Maths expertes – Chapitre 5 Page 1
Chapitre V: PGCD et applications
I- PGCD de deux entiers naturels
Définition 1 : 𝑎 et 𝑏 désignent deux entiers naturels non nuls.
On appelle PGCD de 𝑎 et 𝑏, et on note PGCD(𝑎 ; 𝑏) le plus grand diviseur commun à 𝑎 et 𝑏.
Exemple 1 : Recherche du PGCD de 70 et 84 𝒟(70) = {𝟏; 𝟐; 5; 𝟕; 10; 𝟏𝟒; 35; 70}
𝒟(84) = {𝟏; 𝟐; 3; 4; 6; 𝟕; 12; 𝟏𝟒; 21; 28; 42; 84}
𝒟(70; 84) = {1; 2; 7; 14}
Et donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(70; 84) = 14
Remarque 1 : PGCD(𝑎 ; 𝑏) est le plus grand élément de 𝒟(𝑎; 𝑏) = 𝒟(𝑎) ∩ 𝒟(𝑏) Propriété 1 : 𝑎 et 𝑏 désignent deux entiers naturels non nuls.
1) 𝒟(𝑎; 0) = 𝒟(𝑎) et 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 0) = 𝑎.
2) Si 𝑏 divise 𝑎 alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑏.
3) En notant 𝑟 le reste de la D.E. de 𝑎 par 𝑏, alors 𝒟(𝑎; 𝑏) = 𝒟(𝑏; 𝑟) et 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟).
Démonstration :
1) 𝒟(0) = ℕ∗ donc 𝒟(𝑎; 0) = 𝒟(𝑎) ∩ 𝒟(0) = 𝒟(𝑎) 𝒟(𝑎) a pour plus grand élément 𝑎 donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 0) = 𝑎.
2) Si 𝑏 divise 𝑎 alors les diviseurs de 𝑏 sont aussi des diviseurs de 𝑎 donc 𝒟(𝑏) ⊂ 𝒟(𝑎).
Ainsi 𝒟(𝑏) ∩ 𝒟(𝑎) = 𝒟(𝑏) et donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑏 3) 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 avec 0 ≤ 𝑟 < 𝑏
Soit 𝑑 ∈ 𝒟(𝑏; 𝑟) : 𝑑 divise donc à la fois 𝑏 et 𝑟 donc 𝑑 divise 𝑏𝑞 + 𝑟 = 𝑎 donc 𝑑 ∈ 𝒟(𝑎) et donc à 𝒟(𝑎; 𝑏), ainsi 𝒟(𝑏; 𝑟) ⊂ 𝒟(𝑎; 𝑏)
Soit 𝑑 ∈ 𝒟(𝑎; 𝑏) : 𝑑 divise donc à la fois 𝑎 et 𝑏 donc 𝑑 divise 𝑎 − 𝑏𝑞 = 𝑟 donc 𝑑 ∈ 𝒟(𝑟) et donc à 𝒟(𝑏; 𝑟), ainsi 𝒟(𝑎; 𝑏) ⊂ 𝒟(𝑏; 𝑟)
La double inclusion nous donne l’égalité : 𝒟(𝑎; 𝑏) = 𝒟(𝑏; 𝑟) Le deuxième point du 3) se déduit automatiquement.
II- Algorithme d’Euclide
Action Division Reste Commentaire
On divise 𝑎 par 𝑏 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 𝒟(𝑎; 𝑏) = 𝒟(𝑏; 𝑟 )
d’où 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟 ) Si 𝑟 ≠ 0, on divise 𝑏 par 𝑟 𝑏 = 𝑟 𝑞 + 𝑟 0 ≤ 𝑟 < 𝑟 𝒟(𝑏; 𝑟 ) = 𝒟(𝑟 ; 𝑟 )
d’où 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟 ) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 ) Si 𝑟 ≠ 0, on divise 𝑟 par 𝑟 𝑟 = 𝑟 𝑞 + 𝑟 0 ≤ 𝑟 < 𝑟 𝒟(𝑟 ; 𝑟 ) = 𝒟(𝑟 ; 𝑟 )
d’où 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 ) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 )
… … … …
Si 𝑟 ≠ 0, on divise 𝑟 par 𝑟 𝑟 = 𝑟 𝑞 + 𝑟 0 ≤ 𝑟 < 𝑟 𝒟(𝑟 ; 𝑟 ) = 𝒟(𝑟 ; 𝑟 )
d’où 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 ) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 )
On définit ainsi une suite d’entiers 𝑟 tels que 0 ≤ ⋯ < 𝑟 < 𝑟 < 𝑟 < ⋯ < 𝑟 < 𝑟 < 𝑟 < 𝑏.
Cette suite est une suite strictement décroissante d’entiers naturels : c’est donc une suite finie (axiome de la descente infinie) et il existe un entier 𝑛 tel que 𝑟 ≠ 0 et 𝑟 = 0.
Or 𝑟 = 0 signifie que 𝑟 divise 𝑟 et donc :
𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏; 𝑟 ) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 ) = ⋯ = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑟 ; 𝑟 ) = 𝑟 .
