Chapitre 8
Ensembles et applications
Sommaire
8.1 Ensemble . . . 66
8.1.1 Qu'est ce qu'un ensemble ? . . . 66
8.1.2 Inclusion et appartenance . . . 67
8.1.3 Opérations sur les ensembles . . . 69
8.1.4 Produit cartésien . . . 71
8.2 Applications . . . 72
8.2.1 Dénition . . . 72
8.2.2 Vocabulaire . . . 74
8.2.3 Changements des ensembles de départ ou d'arrivée . . . 74
8.2.4 Composition . . . 75
8.2.5 Injection, surjection et bijection. . . 76
8.3 Fonctions indicatrices . . . 80 L'objectif de ce chapitre est d'acquérir le vocabulaire élémentaire sur les ensembles et les applications.
8.1 Ensemble
8.1.1 Qu'est ce qu'un ensemble ?
Commençons par dénir la notion d'ensemble que vous connaissez depuis bien longtemps.
Unensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts, que l'on appelle lesélé- mentsde cet ensemble.
Dénition 8.1 (Ensemble)
Exemple 8.1. Vous connaissez déjà les ensembles usuelsN,Z,Q,Ret∅.
Pour décrire un ensemble, on peut :
donner la liste de tous ses éléments, entre accolades :E={0, π,11}.
le dénir comme le sous-ensemble d'un plus gros ensemble doté d'une propriété précise : E = {x ∈ R, x < 4} (c'est donc l'ensemble des éléments de R qui sont strictement inférieurs à 4).
Notation 8.1
8.1. ENSEMBLE
Lorsqu'on décrit un ensemble en listant ses éléments entre accolades, l'ordre d'apparition n'a aucune importance. Ainsi,{5,7,ln(2)}est le même ensemble que{ln(2),7,5}.
Remarque 8.1
On note souventE∗l'ensembleE à qui on a supprimé l'élément 0.
On a déjà vu que lorsqu'on travaille avec l'ensemble des entiers, on peut utiliser des crochets : soientpetqdeux entiers naturels, on note Jp, qK={n∈N/p≤n≤q}. Notation 8.2 (Cas particuliers)
Il ne faut donc pas confondre les ensembles{0,1,2} =J0,2K (qui ne contient que les nombres 0, 1 et 2) et[0,2](qui contient tous les nombres réels compris entre 0 et 2).
Remarque 8.2
Un ensembleE qui possède un nombre ni d'éléments est appelé un ensemble ni. Le nombre d'éléments deE est appelé lecardinal deE et est notécard(E)ou|E|.
Si à chaque élément d'un ensemble E, on peut faire correspondre un unique entier et réciproquement, on dit que E est un ensemble dénombrable (cela signie en fait que l'on peut compter ses éléments). Un tel ensemble n'est pas nécessairement un ensemble
Dans les autres cas, on parle d'ensemblesni. non dénombrables.
Dénition 8.2 (Vocabulaire)
Exemple 8.2. Rest un ensemble non dénombrable,Z est un ensemble dénombrable et{8,9,5}est un ensemble ni.
8.1.2 Inclusion et appartenance
Commençons par revoir une notation que vous connaissez déjà bien.
Si xest un élément d'un ensembleE, on notex∈E. Dans le cas contraire, on notex /∈E. Notation 8.3 (Appartenance)
Exemple 8.3. On a2∈Net√ 2∈/Q.
Une question intéressante à se poser lorsqu'on travaille avec des ensembles et de savoir s'il existe une relation d'ordre entre deux ensembles. On peut alors dénir la notion d'inclusion.
Soient E etF deux ensembles. On dit queF est inclus dansE (ouF est une partie deE, ou F est un sous-ensemble deE) sitout élément deF est également élément deE. On note alors F ⊂E. Si ce n'est pas le cas, on noteraF 6⊂E.
Dénition 8.3 (Inclusion)
Exemple 8.4. On aN⊂Z⊂Q⊂R. De même, pour tout ensembleE, on a∅ ⊂E.
