Ecole européenne ALICANTE
PREBAC 2012
PARTIE B: AVEC CALCULATRICE
Sujet: Mathématiques Classe: s7fra 5p
Date: 30 Janvier 2012
Matériel autorisé:
Calculatrice officielle
TI-Nspire CAS Touchpad ou TI-Nspire CX CAS avec le Logiciel version 3.0 ou supérieur
Stylo
Papier fourni par l’école Règle ou équerre
Instructions pour les candidats:
La calculatrice doit être en mode « Press to Test »
L’échange de calculatrices entre élèves n’est pas autorisé Toutes les questions sont obligatoires.
Lors de la correction il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation.
L’énoncé comporte 4 pages y compris la page de couverture
Professeur responsable: W. Frühauf Nombre de candidats: 3 Début 09:00
Fin 12:00
Durée 3 h 00 min
B1 : Analyse (20 points de 100 )
6 Points
2 Points
4 Points
2 Points
2 Points
4 Points
On considère la famille de fonctions hm définie par m 2 x 1
x m ) 2 x (
h +
⋅
= ⋅ avec m nombre
réel différent de zéro et notons C la courbe représentative de m h dans un repère m orthonormé du plan. Pour faciliter l’encodage et les calculs avec la calculatrice il est conseillé d’utiliser la notation suivante :
m 2
x 1
x m ) 2 x , m ( h ) x (
h +
⋅
= ⋅
= avec m∈ℜ−{ }0 et x variable de la fonction.
a) Utiliser la calculatrice pour visualiser les courbes C et 2 C−2 ainsi que les courbes C et 4 C−4 obtenues pour les valeurs 2 et -2 ; respectivement 4 et -4 du paramètre m. Faire une esquisse de ces courbes dans un même repère orthonormé sur votre copie et préciser les éléments de symétrie de chacune des courbes puis des courbes entre elles.
b) Considérons maintenant m quelconque. Justifier que toutes les courbes C passent m par un même point appelé point fixe et qu’elles admettent toutes une asymptote commune. Indiquer les coordonnées du point fixe ainsi que la nature et l’équation de l’asymptote.
c) Déterminer les coordonnées exactes des extremums en fonction de m et préciser la nature de ces extremums en fonction des valeurs du paramètre m. Indiquer vos réponses sur votre copie à l’aide d’un tableau de variation pour m > 0 et d’un tableau de variation pour m < 0.
d) Montrer que les extremums des courbes C appartiennent à deux droites. m Indiquer les équations de ces 2 droites sur votre copie.
e) Désignons par a un nombre réel strictement positif. Calculer l’intégrale
∫
−
= a
a
dx ) x , m ( h
I et justifier à l’aide d’une phrase le résultat obtenu.
f) Supposons maintenant que m =2 respectivement m=-2 et que a désigne toujours un nombre réel strictement positif. Montrer, en calculant les valeurs exactes, que
• l’aire Α1 délimitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les deux droites 2 verticales x=a et x=−a
est égale à
• l’aire Α2 délimitée par les courbes C et 2 C−2 et la droite verticale d’équation x=a.
Faire sur votre copie une nouvelle esquisse représentant uniquement les courbes C et 2 C−2 et hachurer sur ce schéma les aires Α1 et Α2.
B2 : Géométrie (30 points de 100)
2 Points
3 Points
2 Points 3 Points 3 Points 2 Points 3 Points 2 Points 3 Points 3 Points 2 Points
2 Points
Dans l’espace euclidien on considère le cube ABCDEFGH avec une longueur d’arrête égale à 1.
On note I le centre de la face ADHE, J le centre de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
Dans cet espace on utilise le repère (A;AB u ruu
,AD u ruu
,AE u ruu
) de façon que :
A(0,0,0) ; D(-1,0,0) ; B(0,1,0) et E(0,0,1) a) Indiquer les coordonnées des points C ; F ; G et H.
b) Le plan BDE coupe les faces ABFE et ADHE selon deux droites. En vous basant sur le schéma et sans faire de calculs indiquer 2 points qui appartiennent à l’une respectivement à l’autre de ces 2 droites et utiliser ces points pour établir les équations paramétriques de ces droites.
c) Ces deux droites sont-elles perpendiculaires ? Justifier votre réponse.
d) Calculer le volume du tétraèdre de sommets ABDE.
e) Déterminer les coordonnées des points I, J et K dans le repère donné.
f) Montrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
g) Etablir une équation du plan AKG.
h) Montrer que les points D et F appartiennent au plan AKG.
i) Déterminer une équation du plan ABC et de la droite (IJ).
j) Calculer l’angle formé par la droite (IJ) y et le plan ABC.
k) Déterminer les coordonnées de la projection orthogonale du point K sur le plan ABC.
l) Calculer la distance du point K au plan ABC.
B3 : Nombres complexes (10 points de 100)
4 Points
3 Points
3 Points
a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z12=−16777216 et indiquer l’ensemble des solutions, noté S , en utilisant la notation exponentielle 12 des nombres complexes. A l’aide d’un schéma représenter les affixes de ces solutions dans le plan complexe.
b) Résoudre maintenant l’équation z8−256⋅z4+65536=0 dans le plan complexe et indiquer l’ensemble des solutions, noté S , en utilisant la notation exponentielle 8 des nombres complexes.
c) Justifier que l’ensemble S est un sous ensemble de 8 S et marquer les éléments 12 de S par le symbole 8 ⊗ sur le schéma de la question (a).
B4 : Analyse (10 points de 100)
3 Points
4 Points
3 Points
On considère les fonctions f et g définies par x
x
e 1
e ) 4 x (
f −
−
+
= ⋅ et x
e 1 ) 4 x (
g = + et notons C respectivement f C leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé du g plan.
a) Dans une fenêtre graphique de la calculatrice tracer les courbes C et f C . Que g peut-on constater ? Sur votre copie, faire une esquisse et justifier votre observation à l’aide d’un calcul détaillé.
b) Calculer une primitive de f(x) sans utiliser la calculatrice et expliquer la méthode utilisée. Indiquer maintenant sur votre copie la primitive obtenue à l’aide de la calculatrice. Comment pourrait-on vérifier que les deux calculs donnent la même primitive ? Indiquer seulement une démarche possible sans faire des calculs.
c) La rotation autour de l’axe (Ox) de l’aire délimitée par la courbe C , l’axe (Ox), f l’axe (Oy) et la droite d’équation x = 1 engendre un volume de révolution. Avec la calculatrice déterminer la valeur exacte et la valeur approchée au centième près de ce volume. Indiquer la formule utilisée et vos réponses sur votre copie.
