21mai20131 EricGoubault INF321Lesfonctions,passageparvaleur/r´ef´erence,typesproduits

(1)

INF 321

Les fonctions, passage par valeur/r´ ef´ erence, types produits

Eric Goubault

Cours 2

21 mai 2013

(2)

Dans le dernier ´ episode...

On a vu:

Le noyau imp´eratif

Quelques éléments de sémantique On va voir:

Quelques rappels sur la structure purement imp´erative des programmes Java

Les fonctions et les passages d’argument Les r´ef´erences (pointeurs)

Les types produits (d´ebut)

(3)

Structure simplifi´ ee des programmes (Java)

c l a s s Prog {

s t a t i c T1 x1 = t 1 ; . . . s t a t i c Tn xn = t n ; s t a t i c . . . f 1 ( . . . ) . . . s t a t i c . . . f p ( . . . ) . . .

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { . . . } }

main

Le main est une fonction spéciale: c’est celle qui estle point d’entréeà l’exécution.

En argument, elle contient tous les arguments pass´es`a la ligne

(4)

Un peu de syntaxe (premi` ere approche)

Java

s t a t i c T f ( T1 x1 , . . . , Tn xn ) p

C

T f ( T1 x1 , . . . , Tn xn ) p

i n t f (c o n s t i n t x ,i n t y ) r e t u r n x +1;

Caml

l e t f x1 . . . xn = t i n p

l e t h y p o t h e n u s e x y = s q r t ( x∗. x +. y ∗. y )

Arguments toujours finaux

(5)

S´ emantique du main

Java

c l a s s E s s a i {

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { f o r (i n t i =0; i<a r g s . l e n g t h ; i = i +1)

System . o u t . p r i n t l n ( ” a r g s [ ”+ i +”]= ”+a r g s [ i ] ) ; }

}

C

i n t main (i n t a r g c , c h a r ∗∗a r g v ) { i n t i ;

f o r ( i =0; i<a r g c ; i = i +1) p r i n t f ( ”a r g v [%d]=%s\n ” , i , a r g v [ i ] ) ; r e t u r n 0 ; }

(6)

Compilation, ex´ ecution

Java

> j a v a c e s s a i . j a v a

> j a v a E s s a i p r e m i e r a r g d e u x i e m e a r g a r g s [ 0 ] = p r e m i e r a r g

a r g s [ 1 ] = d e u x i e m e a r g

C

> g c c e s s a i . c−o e s s a i

> . / e s s a i p r e m i e r a r g d e u x i e m e a r g a r g [ 0 ] = e s s a i

a r g [ 1 ] = p r e m i e r a r g a r g [ 2 ] = d e u x i e m e a r g

(7)

Remarques...

M´ecanismes d’exceptions

En cas d’erreur ´eventuelle de traitement, permet d’interrompre un programme proprement enlan¸cant uneexception

Qui peut être récupérée par la fonction appelante pour traitement alternatif

Cf. Cours 4

Tous ces mots magiques...

static: quand on verra lesclasses, cours 4... En gros: il n’y a qu’un “´el´ement” de “type”Prog

public: permet d’exporterla d´efinition d’une fonction (pour ˆ

etre connue de l’extérieur): lemain doit forcément être

(8)

Structure des programmes (C)

T1 x1=t 1 ; . . .

Tn xn=t n ;

. . . f 1 ( . . . ) . . . . . .

. . . f p ( . . . ) . . .

i n t main (i n t a r g c , c h a r ∗∗a r g v ) { . . .

}

(9)

Structure des programmes (Caml)

Simplifi´e...

(∗ v a r i a b l e s g l o b a l e s ∗) l e t x = . . . ; ;

(∗ v a r i a b l e s l o c a l e s ∗) l e t x = . . . i n . . . ; ;

(∗ f o n c t i o n s − non r e c u r s i v e s ∗)

l e t f a r g 1 . . . a r g n = c o r p s de f o n c t i o n ; ;

(10)

Les fonctions en Java

Comment sont pass´es les arguments?

Exemple

c l a s s t r o i s V e r r e s {

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { i n t a =1;

i n t b =2;

i n t c=a ; a=b ; b=c ;

System . o u t . p r i n t l n ( ”a=”+a ) ; System . o u t . p r i n t l n ( ”b=”+b ) ; }

}

java troisVerresdonnea=2,b=1, OK!