Pour montrer qu'un ensemble F est inclus dans un ensemble E, on rédigera de la manière suivante :
Soitx∈F. Montrons que x∈E. On a ...
Doncx∈E. Ceci étant vrai pour tout élémentxdeF, on a montré queF ⊂E. Méthode 8.4 (Montrer une inclusion)
Exercice 8.1. On considèreAl'ensemble des nombres pairs etBl'ensemble de multiples de 8. Montrer queB⊂A.
On vient de voir que F ⊂ E est équivalent à ∀x ∈ F, x ∈ E . Ainsi, on a F 6⊂ E si et seulement si ∃x∈F, / x /∈E.
Remarque 8.3 (Non inclusion)
Exemple 8.5. On aZ6⊂N.
Pour montrer queF 6⊂E, il sut de trouver un élément deF qui n'est pas dansE. Méthode 8.5 (Montrer une non-inclusion)
Exercice 8.2. Est-il vrai queA⊂B avecA etB les ensembles de l'exercice 1 ?
Deux ensembles sont égaux lorsqu'ils sont constitués des mêmes éléments. Ainsi, en particulier, deux ensembles sont égaux si et seulement si l'un est inclus dans l'autre et l'autre est inclus dans l'un.
Dénition 8.4 (Egalité d'ensemble)
Pour montrer queF =E, on pensera à montrer queF ⊂E etE⊂F. Méthode 8.6 (Montrer une égalité)
Exercice 8.3. Les ensembles AetB de l'exercice 1 sont-ils égaux ? Pour terminer, nous allons étudier lespartiesd'un ensemble.
8.1. ENSEMBLE
Soit E un ensemble, on note P(E) l'ensemble des parties de E, c'est à dire l'ensemble des ensembles inclus dansE.
Dénition 8.5 (Parties d'un ensemble)
Exemple 8.6. Par exemple si E={a, b, c} alorsP(E) ={∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c}, E}. Exercice 8.4. DécrireP(J1,3K).
Il est très important de ne pas confondre la notion d'appartenance (qui s'utilise pour un élément et un ensemble) et la notion d'inclusion (qui s'utilise pour deux ensembles).
Remarque 8.4 (NE PAS CONFONDRE)
Exercice 8.5. SoitE={a, b, c} un ensemble. Peut-on écrire : a) a∈E?
b) a⊂E? c) {a} ⊂E? d) {a} ∈E? e) ∅ ∈E? f) ∅ ⊂E? g) {∅} ⊂E?
Les choses peuvent se compliquer encore lorsque les éléments sont eux-même des ensembles ! Reprendre l'exercice précédant en considèrant cette fois l'ensembleF =P(E).
Remarque 8.5
8.1.3 Opérations sur les ensembles
Plusieurs opérations sont possibles sur les ensembles ; nous allons étudier le passage au complémentaire, l'union et l'intersection.
SoitEun ensemble etAune partie deE. On appellecomplémentaire deAdansE et on note A ou{EAl'ensemble{x∈E/x /∈A}.
Il s'agit donc des éléments deE qui ne sont pas dansA. Dénition 8.6 (Complémentaire)
Exemple 8.7. Le complémentaire deR+ dansRestR∗−. Exercice 8.6. Donner le complémentaire :
de]0,1]dans[0,2].
de{x∈E/P(x)}dansE.
de l'ensemble des nombres pairs dansZ.
SoitE un ensemble etA etB deux parties deE. On a : 1) E=∅
2) A=A 3) ∅=E
4) A⊂B ⇔B⊂A.
Propriété 8.1 (Complémentaire)
Soient Eun ensemble, AetB deux parties de E. On appelle alors :
intersectiondeAet B l'ensemble
A∩B ={x∈E / x∈Aet x∈B}.
uniondeAetB l'ensemble
A∪B={x∈E, / x∈Aoux∈B}.
Dénition 8.7 (Union et intersection)
Figure 8.1 Intersection Figure 8.2 Union
Lorsque A∩B =∅, on dit queAet B sont disjoints.
