PGCD ET PPCM, ALGORITHMES DE CALCUL. APPLICATIONS.

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�� PGCD ET PPCM, ALGORITHMES DE CALCUL. APPLICATIONS.

SoitAun anneau unitaire commutatif intègre etKun corps.

I. Notion de PGCD et de PPCM sur un anneau factoriel

I. A. Généralités

[Per��, §II.�, p��] [Rom��, Ch�, p��]

D��. [��]

Poura, bœA, on dit queadivisebet on notea|bsi÷cœA|b=ac, ou encore(b)µ(a).

D��. [�� ]

a, bœAsont dits associés sia|betb|a(ou s’il existeuœA^◊tel quea=ub).

R��. C’est une relation d’équivalence (notée≥). Deux éléments associés sont in- discernables du point de vue de la divisibilité.

D��. [��]aœAnon inversible et non nul est dit irréductible si pour toutb, cœAtels quea=bc, alorsbœA^◊oucœA^◊.

E��. DansZ, les éléments irréductibles sont les nombres premiers et leurs opposés.

D��. [PGCD,PPCM]Soienta, bœA. On dit que

• dœAest unPGCDdeaetbet on noted=a·bsi’cœA, c|aetc|b=∆c|d,

• mœAest unPPCMdeaetbet on notem=a‚bsi’cœA, a|cetb|c=∆m|c.

aetbsont dits premiers entre eux sia·b= 1.

R��. L’existence dePGCDetPPCMn’est pas garantie en général. S’ils existent, ils sont définis à un inversible près. On peut généraliser à une famille quelconque d’éléments.

P��. DeuxPGCD(resp.PPCM) dea, bœAsont associés.

Anneau factoriel, propriété d’existence et d’unicité. Dans la suiteAest factoriel.

Écriture en produit d’irréductibles, valuationp-adique E��. ZetK[X]sont factoriels.

Existence dePGCD,PPCM, expression en fonction des décompositions en produit d’irréduc- tibles, expression en terme d’idéauxæok pour lePPCMmais pas pour lePGCD(l’anneau n’est pas nécessairement principal! )

Application pour lePPCM: dans un groupe, il existe un élément d’ordre l’exposant du groupe Lemmes deG��

Exemples dansZ, dans les anneaux de polynômes.

On a(a·b)(a‚b) =abeta·(b‚a) =a=a‚(b·a)

I. B. Contenu d’un polynôme

[FGN��, §�.��, p��–��] [Per��, p��]

Contenu, lemme deG��

P��. [�� ’E��]

SoitAun anneau factoriel. SoitP =qn

i=0aiXⁱ œA[X]. SoitpœApremier. Sip- an,

’i < n, p|aietp²-a0, alorsPest irréductible dansFrac(A)[X].

Théorème deG��:A[X]factoriel siAl’est

II. Vers le théorème de B�� : PGCD sur un anneau principal

[Rom��, §�.�, p��] [Per��, §II.�.e, p��]

Anneau principal, exemple deZ, deK[X] K[X, Y]est factoriel non principal

SiAest principal, on a bien(a·b) = (a) + (b)(théorème deB��). En particulier condition pour queaetbsoient premiers entre eux! Exemples

Généralisation à une famille d’éléments Application : lemme des noyaux

III. Algorithmes de calcul dans les anneaux euclidiens

III. A. Obtention du PGCD

[Rom��, §�.�, p��]

Anneau euclidien, stathme, exemple deK[X]avec le degré Euclidien implique principal implique factoriel

Exemple d’anneau principal non euclidien

Algorithme d’E��: on utilise la division euclidienne en s’appuyant sur le fait que sia = bq+ravecr”= 0alorsa·b=b·r

Exemple d’application de l’algorithme

III. B. Recherche d’une relation de B��

Algorithme d’E��étendu : en remontant dans l’algorithme, on obtient une relation deB�-

��.

Exemple avec lePGCDde polynômes

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��–PGCDetPPCM, algorithmes de calcul. Applications.

IV. Applications aux équations en arithmétique

IV. A. Équations diophantiennes

[Rom��, §��.�, p��] [FGN��, §�.��, p��]

Définition d’une équation diophantienne [Com��, §��.�, p��]

Cas de l’équationax=b

Équationax+ny=c, réécriteax©c modn: ensemble des solutions, existence si et seulement sia·n | b, dans ce cas une solution particulière est donnée par l’identité deB��, exemples

Soientn, mØ2.

T��. Soita œ N^ú, b œ Z. On note” = a·net on écrita = ”a^Õ etn = ”n^Õ. L’équationax © b modna des solutions entières si et seulement si” | bet dans ce cas, si b = ”b^Õ, les solutions sont lesb^Õx^Õ₀+kn^Õaveck œ Zetx^Õ₀est une solution particulière de a^Õx©1 modn^Õ.