(11)

Codage par appel de fonction

s t a t i c v o i d swap (i n t x , i n t y ) { i n t z=x ; x=y ; y=z ; }

i n t b =2;

swap ( a , b ) ;

System . o u t . p r i n t l n ( ”a=”+a ) ; System . o u t . p r i n t l n ( ”b=”+b ) ; } }

java troisVerres donnea=1,b=2, pas OK!

(12)

En Caml

l e t swap x y =

l e t z = r e f 0 i n ( z : = ! x ; x : = ! y ; y : = ! z ) a : = 1 ;

b : = 2 ; swap a b ; p r i n t i n t ! a ; p r i n t n e w l i n e ( ) ; p r i n t i n t ! b ; p r i n t n e w l i n e ( ) ;

Ne marche pas mieux...

(13)

R´ eponse

Passage par valeur

En Java, C, Caml, on n’a par d´efaut que lepassage par valeur (des variables scalaires)

La fonction travaille dans ce cas sur une copie des variables pass´ees en param`etre

call swap x ←amain y ←bmain

swap x,y

return;

copie args

swap local

(14)

Variables locales, variables globales

Variable globale

c l a s s C { s t a t i c i n t x ; x =3; x =0;

xvaut 0 `a la fin de l’ex´ecution Variable locale

s t a t i c v o i d r e s e t ( ) { i n t x =0; }

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g a r g s [ ] ) { i n t x ; x =3; r e s e t ( ) ; . . .

xrecouvre deux variables en fait:

une variable locale à main, qui vaut 3 et n’est pas modifiée une variable locale à la fonction reset, qui vaut 0, et qui n’est connue que dans le corps de la fonction reset

cette variable locale cachela variable xdemain dans le corps de la fonctionreset, mais ne l’´ecrase pas (location distincte)

(15)

Illustration

. . . main . . .

i n t x ; x =3; x_main : 3

(16)

Illustration (2)

. . . r e s e t . . . i n t x ; x =0;

x_main : 3

xreset : 0

(17)

Illustration (3)

f i n du main

x_main : 3

xreset : 0

(18)

Cas du passage de tableaux en param` etre

Exemple

s t a t i c v o i d t a b p l u s u n (i n t[ ] y ){

i n t n = y . l e n g t h ;

f o r (i n t i = 0 ; i < n ; i = i +1) y [ i ] = y [ i ] + 1 ; }

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { i n t[ ] x = new i n t[ 5 ] ;

f o r (i n t i = 0 ; i < 5 ; i = i +1) x [ i ] = i ;

t a b p l u s u n ( x ) ;

f o r (i n t i = 0 ; i < 5 ; i = i +1)

System . o u t . p r i n t l n ( ”x [ ”+ i +”]= ”+x [ i ] ) ; } Donne:

x [ 0 ] = 1 x [ 1 ] = 2 x [ 2 ] = 3 x [ 3 ] = 4 x [ 4 ] = 5

Pourquoi?

(19)

Passage de tableaux en param` etre

C’est un passage par r´ef´erence

Un tableau n’est pas un type simple (scalaire) mais compos´e:

trop lourd de faire des recopies `a l’appel de fonction

On ne passe que la référence(=pointeur, adresse mémoire...) au tableau, à l’appel de la fonction

Cela permet de faire des modifications en place

(20)

Exemple

f o r ( i =0; i<5; i = i +1) x [ i ] = i ;

x

0 |1|. . . |4

(21)

Exemple

t a b p l u s u n ( x ) . . .

x y

0|1 |. . . |4

Dit autrement

ρ∈Env⊥ au moment de l’appel est:

ρ(x) =adr_u,ρ(y) =adr_u ρ(adr_u+i) =i pouri = 0, . . . ,4

(22)

Exemple

. . .

y [ i ] = y [ i ] + 1 ;

x y

1|2 |. . . |5

Par la s´emantique du cours 1

ρ⁰= [[y[i] =y[i] + 1]]ρ=ρ[[[y[i] + 1]]ρ/(ρ(y) +i)]

Et [[y[i] + 1]]ρ=ρ(ρ(y) +i) + 1 =ρ(adr_t+i) + 1 =i+ 1 D’o`u `a la fin, le seul changement entreρ etρ⁰ est

ρ⁰(adr_t+i) =i+ 1

(23)

Exemple

. . .

