Ensembles, applications
Cours de É. Bouchet ECS1 22 septembre 2020
Table des matières
1 Ensembles 2
1.1 Appartenance . . . 2
1.2 Inclusion . . . 2
1.3 Ensemble des parties de E . . . 3
1.4 Complémentaire . . . 3
2 Opérations sur les ensembles 4 2.1 Intersection . . . 4
2.2 Réunion . . . 5
2.3 Propriétés de l'intersection et la réunion . . . 6
3 Produit cartésien 8 4 Applications 8 4.1 Dénition . . . 8
4.2 Restriction et prolongement . . . 9
4.3 Composée de deux applications . . . 9
4.4 Injection, surjection, bijection . . . 10
4.5 Application réciproque . . . 11
1 Ensembles
1.1 Appartenance
Un ensembleE est un groupement d'objets distincts, ces objets s'appellent les éléments de l'ensemble.
Six est un élément de E, on notex∈E.
Il existe un ensemble qui n'a pas d'éléments, il est unique, c'est l'ensemble vide, noté ∅. Dénition (Ensemble).
Deux familles d'ensembles sont à connaître particulièrement :
Les ensembles nis : Ensembles qui ont un nombre d'éléments ni. On appelle cardinal ce nombre.
Les ensembles dénombrables : Ensembles non nis dont on peut numéroter les éléments.
Exemple 1. Parmi les ensembles usuels,
[[0, n]] est l'ensemble des entiers compris entre0 etn. C'est un ensemble ni de cardinal(n+ 1).
k
n, k∈[[1, n]]
est un ensemble ni de cardinaln.
N,N∗,Z,N2,Qsont des ensembles dénombrables.
R n'est ni dénombrable, ni ni, car on ne peut pas numéroter ses éléments.
1.2 Inclusion
SoientA etB deux ensembles.
On dit queAest inclus dans B si tout élément deA est aussi un élément de B. On note alors A⊂B.
On dit queAetB sont égaux si A⊂B etB ⊂A. On note alors A=B.
Dénition (Inclusion, égalité).
Exemple 2. Représentation graphique deA⊂B :
A B
Remarque. Cela donne en termes de quanticateurs : A⊂B ⇐⇒∀x∈A, x∈B.
A6⊂B ⇐⇒∃x∈A tel que x6∈B.
Soit A,B etC trois ensembles.
(A⊂B etB⊂C) =⇒(A⊂C). Proposition.
Démonstration. Supposons que A⊂B et B ⊂C. Soit x ∈A. Comme A⊂B, alorsx ∈B. Et comme B ⊂C, on a aussix∈C. Donc pour tout x∈A, on a aussix∈C. Ce qui implique que A⊂C.
1.3 Ensemble des parties de E
Soit E un ensemble. L'ensemble des sous-ensembles (au sens de l'inclusion) de E est appelé ensemble des parties deE, et est noté
P(E). Dénition (Ensemble des parties).
Remarque. Attention aux objets manipulés : On écrit3∈R,{3}⊂R et{3}∈P(R).
Exemple 3. SoitE={1,2,3,4}. Déterminer P(E).
Les éléments deP(E)sont :∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4}et{1,2,3,4}.
1.4 Complémentaire
Soit E et A deux ensembles, tels queA ⊂E. On appelle complémentaire de A dansE l'ensemble des éléments deE qui ne sont pas dansA. On note
A={x∈E tel que x6∈A}.
Dénition (Complémentaire).
Exemple 4. Complémentaire d'un ensembleA dans un ensemble E :
A
E A
Remarque. En termes de quanticateurs, on a : soitx∈E, x∈A⇐⇒x6∈A.
x6∈A⇐⇒x∈A.
Remarque. On a également les relations suivantes : E =∅ et∅=E.
A=A.
A⊂B ⇐⇒B⊂A.
2 Opérations sur les ensembles
2.1 Intersection
Soit AetB deux ensembles.
On appelle intersection de A et B l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B.
On la note
A∩B.
On appelleAprivé de B, l'ensemble des éléments de A qui ne sont pas dansB. On le note A\B=A∩B.
On dit queAetB sont disjoints lorsque A∩B =∅ Dénition (Intersection, ensembles disjoints).
Exemple 5. Représentation graphique :
A∩B A\B
A B
Remarque. On peut généraliser l'intersection à plus de deux ensembles : soit(Ai)i∈N∗ une famille de sous-ensembles deE,
n
\
i=1
Ai ={x∈E|∀i∈[[1, n]], x∈Ai}
et +∞
\
i=1
Ai={x∈E|∀i∈N∗, x∈Ai}.
Exemple 6. Montrer les égalités suivantes :
+∞
\
k=1
]−∞,−k] =∅.
Il est immédiat que ∅ ⊂
+∞
\
k=1
]−∞,−k].
Soit x ∈
+∞
\
k=1
]−∞,−k], alors pour tout k ∈ N∗, x ∈ ]−∞,−k], c'est-à-dire x 6 −k. En passant à la limite pour k → +∞, on trouve x 6 −∞ : impossible. Donc il n'existe pas de x dans l'ensemble. Donc
+∞
\
k=1
]−∞,−k]⊂ ∅.