Maths expertes – Chapitre 5 Page 2 Théorème-définition 1 :
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls.
Si 𝑏 ne divise pas 𝑎, alors le PGCD de 𝑎 et 𝑏 est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Démonstration : Voir l’algorithme d’Euclide
Exemple 2 : Recherche de 𝑃𝐺𝐶𝐷(2 185 ; 1 426) à l’aide de l’algorithme d’Euclide 2 185 = 1 426 × 1⏟ + 759
1 426 = 759 × 1⏟ + 667 759 = 667 × 1⏟ + 92 667 = 92 × 7⏟ + 23 92 = 23 × 4⏟ + 0⏟
Le dernier reste non nul est 𝑟 = 23 donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(2 185; 1 426) = 23 Propriété 2 : Conséquences de l’algorithme d’Euclide
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls.
1) L’ensemble des diviseurs de 𝑎 et 𝑏 est l’ensemble des diviseurs de 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) 2) Pour tout 𝑘 ∈ ℕ∗, 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑘𝑎; 𝑘𝑏) = 𝑘 × 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏).
Exemple 3 : 𝑃𝐺𝐶𝐷(2 400 ; 1 200) = 1 200 × 𝑃𝐺𝐶𝐷(2; 1) = 1 200 × 1 = 1 200
III – Nombres premiers entre eux
Définition 2 : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls.
On dit que 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux (ou étrangers) lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple 4 :
1) 37 et 21 sont premiers entre eux.
2) 37 et 111 ne sont pas premiers entre eux (111 = 37 × 3), on dit qu’ils sont composés.
Propriété 3 : Caractérisation du PGCD
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls.
« Δ= 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) » équivaut à « il existe deux entiers naturels non nuls 𝑎′ et 𝑏′ premiers entre eux tels que 𝑎 =Δ𝑎′ et 𝑏 =Δ𝑏′.
Démonstration :
1) S’il existe deux entiers naturels non nuls 𝑎′ et 𝑏′ premiers entre eux tels que 𝑎 =Δ𝑎′ et 𝑏 = Δ𝑏′, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(Δ𝑎′;Δ𝑏′) =Δ× 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎′; 𝑏′) =Δ× 1 =Δ
2) Si Δ= 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) , alors 𝑎 =Δ𝑎′ et 𝑏 =Δ𝑏′. Il reste à justifier que 𝑎’ et 𝑏’ sont premiers entre eux.
Δ= 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(Δ𝑎′;Δ𝑏′) =Δ× 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎′; 𝑏′) ⟹ 𝑃𝐺𝐶𝐷 𝑎′; 𝑏′ = 1 et donc 𝑎’ et 𝑏’ sont premiers entre eux.
Conclusion : on a bien démontré l’équivalence :
« Δ= 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) » équivaut à « il existe deux entiers naturels non nuls 𝑎′ et 𝑏′ premiers entre eux tels que 𝑎 =Δ𝑎′ et 𝑏 =Δ𝑏′.
Maths expertes – Chapitre 5 Page 3 IV – Le théorème de Bézout
Propriété 4 : Identité de Bézout
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls et 𝑑 leur PGCD.
Il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 𝑑.
Démonstration :
Notons 𝐸 l’ensemble des entiers naturels non nuls de la forme 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏 où 𝑚 et 𝑛 sont des entiers relatifs.
1 × 𝑎 + 1 × 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ∗ donc 𝐸 est non vide.
𝐸 est une partie non vide de ℕ∗ donc 𝐸 admet une plus petit élément 𝑔 = 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏.
Montrons que cet élément est 𝑑.
𝑑 est le PGCD de 𝑎 et 𝑏 donc il divise 𝑎 et 𝑏 donc également toute combinaison linéaire de 𝑎 et 𝑏.
Ainsi 𝑑 divise 𝑔 ⟹ 𝒅 ≤ 𝒈.
Montrons que g est un diviseur de 𝑎 et 𝑏 :
Effectuons la DE de 𝑎 par 𝑔 : 𝑎 = 𝑔𝑞 + 𝑟 = (𝑢𝑎 + 𝑣𝑏)𝑞 + 𝑟 = 𝑢𝑎𝑞 + 𝑣𝑏𝑞 + 𝑟 avec 0 ≤ 𝑟 < 𝑔 𝑟 = 𝑎 − 𝑢𝑎𝑞 − 𝑣𝑏𝑞 = 𝑎 (1 − 𝑢𝑞)
∈ℤ
+ 𝑏 (−𝑣𝑞)
∈ℤ
.
Si 𝑟 ≠ 0, alors c’est un élément de 𝐸. Or 𝑟 < 𝑔 qui lui-même est le plus petit élément de 𝐸 ce qui est contradictoire : on en déduit que 𝑟 = 0.
Et donc 𝑎 = 𝑔𝑞 ce qui prouve que 𝑔 divise 𝑎.
De la même manière, on démontre que 𝑔 divise 𝑏.