System . o u t . p r i n t l n . . .

x

1 |2 |. . .|5

Par la s´emantique du cours 1 [[x[i]]]ρ⁰ =ρ⁰(ρ⁰(x) +i)

Donc, [[x[i]]]ρ⁰ =ρ⁰(adr_t+i) =i+ 1!

(24)

Rappel

i n t b =2;

i n t c=a ; a=b ; b=c ;

System . o u t . p r i n t l n ( ”a=”+a ) ; System . o u t . p r i n t l n ( ”b=”+b ) ; }

}

java troisVerresdonnea=2,b=1, OK!

(25)

Rappel: autre codage...

s t a t i c v o i d swap (i n t x , i n t y ) { i n t z=x ; x=y ; y=z ; }

i n t b =2;

swap ( a , b ) ;

System . o u t . p r i n t l n ( ”a=”+a ) ; System . o u t . p r i n t l n ( ”b=”+b ) ; } }

java troisVerres donnea=1,b=2, pas OK!

(26)

Passage par valeur / r´ ef´ erence

Ce que l’on voudrait, c’est passer laréférence aux variables a et bplutôt que simplement leurs valeurs; pour pouvoir modifier les valeursen place

En Pascal c’´etait possible:

p r o c e d u r e t o t o (v a r i n t e g e r i , i n t e g e r j ) ; b e g i n

. . . end

(iest passée par référence,jest passée par valeur)

En Java, C, Caml, il va nous falloir simuler ce passage, par le passage par valeur

(27)

Trouver la location d’une variable ` a partir de son nom (C)

Pour expliquer le m´ecanisme sous-jacent de pointeur...

i n t x , y ; i n t ∗p t r x ; x = 1 ;

ptrx

x : 1

(28)

Manipuler les valeurs et les adresses

i n t x , y ; i n t ∗p t r x ; x = 1 ; y = 0 ; p t r x = &x ;

ptrxcontient l’adresse en mémoire où est stockée la valeur de la variablex.

ptrx

x : 1 y : 0

(29)

Trouver le contenu (valeur) de x ` a partir de sa location (C)

i n t x , y ; i n t ∗p t r x ; x = 1 ; y = 0 ; p t r x = &x ; y=∗p t r x ;

p r i n t f ( ”y=%d\n ” , y ) ;

Donney=1.

(30)

S´ emantique de * et &

∗

En supposant que x est en quelque sorte “bien typ´e” dans l’environnement ρ: ρ(x)∈Loc

Alors dans une expression (AExpr):

[[∗x]]ρ=ρ([[x]]ρ)

(se généralise àx expressions de certains types...comme &y en particulier)

Dans une affectation:

[[∗x=e]]ρ=ρ[[[e]]ρ/ρ(x)]

(notez le niveau d’indirection, encore)

(31)

S´ emantique de * et &

&

Pour x∈Var, etρ: (Var∪Loc)→(Val∪Var∪Loc)!

On pose dans une expression (AExpr):

[[&x]]ρ=x∈Var

On ne peut utiliser &x `a gauche d’une affectation...

Exemple

[[∗(&x)]]ρ = ρ([[&x]]ρ)

= ρ(x)

(32)

S´ emantique de * et &

&

Pour x∈Var, etρ: (Var∪Loc)→(Val∪Var∪Loc)!

On pose dans une expression (AExpr):

[[&x]]ρ=x∈Var

On ne peut utiliser &x `a gauche d’une affectation...