Remarque 8.6
Exemple 8.8. 1. [1,2]∩]−5,7[ = [1,2]. 2. ]−2,3]∪ {−2}= [−2,3].
3. ]−∞,5[∩[2,+∞[ = [2,5[. 4. ]−∞,4]∪[3,+∞[ =R.
Exercice 8.7. Soit aet b deux réels tels quea < b. On pose= b−a2 et on note Ia = ]a−, a+[et Ib= ]b−, b+[. Que peut-on conjecturer quant à Ia∩Ib? Le démontrer.
SoitE un ensemble etA une partie deE. 1. A∪A=E.
2. A∩A=∅.
3. A∩B=B∩AetA∪B=B∪A.
4. A∩(B∩C) = (A∩B)∩C etA∪(B∪C) = (A∪B)∪C. Propriété 8.2
8.1. ENSEMBLE
1. Distributivité :
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 2. Lois de Morgan
A∩B=A∪B A∪B=A∩B.
Propriété 8.3 (Règles de calcul)
1. Ces opérations ont des propriétés héritées des connecteurs logiques qui servent à les dénir. Par exemple, on aA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)qui vient de la distributivité de et par rapport à ou .
2. ∩ ←→ et 3. ∪ ←→ ou
4. "La négation" de∩est ∪, et inversement.
Remarque 8.7 (Lien avec le Chapitre 2)
Exemple 8.9. Soit AetB deux sous ensembles deΩ. Comparer les ensembles suivants : A∪B, A∪B, A∩B, A∩B, A∩A, A∪A, ∅, Ω.
On peut alors généraliser l'union et l'intersection pour une famille d'ensemble.
Plus généralement, siI est un ensemble et(Ai)i∈I une famille de parties deE, alors on note :
\
i∈I
Ai={x∈E /∀i∈I, x∈Ai}.
[
i∈I
Ai={x∈E /∃i∈I, x∈Ai}.
Dénition 8.8 (Intersection et Union de famille)
S
i∈IAi =T
i∈IAi
T
i∈IAi =S
i∈IAi
Propriété 8.4
Exercice 8.8. Soit
1; 1 +n1
n∈N∗ une famille de sous-ensembles de R. Donner S
n∈N∗
1; 1 +n1 et T
n∈N∗
1; 1 +n1
Pour terminer, nous allons voir la notion de diérence, qui est construite grâce à l'intersection.
SoientAetBdeux parties d'un ensembleE. On noteA\B=A∩B. En faitA\Best l'ensemble des éléments deAn'appartenant pas à B.
Dénition 8.9 (Diérence)
Exemple 8.10. Vous utilisiez déjà cette notion lorsqu'on vous manipuliez par exempleR∗=R\{0}. Exercice 8.9. déterminer les ensembles suivants :
R+\]4,+∞[.
]8,10[\]8,9].
Exercice 8.10. Montrer que A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).
8.1.4 Produit cartésien
Nous terminerons l'étude des ensembles par la notion de produit cartésien, qui permet de construire des n−upletsd'éléments d'ensembles.
Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F, et on note E×F, l'ensemble des couples(x, y)avecx∈Eet y∈F.
Lorsque E=F, on notera E×E=E2.
Dénition 8.10 (Produit cartésien de deux ensembles)
Exemple 8.11. Vous aviez déjà l'habitude de manipuler le produit cartésien lorsque vous écriviez par exemple Soit(x, y)∈R2.
Attention, un couple estordonné! Autrement dit, en règle générale, (x, y)et (y, x) sont distincts. On fera donc attention à ne pas confondre les ensemble E×F et F×E.
Remarque 8.8 (Ordre)
La dénition précédente s'adapte au cas denensembles. SiE1,. . .,Ensontnensembles, alors l'ensembleE1× · · · ×En est l'ensemble des n-uplets(x1, . . . xn)tels que pour touti,xi∈Ei.
Remarque 8.9 (Généralisation)
Exemple 8.12. N×Z={(n, m)avecn∈N, m∈Z}.
