Chapitre V : Dérivation

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Chapitre V : Dérivation

I – Fonctions dérivées

Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a. Le nombre dérivé de f en a est la limite lim

xa

f x−f a x−a =lim

h0

fah−f a

h si elle existe et est fini, ce nombre dérivé est noté f 'a

Interprétation graphique :

Soit C la courbe représentative de f dans un repère O ,i ,j. Le nombre dérivée en a, f 'a, est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C ena , f a.

T : y=faf 'ax−a. Interprétation numérique :

Pour tout h tel queah∈I, f ah=faf 'ahhhavec^lim

h0h=0. f af 'ahest l'approximation affine de f ahpour h proche de 0.

Si f est dérivable en x∈I,

on a pour tout h tel quexh∈I, f xh−f x=f 'xhhhavec lim

h0h=0 . Les physiciens notenty=fxh−fxetx=h.

Soity=f 'xxxxavec_^lim_x

0

x=0.

On exprime symboliquement cette égalité par l'écriture différentielledy=f 'xdx. On note aussi f 'x=dy

dx .

Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. La fonction dérivée, noté f 'est définie par :

f ' : Iℝ f  f '

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Théorème 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Si f est dérivable en a alors f est continue en a.

Démonstration :

Remarque : La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue en 0 et n'est pas dérivable en 0.

Corollaire 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I.

II-Tableau des dérivées des fonctions usuelles : a∈ℝ, k∈ℝ

Fonctions usuelles )

(x

f f'(x) f' est définie sur

a 0 ℝ

x 1 ℝ

xⁿ, n2 nxⁿ⁻¹ ℝ

x

1 ₋¹

x²

ℝ⁺=]−∞;0[∪]0 ;∞[



^x ^x21 ¹

2



^x ^ℝ

*+=]0 ;∞[

cosx −sinx=cos



^x^^²



^ℝ

sinx cosx=sin



^x^^²



^ℝ

III- Dérivée et variations :

Théorème 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I deℝ.

• Si f'> 0sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où f' s’annule, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f'< 0sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où f' s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.

• Si f' est la fonction nulle sur I, alors f est constante sur I.

Définition 3 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et c un point de I. Dire que f(c) est un maximum local (respectivement un minimum local) signifie qu’il existe un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant c tel que pour tout x∈ J, f(x)≤ f(c)

(respectivement f(x)≥ f(c))

On dit aussi : f admet un maximum (respectivement un minimum) local en c.

On appelle extremum local, un maximum ou un minimum local.

Théorème 3 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ et c un point de I.

• Si f(c) est un extremum local alors f'(c)= 0.

• Si f' s’annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local.

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Attention : il n’y a pas équivalence (la dérivée de la fonction xx³ s’annule en 0 mais n’admet pas d’extremum en 0).

III- Dérivation et opérations :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et soit k un réel.

fonction fonction dérivées

v

u+ _u_'₊_v_'

u

k ku'

uv u'v+ uv'

v 1

2

' v

− v

v u

2

' '

v uv v u −

les deux dernières formules ne sont applicables que si pour tout x∈I, v(x)≠ 0 Application à l'étude de la fonction tangente

La fonction tangente notée tan est définie sur D=ℝ−{

2 k;k∈ℤ}par tan x=sinx cosx La fonction tan est continue et dérivable sur D car quotient de fonctions continues, dérivables sur D dont le dénominateur ne s'annule pas sur D.

La fonction tan est périodique de période et impaire.

Étude de cette fonction : Courbe représentative de tan :

Théorème 4 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J, et v une fonction définie et dérivable sur J,

alorsv°uest dérivable sur I et on a : pour tout x de I v°u'x=u 'x×v 'ux.

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Principe de la démonstration : Exemples :

• f : x



³^x²^²^x^²

• g : xcos4 x−1

• h : xtanx²

Théorème 5 :Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul

alors la fonction_uⁿest dérivable sur I et on a : pour tout x de I

uⁿ'x=n×u 'x×uⁿ⁻¹x. Démonstration :

Théorème 6 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I tel que pour tout x de I ux≠0et n un entier relatif négatif non nul

alors la fonctionuⁿest dérivable sur I et on a : pour tout x de I

uⁿ'x=n×u 'x×uⁿ⁻¹x. Démonstration :

Théorème 7 :Soit u une fonction strictement positive, définie et dérivable sur un intervalle I, alors la fonction



^uest dérivable sur I et on a : pour tout x de I





^u^^'^^x^=₂^{u '}



^u^^x^^^x^ ^.

Démonstration : Exemples :

• f : x3 x²2 x2⁷

• g : xcos³x

• h : x



^x²^⁴^x^⁵

• k : x 1

3 x²1⁵