Exemple

[[∗(&x)]]ρ = ρ([[&x]]ρ)

= ρ(x)

(33)

Manipuler les valeurs et les adresses

Si on avait plutˆot fait:

i n t x , y ; i n t ∗p t r x ; x = 1 ; y = 0 ; p t r x = &x ; x = 2 ;

ptrx

x : 2 y : 0

(34)

Manipuler les valeurs et les adresses

Si on avait plutˆot fait:

i n t x , y ; i n t ∗p t r x ; x = 1 ; y = 0 ; p t r x = &x ; x = 2 ; y =∗p t r x ;

p r i n t f ( ”y=%d\n ” , y ) ;

Donney=2

ptrx

x : 2 y : 2

(35)

En Caml

*homologue du ! de Caml

*t=u homologue det:=u de Caml

(36)

En Java

un objet est en fait un pointeur (vers la location m´emoire contenant toutes les informations sur l’objet)

un scalaire est une valeur, pas un pointeur vers une valeur

c l a s s t r o i s V e r r e s { p u b l i c s t a t i c v o i d main

( S t r i n g [ ] a r g s ) { I n t v a l a=new I n t v a l ( ) ; a . v a l =1;

I n t v a l b=new I n t v a l ( ) ; b . v a l =2;

swap ( a , b ) ;

S y s t e m . o u t . p r i n t l n ( ”a=”+a . v a l ) ; S y s t e m . o u t . p r i n t l n ( ”b=”+b . v a l ) ; }

c l a s s I n t v a l { p u b l i c i n t v a l ; . . .

(37)

Static ou pas?

c l a s s I n t v a l { p u b l i c i n t v a l ;

. . .

c l a s s t r o i s V e r r e s { . . .

a = new I n t v a l ( ) ; . . .

int val;dans class Intvaln’est pas static!

→ plusieurs “éléments” de “type”Intval peuvent être définis, avec des valeurs entières valdifférentes

new(comme sur les tableaux) permet d’allouer un nouvel

(38)

Constructeurs

Quand on fait a = new Intval();: crée la case mémoire associée à a(pouvant contenirval, entier) - fait un appel à une fonction cachée: le constructeur par défaut Intval() Déclaration

I n t v a l a ; a : ?

(39)

Constructeurs

Quand on fait a = new Intval();: crée la case mémoire associée à a(pouvant contenirval, entier) - fait un appel à une fonction cachée: le constructeur par défaut Intval() Allocation

I n t v a l a ;

a = new I n t v a l ( ) ;

a

val : ?

(40)

Constructeurs

Quand on fait a = new Intval();: crée la case mémoire associée à a(pouvant contenirval, entier) - fait un appel à une fonction cachée: le constructeur par défaut Intval() Affectation

I n t v a l a ;

a = new I n t v a l ( ) ; a . v a l = 1 ;

a

val : 1

(41)

Allocation/affectation en mˆ eme temps

Raccourci pour allocation et affectation, par nouveau constructeur

a =new I n t v a l ( ) ; a . v a l =1;

b =new I n t v a l ( ) ; b . v a l =2;

−→

p u b l i c I n t v a l (i n t u ) { v a l=u ; } a = new I n t v a l ( 1 ) ;

b =new I n t v a l ( 2 ) ;

Cette nouvelle fonction (constructeur) doit s’appeler du mˆeme nom que le programme et ne pas avoir de type; on l’appelle par new ...

Il existe toujours un constructeurpar d´efaut sans argument (pas besoin de le d´efinir)

(42)

Par contre...

Dans ce cas...

p u b l i c I n t v a l (i n t u ) { v a l=u ; } . . .

a = new I n t v a l ( 1 ) ; b =new I n t v a l ( 2 ) ;

On n’a plus acc`es au constructeur par d´efaut Intval()

Il faut red´efinir alors le constructeur par d´efaut:

p u b l i c I n t v a l ( ) { }

p u b l i c I n t v a l (i n t u ) { v a l=u ; }

On peut ainsi définir un nombre quelconque de constructeurs (plus généralement, polymorphisme, cf. cours 4)

(43)

Comment coder l’´ echange?

Bonne version

s t a t i c v o i d g o o d s w a p ( I n t v a l u , I n t v a l v ) { i n t w = u . v a l ;

u . v a l = v . v a l ; v . v a l = w ; }

Mauvaise version

s t a t i c v o i d w r o n g s w a p ( I n t v a l u , I n t v a l v ) { I n t v a l w = u ;

u = v ; v = w ; } }

(44)

Ex´ ecution de wrong_swap

a = new I n t v a l ( ) ; a . v a l =1;

b = new I n t v a l ( ) ; b . v a l =2;

a b

val : 1 val : 2

(45)

Ex´ ecution de wrong_swap (1)

a = new I n t v a l ( ) ; a . v a l =1;

b = new I n t v a l ( ) ; b . v a l =2;

w r o n g s w a p ( a , b ) ;

a u b v

val : 1 val : 2

(46)

Ex´ ecution de wrong_swap (2)

I n t v a l w = u ;

a u w b v

val : 1 val : 2

(47)

Ex´ ecution de wrong_swap (3)

u = v ;

a w b v u

val : 1 val : 2

(48)

Ex´ ecution de wrong_swap (4)

v = w ;

a v w b u

val : 1 val : 2

Probl`eme!!

