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LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS

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Academic year: 2022

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(1)

Math Sup ICAM Toulouse CB01

C.B. N° 1

LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS

24/09/13

1- Soit f une application définie surℝà valeurs dansℝ. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :

i) f s’annule sur

[

0;+∞

[

. ii) f n’est pas la fonction nulle.

iii) f est de signe constant.

2- Donner la négation des assertions suivantes : i) ∀M∈ℝ, x∃ ∈ℝ/ f (x)>M.

ii) M, x∀ ∈, y∃ ∈/ f x

( (

+y

)

=M .

)

iii) ∀(a ; b) ∈R2 (a > 0 , b ? 0) + (∃∃∃∃ n ∈N / na > b)

3- Donner la négation, puis la contraposée de l’implication suivante :

( ) ( )

(

x; y 2, h x+y =h(x) h(y)×

)

⇒ ∀ ∈

(

x , h(x)0

)

4- A, B et C désignent des sous-ensembles non vides d’un ensemble E. Montrer que : ( A \ B) \ ( C \ B) = A \ ( C ∪ B)

5- Soit f : E→F définie par f(x) = -x2 + 3x + 4.

a) On suppose E = F = ℝ. i) f est-elle injective ? Justifier.

ii) f est-elle surjective ? Justifier.

b) Déterminer E et F (non vides !) pour avoir f bijective. (Ne pas justifier)

(2)

Math Sup ICAM Toulouse CB01

C.B. N° 1

LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS

24/09/13

1- Soit f une application définie surℝà valeurs dansℝ.

Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :

i) f ne s’annule pas sur

[

0;+∞

[

.

ii) f n’est pas une fonction constante.

iii) f n’est pas de signe constant.

2- Donner la négation des assertions suivantes : i) ∃M∈ℝ, x∀ ∈ℝ, f (x)≥M.

ii) M, x∀ ∈, y∃ ∈/ f x

( (

+y

)

=M .

)

iii) ∀(a ; b) ∈ R2 (a > 0 , b ? 0) + (∃∃∃∃ n ∈N

/ na > b)

3- Donner la négation, puis la contraposée de l’implication suivante :

( ) ( )

(

x; y 2, h x×y =h(x)+h(y)

)

⇒ ∃ ∈

(

x , h(x)<0

)

4- A, B et C désignent des sous-ensembles non vides d’un ensemble E. Montrer que : ( B \ A) \ ( C \ A) = B \ ( A ∪ C)

5- Soit f : E→F définie par f(x) = - 4x2 + 3x + 1.

a) On suppose E = F = ℝ. i) f est-elle injective ? Justifier.

ii) f est-elle surjective ? Justifier.

b) Déterminer E et F (non vides !) pour avoir f bijective. (Ne pas justifier)

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