance ou le décès des assurés grâce à la probabilité de transition déterminée en amont pour chaque individu. Il récupère les quantiles du nombre d’évènements à 2,5% et 97,5%, nous obtenons ainsi un intervalle de confiance pour le nombre d’incidents moyen.

4.2 Pr´ e-testing : d´ etermination du portefeuille (une population homog` ene) pour l’´ etude

L’étape de segmentation dans l’outil permet d’approcher nos données sous différents angles en fonction des variables suivantes :

— Ann´ee calendaire (ann´ee de l’incidence)

— Ancienneté des assurés dans l’état (qu’on appelle aussi la duration)

— Ann´ee de souscription

— Les assur´es ayant re¸cu une surprime

Nous n’avons pas d’information concernant les surprimes, le dernier critère n’est donc pas étudié.

Dans le cadre d’un modèle à risques concurrents, un autonome peut devenir dépendant ou décéder en état d’autonomie, la segmentation sur la population des autonomes doit permettre

(35)

4.2. PR É-TESTING : D ÉTERMINATION DU PORTEFEUILLE (UNE POPULATION HOMOG ÈNE) POUR L’ ÉTUDE35

d’assurer une homogénéité à la fois au niveau des incidences mais aussi au niveau des décès. Nous fournissons les résultats graphiques illustrant les rapports entre le nombre d’évènements observés et le nombre moyen d’évènements en fonction du critère défini en abscisse. Ce rapport est présenté sous le nom de A/E.

Les graphiques illustrant les analyses sur les A/E des incidences et des décès en fonction de la duration, de l’année calendaire et de l’ancienneté en années de cotisation sont les suivants :

Analyse par duration: Incidences :

Fig 17 : A/E incidences par duration

Le graphique ci-dessus présente les rapports entre les nombres d’incidences observés et les nombres moyens d’incidences ventilés par la duration (nombre d’années de cotisation). L’axe des abscisses représente les différentes segmentations ou les critères sur lesquelles l’outil est exécuté, ici en particulier il indique la durée de cotisation des assurés dans le portefeuille.

Pour chaque duration, le chiffre est calculé en faisant le rapport entre le nombre de passage en dépendance observé et la moyenne de la distribution du nombre moyen d’évènements, c’est à dire la moyenne des A/E. Les intervalles de confiance à 95% sur ce ratio sont aussi présentés, chaque intervalle est obtenu en divisant le nombre réel d’événements observés par les quantiles de 97,5%

et 2,5% de la distribution du nombre moyen d’´ev`enements.

L’axe des ordonnées indique le niveau de A/E en fonction du critère considéré, tandis que la droite horizontale noire indiquant la valeur 100% représente le niveau où le nombre moyen d’évènements simulé par la distribution empirique correspond parfaitement au nombre d’évènements observé.