Généralisation àqaixi=b: calcul par récurrence d’une solution T��. [�� S��G��]

Soitpun nombre premier impair tel queq = 2p+ 1est premier. Alors il n’existe pas de triplet(x, y, z)œZ³tel quep-xyzetx^p+y^p+q^p= 0.

IV. B. Systèmes de congruence

[Rom��, §��.�-�, p��–��]

T��. [�� ]

Soient n₁, . . . , nr œ N des entiers distincts. Ces entiers sont premiers entre eux si et seulement siZ/nZetrr

j=1Z/njZsont isomorphes, oùn=rr

j=1nj. Plus précisément, l’application„:kn ‘≠æ(kⁿⁱ)1ÆiÆrest un isomorphisme d’anneaux.

E��. Z/4Zn’est pas isomorphe à(Z/2Z)². T��. L’isomorphisme inverse est donné par(ki

ni

)1ÆiÆr ‘≠æ qr

j=1kjuj n nj

noù l’on a choisit(uj)1ÆjÆrtels queqr

j=1uj n nj = 1.

Soientn, mØ2.

A��. Soita, bœZet(S)le système d’équations;

x©a modn

x©b modm d’inconnue xœZ. Sin·m= 1, alors

• on cherche une relation deB��un+vm= 1avecu, vœZ,

• on a alors une solution particulière deS:x₀=unb+vma,

• les solutions deS sont les(x0+knm)_kœZ.

E��. Les solutions de;

x©2 mod 3

x©4 mod 5 sont les(14 + 15k)kœZ.

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Agrégation – Leçons ��–PGCDetPPCM, algorithmes de calcul. Applications.

��

Algorithme d’E��

SoitAun anneau euclidien. L’algorithme d’E��détermine lePGCDde deux éléments : Entrée :a, bœA, b”= 0

Sortie :d, u, vtels queau+bv=detd=a·b

Algorithme :u₀= 1, u1= 0, v0= 0, v1= 1, r0=a, r₁=b, i= 1 Tant queri”= 0 :

r_i+1Ωri≠1≠qiri (division euclidienne deri≠1parri) ui+1Ωui≠1≠qiui

v_i+1Ωv_i≠1≠qivi

iΩi+ 1

Renvoyerri≠1, ui≠1, vi≠1

Algorithme d’E��étendu

��

L’objectif est de généraliser les notions dePGCDet dePPCMconnue surNà des anneaux.

��

Q En quoi le lemme des noyaux est une application du théorème deB��?

Q Dans le cas des anneaux euclidiens, retrouve-t-on exactement les mêmes résultats que dans Z?

R DansZon a unicité de la division euclidienne. DansAeuclidien, il faudrait imposer une condition supplémentaire pour l’avoir.

Q Quelle est la complexité de l’algorithme d’E��?

R O(ln(a)/ln(b)).

Q Connaissez-vous un algorithme plus simple que l’algorithme d’E��? R On aa·b= (a≠b)·bpoura, bœ N.

Tant queasontbsont non nuls, on remplace lemax(a, b)parmax(a, b)≠min(a, b).

Une autre possibilité récursive :

– siaetbsont pairs,PGCD(a, b) = 2 PGCD(a/2, b/2), – siaest pair etbimpair,PGCD(a, b) = PGCD(a/2, b),

– si les deux sont impairs, on regarde s’ils sont divisibles par3...

Q Montrer queZ[Ô5]ƒZ[X]/(X²≠5). Calculerd= 9·3(2 +iÔ5).

R z=a+Ô

5b,N(z) =a²+ 5b².zinversible correspond àN(z) = 1ou encorezœ{±1}.

3est un diviseur commun donc3|d. On a9 = 3◊3 = (2 +iÔ5)(2≠iÔ5) Sizz^Õ= 2 +iÔ5, on aN(z)N(z^Õ) = 9

Q Que dire des orbites de l’action deGL2(Z)surZ²? R (a b)≥(c d)sia·b=c·d=e(sie=au+bv:3

u v

≠b/e a/e

4 3 a

≠b/e 4=3

e b

4 ).

Réciproquement, deux vecteurs dans la même orbite ont mêmePGCDpar transitivité.

Q Et pour l’action deGLn(Z)surZⁿ?

R On espère le même résultat. Par le théorèmeB��, on aq

iaiui =dmais on ne va pas pouvoir trouver explicitement la matrice correspondante.

En revanche, siV =Z(u1, . . . , un)^€etW ={(x1, . . . , xn)œ Zⁿ|q

aixi= 0}, alorsWﬂ V = 0et doncW ƒZ^n≠1est un sous-groupe d’un groupe abélien libre donc est un groupe abélien libre. On a donc la matrice qu’il nous faut via cet isomorphisme.

��

[Com��] F.C��:Algèbre et géométrie. Bréal,��.

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

￿￿￿ PGCD ET PPCM, ALGORITHMES DE CALCUL. APPLICATIONS.