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Chapitre III : PGCD et applications
I- PGCD de deux entiers naturels
Définition 1 : ܽ et ܾ désignent deux entiers naturels non nuls.
On appelle PGCD de ܽ et ܾ, et on note PGCD(ܽ; ܾ) le plus grand diviseur commun à ܽ et ܾ. Exemple : Recherche du PGCD de 70 et 84
ࣞ(70) = ሼ
ࣞ(84) = ሼ
ࣞ(70; 84) = ሼ
Et donc ܲܩܥܦ(70; 84) =
Propriété 1 : ܽ et ܾ désignent deux entiers naturels non nuls.
1) ࣞ(ܽ; 0) = ࣞ(ܽ) et ܲܩܥܦ(ܽ; 0) = ܽ. 2) Si ܾ divise ܽ alors ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) = ܾ.
3) En notant ݎ le reste de la D.E. de ܽ par ܾ, alors ࣞ(ܽ; ܾ) = ࣞ(ܾ; ݎ) et ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) = ܲܩܥܦ(ܾ; ݎ).
II- Algorithme d’Euclide
Action Division Reste Commentaire
On divise ܽ par ܾ ܽ = ܾݍ+ ݎ 0 ≤ ݎ< ܾ ࣞ(ܽ; ܾ) = ࣞ(ܾ; ݎ)
d’où ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) = ܲܩܥܦ(ܾ; ݎ) Si ݎ≠ 0, on divise ܾ par ݎ ܾ = ݎݍଵ+ ݎଵ 0 ≤ ݎଵ< ݎ ࣞ(ܾ; ݎ) = ࣞ(ݎ; ݎଵ)
d’où ܲܩܥܦ(ܾ; ݎ) = ܲܩܥܦ(ݎ; ݎଵ) Si ݎଵ≠ 0, on divise ݎ par ݎଵ ݎ = ݎଵݍଶ+ ݎଶ 0 ≤ ݎଶ< ݎଵ ࣞ(ݎ; ݎଵ) = ࣞ(ݎଵ; ݎଶ)
d’où ܲܩܥܦ(ݎ; ݎଵ) = ܲܩܥܦ(ݎଵ; ݎଶ)
… … … …
Si ݎ ≠ 0, on divise ݎିଵ par ݎ ݎିଵ = ݎݍାଵ+ ݎାଵ 0 ≤ ݎାଵ < ݎ ࣞ(ݎିଵ; ݎ) = ࣞ(ݎ; ݎାଵ)
d’où ܲܩܥܦ(ݎିଵ; ݎ) = ܲܩܥܦ(ݎ; ݎାଵ) On définit ainsi une suite d’entiers ݎ tels que 0 ≤ ⋯ < ݎାଵ < ݎ < ݎିଵ< ⋯ < ݎଶ< ݎଵ< ݎ< ܾ.
Cette suite est une suite strictement décroissante d’entiers naturels : c’est donc une suite finie et il existe un entier n tel que ݎ≠ 0 et ݎାଵ= 0.
Or ݎାଵ= 0 signifie que ݎ divise ݎିଵ et donc :
ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) = ܲܩܥܦ(ܾ; ݎ) = ܲܩܥܦ(ݎ; ݎଵ) = ⋯ = ܲܩܥܦ(ݎିଵ; ݎ) = ݎ.
Théorème 1 :
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
Si ܾ ne divise pas ܽ, alors le PGCD de ܽ et ܾ est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Exemple : Recherche de ܲܩܥܦ൫2185 ; 1 426൯à l’aide de l’algorithme d’Euclide
2 Propriété 2 : Conséquences de l’algorithme d’Euclide Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
1) L’ensemble des diviseurs de ܽ et ܾ est l’ensemble des diviseurs de ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) 2) Pour tout ݇ ∈ ℕ∗, ܲܩܥܦ(݇ܽ; ܾ݇) = ݇ × ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ).
Exemple : ܲܩܥܦ(240 ; 120) =
III – Nombres premiers entre eux
Définition 2 : Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
On dit que ܽ et ܾ sont premiers entre eux (ou étrangers) lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemples : 1)
2)
Propriété 3 : Caractérisation du PGCD
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
« Δ= ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) » équivaut à « il existe deux entiers naturels non nuls ܽ′ et ܾ′ premiers entre eux tels que ܽ =Δܽ′ et ܾ =Δܾ′.
IV – Le théorème de Bézout
Propriété 4 : Identité de Bézout
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls et ݀ leur PGCD.
Il existe deux entiers relatifs ݑ et ݒ tels que ݑܽ + ݒܾ = ݀. Remarque :
La réciproque est fausse en général : 6 = 1 × 4 + 1 × 2 et pourtant 6 ≠ ܲܩܥܦ(4; 2). Exemple : ܲܩܥܦ(18; 51) = 3
Il existe bien un couple (ݑ; ݒ) = (3; −1) tel que ݑ × 18 + ݒ × 51 = 3
Théorème 2 : Théorème de Bézout
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
ܽ et ܾ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs ݑ et ݒ tels que ݑܽ + ݒܾ = 1.
Remarque : l’algorithme d’Euclide est très pratique pour déterminer un couple d’entiers (ݑ ; ݒ) solution.
Recherche de ܲܩܥܦ(26; 49) avec l’algorithme d’Euclide : 49ด
= 1ณబ
× 26ด
+ 23ด
బ
26ด
= 1ณభ× 23ด
బ
+ 3ณ
భ
23ด
బ
= 7ณమ× 3ณ
భ
+ 2ณ
మ
3ณ
భ
= 1ณ
య
× 2ณ
మ
+ 1ณ
య
3
On connaît ainsi le PGCD de 26 et 49, c’est 1 : ils sont premiers entre eux.
Les égalités précédentes permettent de trouver un couple (ݑ ; ݒ) tels que ݑܽ + ݒܾ = 1 : La 4ème égalité nous donne 1 = 3 − 2 et la 3ème2 = 23 − 7 × 3, on en déduit :
1 = 3 − 23 + 7 × 3 = 8 × 3 − 23
On poursuit avec 3 = 26 − 23 et on obtient : 1 = 8 × 26 − 8 × 23 − 23 = 8 × 26 − 9 × 23 Enfin 23 = 49 − 26 et donc : 1 = 8 × 26 − 9 × 49 + 9 × 26 = 17 × 26 − 9 × 49
On a ainsi obtenu un couple (ݑ ; ݒ) = (−9; 17) tel que ݑ × 49 + ݒ × 26 = 1 Exemple : 2݊ + 3 et 3݊ + 4 sont premiers entre eux pour tout ݊ ∈ ℕ : En effet, 3 × (2݊ + 3) − 2 × (3݊ + 4) = 1
V – Le théorème de Gauss
Théorème 3 : Théorème de Gauss
Soient ܽ, ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
Si ࢇ divise ࢈ࢉ et si ࢇ et ࢈ sont premiers entre eux, alors ࢇ divise ࢉ.
Remarque : théorème très utile pour la résolution d’équations Propriété 5 : Conséquence du théorème de Gauss
Soient ܽ, ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
Si ࢇ et ࢈ divisent ࢉ et si ࢇ et ࢈ sont premiers entre eux, alors ࢇ࢈ divise ࢉ.
Exemples :
1) 4 et 5 divisent 100 et 4 et 5 sont premiers entre eux donc 4 × 5 = 20 divise 100.
2) Si les entiers ne sont pas premiers entre eux, ce résultat est faux en général :
4 et 6 divisent 36 (4 et 6 ne sont pas premiers entre eux) mais 4 × 6 = 24 ne divise pas 36 …