(49)

Ex´ ecution de good_swap

a = new I n t v a l ( ) ; // c o n s t r u c t e u r p a r d e f a u t a . v a l =1;

b = new I n t v a l ( ) ; b . v a l =2;

a b

val : 1 val : 2

(50)

Ex´ ecution de good_swap (1)

a = new I n t v a l ( ) ; // c o n s t r u c t e u r p a r d e f a u t a . v a l =1;

b = new I n t v a l ( ) ; b . v a l =2;

g o o d s w a p ( a , b ) ;

a u b v

val : 1 val : 2

(51)

Ex´ ecution de good_swap (2)

i n t w = u . v a l ;

a u b v

val : 1 val : 2 w : 1

(52)

Ex´ ecution de good_swap (3)

u . v a l = v . v a l ;

a u b v

val : 2 val : 2 w : 1

(53)

Ex´ ecution de good_swap (4)

v . v a l = w ;

a u b v

val : 2 val : 1 w : 1

Parfait!!

(54)

Remarque: les classes enveloppantes

Des programmes sont déjà définis en Java, permettant de manipuler des références sur des scalaires (commeIntval que l’on a défini plus haut)

Par exemple Integer

Pas utilisable ici carInteger est non-mutable!

(55)

Compliquons le jeu: enregistrements

Besoin de structurer les programmes, mais aussi les donn´ees!

Exemple: les coordonn´ees cart´esiennes

Soit p un point de l’espace N³. On peut le représenter par le triplet de ses coordonnées (x,y,z),x,y etz étant un entier.

En vocable informatique: cas particulier de structureou enregistrement, avec 3champs entiersx,y, etz

(56)

Syntaxiquement (g´ en´ eralisation cours3)

Java

c l a s s P o i n t { i n t x ; i n t y ; i n t z ; }

C

s t r u c t P o i n t { i n t x ; i n t y ; i n t z ; };

Caml

t y p e P o i n t ={ m u t a b l e x : i n t ; m u t a b l e y : i n t ; m u t a b l e z : i n t ; }

(57)

Cas particulier de type produit!

N³ =N×N×N

→projections sur chaque coordonn´ee

→de quoi construire une variable `a partir des 3 coordonn´ees.

Java

P o i n t p=new P o i n t ( ) ; p . x = 1 ;

p . y = 2 ; p . z = 3 ;

i n t x x = p . x ; i n t y y = p . y ; i n t z z = p . z ; (projections)

(58)

Un peu de p´ edantique

X

X×Y

Y

Z π_X

∀f

π_Y

∀g

∃!h

Propri´et´e universelle: ∀f,g,∃!h, tel que π_X ◦h = f

πY ◦h = g

Dans les ensembles

X ×Y ={(x,y)|x ∈X,y ∈Y} πX(x,y) =x,πY(x,y) =y (s´electeurs)

h(z) = (f(z),g(z)) (constructeur)

(en fait Caml=”Categorical Abstract Machine Language”)

(59)

En C et Caml

C

s t r u c t p o i n t p ={ 0 , 2 , 3 };

p . x = 1 ;

(construction)

i n t x x = p . x ; i n t y y = p . y ; i n t z z = p . z ;

(projections) Caml

l e t p = r e f { x = 0 ; y = 2 ; z = 2 ; }; ;

! p . x<− 1 ; ;

(construction)

(60)

Constructeurs

Java

c l a s s P o i n t {

i n t x ; i n t y ; i n t z ;

P o i n t (i n t a , i n t b , i n t c ) { x = a ; // ou t h i s . x = a ; y = b ; // ou t h i s . y = b ; z = c ; // ou t h i s . z = c ; } }