(−3,√
2)∈Z×Rcar−3∈Zet√
2∈R, mais(1 2,√
2)∈/ Z×Rcar√
2∈Rmais 12∈/ Z.
Le plan R2 :=R×R ={(x, y),avecx∈Rety∈R}. Dans ce plan, un point est représenté par son abscissexet son ordonnéey (ex :A(0,1)est le point d'abscisse 0 et de d'ordonnée 1).
L'espace tridimensionnelR3=R×R×R={(x, y, z),avecx∈R, y∈Ret z∈R}. Pour dénir un point dans l'espace, 3 coordonnées sont nécessaires.
8.2. APPLICATIONS
8.2 Applications
8.2.1 Dénition
Uneapplication est la donnée de :
deux ensemblesE etF,
d'une partieΓdeE×F telle que
∀x∈E, ∃!y∈F, (x, y)∈Γ.
Dénition 8.11 (Application)
L'ensemble E s'appellel'ensemble de départ, l'ensembleF estl'ensemble d'arrivéeet Γest le graphede l'application.
Remarque 8.10 (Vocabulaire)
On peut noter
f :
E −→F x 7−→f(x) ou simplementf :E→F.
On note souventF(E, F)ouFE l'ensemble des applications deE dansF. Notation 8.7
Exemple 8.13. On a déjà vu que l'on note RN l'ensemble des suites réelles. Cela a maintenant un sens.
Les application allant d'une partie deRdansRsont usuellement appelées des fonctions.
En fait, dénir une applicationf, c'est associer à tout élémentxd'un ensemble Eununiqueélément, notéf(x), d'un ensembleF.
Exemple 8.14. f :
N 7→Z
n →n2−n+ 1 est une application.
Illustration :
Pour bien comprendre :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Exemple 3 :
8.2.2 Vocabulaire
Soient Eet F deux ensembles et soitf :E→F une application.
Si y=f(x), on dit quey estl'image dexparf et quexestun antécédentdey parf.
Pour touty ∈F, les solutions de l'équationy =f(x)d'inconnue xforment l'ensemble desantécédents deyparf. Cet ensemble peut-être vide, ou contenir un, plusieurs, voire une innité d'éléments.
SoitB un sous-ensemble deF. On appelleimage réciproque deB parf l'ensemble noté f−1(B)déni par
f−1(B) ={x∈E tel que ∃y∈B, y=f(x)}.
Soit A un ensemble inclus dans E. On appelle image directe de A par f, et on note f(A), l'ensemble
f(A) ={y∈F tel que ∃x∈A, y=f(x)}.
Dénition 8.12 (Image, antécédent, ensemble image et image réciproque)
Exercice 8.11. 1. Schématiser une applicationf dénie sur l'ensembleE={1,2,3,4}et à valeurs dansF ={a;b;c;d}
Donner l'image de 3 parf, l'ensemble des antécédents decparf et l'ensemble des antécédents de b parf.
8.2. APPLICATIONS
2. Dénissonsf :
R→R x7→1 , g:
R→R x7→x2 ,h:
R→R x7→ex ,i:
R∗+→R x7→lnx
Déterminerf(R),g(R),g(R∗+),h(R),h(R∗+),i(R∗+),h([−2,2]),h([−1,2]),f−1({1}),g−1([0,1])et h−1(R+).
3. Soient E et F deux ensembles. f : E −→ F une application. SoientA et B deux parties de E.
Montrer que :
A⊂B⇒f(A)⊂f(B).
SoientC et Ddeux parties deF. Montrer que :
C⊂D⇒f−1(C)⊂f−1(D).
8.2.3 Changements des ensembles de départ ou d'arrivée
Nous avons vu, au travers d'exemples, que deux applications qui nous semblent les mêmes sont diérentes si elles n'ont pas le même ensemble de départ ou d'arrivée. Voyons comment modier ces ensembles.