𝑔 est donc un diviseur commun à 𝑎 et 𝑏, il est donc inférieur au plus grand de tous : le PGCD, c-à-d 𝑑.
Ainsi 𝒈 ≤ 𝒅.
Conclusion : 𝑔 = 𝑑 ce qui signifie qu’il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 𝑑.
Remarque 2 :
La réciproque est fausse en général : 6 = 1 × 4 + 1 × 2 et pourtant 6 ≠ 𝑃𝐺𝐶𝐷(4; 2).
Exemple 5 : 𝑃𝐺𝐶𝐷(18; 51) = 3
Il existe bien un couple (𝑢; 𝑣) = (3; −1) tel que 𝑢 × 18 + 𝑣 × 51 = 3
Théorème 2 : Théorème de Bézout
Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls.
𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux ⇔ il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 1.
Démonstration :
𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux ⇔ 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) = 1 donc d’après la propriété 4, il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 1.
Il reste à montrer l’implication réciproque : supposons qu’il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 1 et montrons que 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux.
Notons 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎; 𝑏) donc il divise 𝑎 et 𝑏 donc également toute combinaison linéaire de 𝑎 et 𝑏 et en particulier 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 qui vaut 1 donc 𝑑 divise 1, or c’est un entier positif : 𝑑 = 1.
Remarque 3 : l’algorithme d’Euclide est très pratique pour déterminer un couple d’entiers (𝑢 ; 𝑣) solution. Recherche de 𝑃𝐺𝐶𝐷(26 ; 49) avec l’algorithme d’Euclide :
49 = 1⏟ × 26 + 23 26 = 1⏟ × 23 + 3⏟ 23 = 7⏟ × 3⏟ + 2⏟ 3
⏟ = 1⏟ × 2⏟ + 1⏟
Maths expertes – Chapitre 5 Page 4 On connaît ainsi le PGCD de 26 et 49, c’est 1 : ils sont premiers entre eux.
Les égalités précédentes permettent de trouver un couple (𝑢 ; 𝑣) tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 1 : La 4ème égalité nous donne 1 = 3 − 2 et la 3ème 2 = 23 − 7 × 3, on en déduit :
1 = 3 − 23 + 7 × 3 = 8 × 3 − 23
On poursuit avec 3 = 26 − 23 et on obtient : 1 = 8 × 26 − 8 × 23 − 23 = 8 × 26 − 9 × 23 Enfin 23 = 49 − 26 et donc : 1 = 8 × 26 − 9 × 49 + 9 × 26 = 17 × 26 − 9 × 49
On a ainsi obtenu un couple (𝑢 ; 𝑣) = (−9; 17) tel que 𝑢 × 49 + 𝑣 × 26 = 1 Exemple 6 : 2𝑛 + 3 et 3𝑛 + 4 sont premiers entre eux pour tout 𝑛 ∈ ℕ : En effet, 3 × (2𝑛 + 3) − 2 × (3𝑛 + 4) = 1
V – Le théorème de Gauss Théorème 3 : Théorème de Gauss
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois entiers naturels non nuls.
Si 𝒂 divise 𝒃𝒄 et si 𝒂 et 𝒃 sont premiers entre eux, alors 𝒂 divise 𝒄.
Démonstration :
𝑎 divise 𝑏𝑐 ⟹ 𝑏𝑐 = 𝑘𝑎 où 𝑘 est un entier relatif.
𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 1.
𝑏𝑐 = 𝑘𝑎 ⟹ 𝑣𝑏𝑐 = 𝑣𝑘𝑎 ⟹ (1 − 𝑢𝑎)𝑐 = 𝑣𝑘𝑎 ⟹ 𝑐 = 𝑢𝑎𝑐 + 𝑣𝑘𝑎 = 𝑎 (𝑢𝑐 + 𝑣𝑘) Et donc 𝑎 divise 𝑐. ∈ℤ
Propriété 5 : Corollaire du théorème de Gauss Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois entiers naturels non nuls.
Si 𝒂 et 𝒃 divisent 𝒄 et si 𝒂 et 𝒃 sont premiers entre eux, alors 𝒂𝒃 divise 𝒄.
Démonstration :
𝑎 et 𝑏 divisent 𝑐 donc 𝑐 = 𝑘𝑎 et 𝑐 = 𝑘′𝑏 donc 𝑘𝑎 = 𝑘′𝑏 On en déduit que 𝑏 divise 𝑘𝑎.
Or 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Gauss, 𝑏 divise 𝑘 ⟹ 𝑘 = 𝑏𝑘′′
𝑐 = 𝑘𝑎 = 𝑘 𝑎𝑏 ⟹ 𝑎𝑏 divise 𝑐.
Exemple 7 :
1) 4 et 5 divisent 100 et 4 et 5 sont premiers entre eux donc 4 × 5 = 20 divise 100.
2) Si les entiers ne sont pas premiers entre eux, ce résultat est faux en général :
4 et 6 divisent 36 (4 et 6 ne sont pas premiers entre eux) mais 4 × 6 = 24 ne divise pas 36 …