Utilisation du constructeur

P o i n t x =new P o i n t ( 1 , 2 , 3 ) ;

Alloue, et fait l’affectation C, Caml

C: pas vraiment d’analogue direct; Caml: pas denew

(61)

Diff´ erences Java, C, Caml

Java

constructeurs, valeur vide (null) et valeurs par d´efaut C

pas de constructeur, valeur vide (null) et pas toujours de valeurs par d´efaut

Caml

pas de d´efinition de constructeur, pas denull, pas de valeur par d´efaut

(62)

Enregistrements et appels de fonctions

Java

c l a s s P o i n t { i n t x ; i n t y ; i n t z ; P o i n t (i n t u , i n t v , i n t w) {

x = u ; y = v ; z = w ; } } c l a s s E s s a i {

s t a t i c v o i d show ( P o i n t p ) { S y s t e m . o u t . p r i n t l n ( p+”=( ”+p . x+” , ”

+p . y+” , ”+p . z+”) ” ) ; }

s t a t i c v o i d i n c r ( P o i n t p , P o i n t q ) { q . x += p . x ; q . y += p . y ; q . z += p . z ; }

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { P o i n t x0=new P o i n t ( 1 , 2 , 3 ) ;

P o i n t x1=new P o i n t (−1 ,−2 ,−3);

i n c r ( x0 , x1 ) ;

show ( x0 ) ; show ( x1 ) ; } }

Ex´ecution

> j a v a P o i n t

P o i n t @ 7 0 3 2 9 f 3 d = ( 1 . 0 , 2 . 0 , 3 . 0 ) P o i n t @ 5 9 b c a 5 f 1 = ( 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 )

Passage par r´ef´erence! (=valeur du pointeur sur objet de type Point)

(63)

Le GC

Garbage collector/Glaneur de cellules

Inventé par John MacCarthy pour le LISP (prix Turing 1971) Permet de récupérer la mémoire non utilisée, c’est un

processus qui s’ex´ecute en parall`ele et automatiquement:

détermine quels objets ne peuvent plus être utilisés par un programme

récupère cet espace mémoire (pour être utilisé lors d’allocations futures)

Nombreux algorithmes...impl´ement´es par exemple dans Java, Caml, mais pas dans C

(64)

Principes de fonctionnement (1)

Algorithmes “Mark and Sweep”

Le GC commence à parcourir les locations mémoiresvivantes (accessibles depuis les racines, i.e. les noms de variables du programme Java) - l’exécution du programme Java est suspendue; 2 phases alors:

(mark): Les objets alloués et visitables par le GC depuis les racines sonttaggués: visité et pas visité

(sweep): Le GC parcourt adresse par adresse letas(l’endroit en mémoire où sont alloués les objets) et “efface” les objets non taggués “visité”

(65)

Principes de fonctionnement (2)

Compteurs de r´ef´erences

Le GC maintient avec chaque objet, un nombre de r´ef´erences pointant sur chaque objet

Si ce compteur arrive à zéro, l’objet est libéré...

Egalement...

“Stop and copy”

GC conservatifs, incrémentaux, générationnels (cas de Java) etc.

(66)

Et dans les langages sans GC? (C...)

Allocation/d´eallocation manuelle Exemple (listes):

L i s t c o n s (i n t c a r , L i s t c d r ) { /∗ a l l o c a t i o n ∗/

L i s t r e s = ( L i s t ) m a l l o c (s i z e o f(s t r u c t s t L i s t ) ) ; r e s−>hd = c a r ; r e s−>t l = c d r ; r e t u r n r e s ; } v o i d f r e e l i s t ( L i s t l ) {

i f ( l == n u l l ) r e t u r n; f r e e l i s t ( l−>t l ) ; /∗ d e a l l o c a t i o n ∗/

f r e e ( l ) ; }

Cons´equences

C’est au programmeur de pr´evoir quand utiliserfree, freelistetc.

Parfois tr`es compliqu´e quand on fait du partage!

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La prochaine fois

Enregistrements et appels de fonctions Types somme

Types r´ecursifs Bon TD!

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La prochaine fois

Enregistrements et appels de fonctions Types somme

Types r´ecursifs Bon TD!