Soient E etF deux ensembles et f :E→F une application. Pour Aun sous ensemble de E, on appellerestriction de f à Al'application notéef|A dénie par
f|A:
A →F x 7→f(x)
Dénition 8.13 (Restriction)
On a déjà utilisé cette notion lorsque nous avons déni les limites à gauche et à droite des fonctions dans le chapitre 8.
Remarque 8.11
Exemple 8.15. La fonction f :
R 7→R
x →x2 n'est pas croissante, mais on utilise très souvent que sa restriction àR+ l'est.
Soient E et F deux ensembles et f : E →F une application. Soit B un ensemble contenant E. On appelleprolongement de f surB toute fonctiong:B →F telle que g|E =f.
Dénition 8.14 (Prolongement)
Exemple 8.16. La fonctionf(x) =xln(x)est dénie pour toutx >0. On a vu qu'on pouvait la prolonger par continuité sur[0,+∞[de la façon suivante :
f˜ :
[0,+∞[ −→ R x6= 0 7−→ xln(x)
0 7−→ 0
La fonction valeur absolue est un prolongement àRde la fonction :
f :
R+ −→ R x 7−→ x
8.2.4 Composition
Soient E, F et Gtrois ensembles etf :E7→F,g:F 7→Gdeux applications.
La composée def et deg, notéeg◦f est l'application dénie par g◦f :
E →G x 7→g(f(x)) Dénition 8.15 (Composée)
On a déjà vu cette dénition plusieurs fois.
Remarque 8.12
Il est crucial que l'ensemble d'arrivée def soit inclus dans l'ensemble de départ deg pour que la composition soit bien dénie !
Remarque 8.13
Exemple 8.17. Soitf(x) =x2−1,∀x∈Retg(x) =x−2,∀x∈R. Alorsg◦f(x) =x2−3, f◦g(x) =x2−4x+ 3,∀x∈R.
La composition n'est pas commutative :g◦f 6=f ◦g en général. Il est même possible que l'un soit déni et l'autre non (voir la remarque précédente).
Exercice 8.12. 1) Soientf :R→R, x7→x2 et g:R→R, x7→x+ 1. Donner une expression de g◦f et def◦g.
2) Considérer les deux fonctions suivantes : f(x) =x2−1,∀x∈R. g(x) =√
x,∀x∈R+. Calculerg◦f et def◦g.
3) Ecrire la fonction f :
R →R
x 7→sin(x2+ 1) comme la composée de deux fonctions.
Soient quatre ensemblesE1,E2,E3 etE4et trois applicationsf1:E1→E2,f2:E2→E3 et f3:E3→E4. On dit que la composée de fonctions est associative, car
f3◦(f2◦f1) = (f3◦f2)◦f1=f3◦f2◦f1. Propriété 8.5 (Associativité)
Pour terminer cette section, voyons la dénition d'une nouvelle application, très utile en algèbre linéaire, comme nous le verrons plus tard.
8.2. APPLICATIONS
SoitE un ensemble. Lafonction identiténotéeidE est l'application dénie par idE:
E →E x 7→x
Dénition 8.16 (Fonction identité)
Pour toute applicationf :E→F, on a
f◦idE=f etidF◦f =f.
Propriété 8.6 (Composition et identité)
8.2.5 Injection, surjection et bijection
Les trois notions qui suivent sont centrales dans l'étude des applications. Il faut les connaître par coeur et savoir les manipuler sans problème.
Injection
Soient E et F deux ensembles etf :E→F une application. On dit quef est injective de E dansF (ou quef est une injectionE dansF) si :
∀(x, x0)∈E2, x6=x0⇒f(x)6=f(x0) (1) ou de manière équivalente : (contraposée)
∀(x, x0)∈E2, f(x) =f(x0)⇒x=x0. (2).
Dénition 8.17
Souvent, pour montrer quef est injectiveE dansF, on utilisera(2)en rédigeant de la manière suivante :
Soit(x, x0)∈E2 tels que f(x) =f(x0). On a alors ... Doncx=x0. Ceci étant vrai pour tout couple deE2, on a montré quef est injective.
Souvent, pour montrer que f n'est pas injective de E dans F, on utilisera (1), en rédigeant de la manière suivante.
Pourx=... etx0=..., on a x6=x0 etf(x) =...=f(x0)doncf n'est pas injective.
Méthode 8.8 (Montrer qu'une application est injective)
Cette dénition signie également que pour touty dansF l'équationy=f(x)admet au plus une solutionxdansE. Cela revient aussi à dire que tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent parf. Enn,graphiquement, toute droite horizontale coupe le graphe en au plus un point.
Remarque 8.14
Exemple 8.18. La fonction identité est injective de E dans E, la fonction valeur absolue n'est pas injective de R∗ dansR∗.
Exercice 8.13.
1. L'applicationx7→x2 est-elle injective deRdansR? 2. Les applications anes sont-elles injectives deRdansR?
3. Soitf :N−→N, f(n) = 3n.Montrer quef est injective deNdansN.
Exercice 8.14. Soitf une application de E dansF.A etB deux parties deE. Montrer que : 1. f(A∪B) =f(A)∪f(B).
2. f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
3. Sif est injectiveE dansF alorsf(A)∩f(B) =f(A∩B).
Soient E, F etGtrois ensembles.f :E−→F etg:F−→Gdeux applications.
(f et g injectives)⇒(g◦f injective). Propriété 8.7
Surjection
Soitf une application deE dansF. On dit quef est surjective (ou quef est une surjection) si :
∀y∈F,∃x∈E:y=f(x).
On a alorsf(E) =F. Dénition 8.18
Autrement dit, f est surjective ssi tout élément de l'ensemble d'arrivée F a au moins un antécédent par f. C'est équivalent à dire que pour touty dans F l'équation y =f(x)admet au moins une solution xdansE. Graphiquement toute droite horizontale coupe le graphe en au moins un point.
Remarque 8.15
Pour montrer qu'une applicationf est surjective, on doit résoudre l'équationy=f(x) pour unyxé et montrer qu'il existe au moins une solution. On rédigera de la manière suivante :
Soit y ∈F. Pour x=...., on a f(x) =y. Ainsi, l'équation y =f(x)a au moins une solution pour chaquey deF. L'applicationf est donc surjective.
Pour montrer quef n'est pas surjective, il sut de trouver un élémenty ∈F, qui n'a pas d'antécédent par f.
Méthode 8.9
Exercice 8.15.
1. L'identité est-elle surjective deE dansE?
8.2. APPLICATIONS
2. Les applications anes sont-elles surjectives deRdansR? 3. L'application carré est -elle surjective deRdansR?
4. L'applicationf :N−→N, f(n) = 3nest-elle surjective deNdansN?
5. Donner une application injective mais pas surjective et une application surjective mais pas injective.
Soient E, F etGtrois ensembles.f :E−→F etg:F−→Gdeux applications.
(f et gsurjectives)⇒(g◦f surjective). Propriété 8.8
Exercice 8.16.
Soitf une application deE dansF etg deF dansGmontrer que :
g◦f injective impliquef injective.
g◦f surjective impliquegsurjective.
Bijection
Soitf une application deE dansF. On dit quef est bijective si et seulement sif est injective et surjective. C'est à dire :
∀y∈F,∃!x∈E:y=f(x).
Dénition 8.19
Autrement dit,f est bijective si et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée F a un antécédent unique par f. Ou encore : pour tout y dans F l'équation y = f(x) admet une unique solutionxdansE.Graphiquement toute droite horizontale coupe le graphe en un point exactement.
Remarque 8.16
Pour montrer qu'une applicationf est bijective, on peut résoudrey=f(x), yxé et on montre que l'équation a une unique solution. On rédigera de la manière suivante : Soity∈F. Soitx∈E. On ay=f(x)⇔...⇔x=... Ainsi, pour chaquey ∈F, il existe un unique antécédentxparf. Doncf est une bijection.
Parfois, il est plus simple de dissocier l'injectivité de la surjectivité. On commence alors par montrer la surjectivité (cela permet de voir si on peut montrer l'unicité de la solution et donc l'injectivité en même temps).
Pour montrer que f n'est pas bijective, on peut montrer que f n'est pas injective ou pas surjective.
Méthode 8.10
Exercice 8.17.
1. L'identité est bijective sur deEdansE.
2. Les applications anes sont-elles bijectives deRdansR? 3. L'application carré est -elle bijective deRdansR?
4. L'application exponentielle, sur quel ensemble est-elle bijective ? 5. L'application inverse, sur quel ensemble est-elle bijective ?
Soient E, F etGtrois ensembles.f :E−→F etg:F−→Gdeux applications.
(f etg bijectives)⇒(g◦f bijective). Propriété 8.9
Application réciproque
Lorsqu'une application est bijective, on peut créer une nouvelle application à partir de la première.
SoientEetF deux ensembles etf :E→F une application bijective. Ilexiste alors une unique application g:F→Evériant
g◦f =idE et f◦g=idF.
Cette fonction est appelée labijection réciproque def et est notéeg=f−1. Théorème 8.1 (Théorème de la bijection réciproque)
Exemple 8.19. Vous connaissez par exemple la fonction réciproque de la fonction exp : R → R∗+. Il s'agit de la fonctionln :R∗+→R.
Pour trouver l'application réciproque d'une application bijective, on utilisera la caractérisation :
∀(x, y)∈E×F, y=f(x)⇔x=f−1(y).
On notera que, trouver la fonctionf−1permet de démontrer que la fonction est bijective.
Méthode 8.11 (Trouver l'application réciproque d'une application)
Exercice 8.18. 1. Donner l'application réciproque de la fonction carrée dénie sur R+. 2. De même pour une application ane dénie surR.
3. Soitq∈R∗. On posef(x) =xq, pour toutx∈R∗+.Donner la bijection réciproque def.
Soient E et F deux ensembles et f : E → F une application. S'il existe une application g:F →E telle quef ◦g=idF etg◦f =idE alorsf est bijective etf−1=g.
Propriété 8.10 (Réciproque du Théorème de la bijection réciproque)
Exercice 8.19. On pose E= [|1, n|] et on notef l'application qui à toute liste L= (a1, a2, . . . , an)de En associe la listef(L) = (an, . . . , a2, a1).
Montrer quef est bijective et donnerf−1.
Exercice 8.20. Soitf :R2−→R2, qui à(x, y)∈R2 associe(x+y, x−y).
Calculerf ◦f. En déduire quef est bijective et déterminer son application réciproque. contenu...
8.3. FONCTIONS INDICATRICES
f est une bijection de E surF et gune bijection deF surE, alorsg◦f est bijective et on a (g◦f)−1=f−1◦g−1.
Propriété 8.11
Si f est une application continue et strictement monotonesur un intervalle I deR, à valeurs dans un intervalleJ deR, alorsf est injective. Elle réalise donc une bijection deIdansf(I). Sa bijection réciproque est de la même monotonie quef.
Théorème 8.2 (Théorème de la bijection)
Exercice 8.21. (*)
Soita∈Retf :]a,+∞[→R,x7→ 1 x−a.
Montrer quef est bijective de]a,+∞[sur]0,+∞[et déterminerf−1.
8.3 Fonctions indicatrices
Nous terminons ce chapitre avec l'étude d'une fonction qui apparaît souvent en analyse. Il s'agit de la fonction indicatrice.
SoientEun ensemble etAune partie deE. On appellefonction indicatricedeA, l'application deE dans{0,1} qui àx∈E associe 1 six∈Aet 0 sinon. On note cette fonction 1A.
Dénition 8.20 (Fonction indicatrice)
Voici deux propriétés de cette fonctions qui nous servirons plus tard.
Soient AetB deux parties d'un ensembleE. On a alors, A=B ⇔1A=1B. Propriété 8.12 (Egalité)
Soient AetB deux parties d'un ensembleE, alors on a
1A= 1−1A, 1A∩B =1A.1B et 1A∪B=1A+1B−1A.1B. Propriété 8.13