Par double inclusion, on obtient bien l'égalité annoncée.
+∞
\
k=1
1,1 +1 k
={1}.
Soit x ∈
+∞
\
k=1
1,1 +1 k
, alors pour toutk∈N∗,x ∈
1,1 +1k
, c'est-à-dire 16x61 + 1k. En passant à la
limite pourk→+∞, on trouve16x61, et donc x= 1. Donc
+∞
\
k=1
1,1 +1 k
⊂ {1}.
Réciproquement : pour toutk∈N∗,1∈
1,1 +1k
, donc 1∈
+∞
\
k=1
1,1 + 1 k
, et donc{1} ⊂
+∞
\
k=1
1,1 +1 k
. Par double inclusion, on obtient donc bien l'égalité annoncée.
Soit A,B etC trois ensembles.
A∩B⊂AetA∩B ⊂B, SiA⊂B alorsA∩B=A,
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C =A∩B∩C.
Proposition.
Démonstration.
∀x∈A∩B,x∈A. DoncA∩B ⊂A. De même, A∩B ⊂B.
On suppose queA⊂B. On sait déjà queA∩B ⊂A. Réciproquement, soitx∈A. Comme A⊂B, alorsx∈B, donc x∈A∩B, etA⊂A∩B. Par double inclusion, on obtient bien A∩B =A.
Les ensembles du troisième résultat sont tous égaux à {x tel quex∈A, x∈B etx∈C}, et donc égaux.
2.2 Réunion
Soit AetB deux ensembles, on appelle réunion de AetB, notée A∪B,
l'ensemble des éléments appartenant soit àA, soit àB. Dénition (Réunion).
Exemple 7. Représentation graphique :
A∪B
A B
Remarque. On peut généraliser la réunion à plus de deux ensembles : soit(Ai)i∈N∗ une famille de sous-ensembles de
E, n
[
i=1
Ai ={x∈E|∃i∈[[1, n]], x∈Ai}
et +∞
[
i=1
Ai={x∈E|∃i∈N∗, x∈Ai}.
Exemple 8. Montrer les égalités suivantes :
+∞
[
k=1
]−∞, k] =R.
Il est immédiat que
+∞
[
k=1
]−∞, k]⊂R.
Soit x∈R. Soit N un entier strictement positif supérieur à x(par exemple N = 1six60etN =bxc+ 1 sinon, où bxc est la partie entière de x qu'on dénira rigoureusement dans le prochain chapitre). Alors x6N, donc x∈]−∞, N]etx∈
+∞
[
k=1
]−∞, k]. D'oùR⊂
+∞
[
k=1
]−∞, k]. Par double inclusion, ces deux ensembles sont bien égaux.
10
[
k=1
−∞,2 +1 k
= ]−∞,3].
Soit x∈
10
[
k=1
−∞,2 + 1 k
, alors il existe unk∈[[1,10]]tel quex∈
−∞,2 +1k
, donc x62 +1k 63. Donc
10
[
k=1
−∞,2 +1 k
⊂]−∞,3].
Soit x∈]−∞,3]. Alorsx∈
−∞,2 +11
donc x∈
10
[
k=1
−∞,2 + 1 k
. Donc]−∞,3]⊂
10
[
k=1
−∞,2 + 1 k
. Par double inclusion, on obtient donc bien l'égalité annoncée.
Soit A,B etC trois ensembles.
A⊂A∪B etB ⊂A∪B, SiA⊂B alorsA∪B =B,
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C =A∪B∪C.
Proposition.
Démonstration.
Soit x∈A, alors x∈A∪B, donc A⊂A∪B. De même, B⊂A∪B.
On suppose queA⊂B. On sait déjà queB ⊂A∪B. Soitx∈A∪B. Alorsx∈B oux∈A. Six∈A,x∈B carA⊂B. Doncx∈B, etA∪B ⊂B.
Les ensembles du troisième résultat sont tous égaux à {x tel quex∈Aou x∈B ou x∈C}, et donc égaux.
2.3 Propriétés de l'intersection et la réunion Exemple 9. Montrer queA∪B =A∩B⇐⇒A=B.
SiA=B, alors A∪B =A=A∩B. DoncA=B =⇒A∪B =A∩B. Réciproquement, supposonsA∪B =A∩B.
Soit x∈A. Alorsx∈A∪B et l'égalité précédente nous donne x∈A∩B⊂B. Doncx∈B, etA⊂B. On montre de même que B⊂A.
Donc A=B par double inclusion. DoncA∪B =A∩B =⇒A=B. DoncA∪B =A∩B ⇐⇒A=B.
Soit A,B,C des ensembles.
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) et
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C). Proposition (Distributivité).
Démonstration. (démonstration à connaître) On montre la première identité, la deuxième se montre de façon analogue.
Soit x∈A∪(B∩C). Alorsx∈A oux∈B∩C.
Si x∈A, alors x∈(A∪B)∩(A∪C). Si x∈B∩C, alors x∈B etx∈C.
Doncx∈(A∪B)∩(A∪C).
Donc A∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C). Réciproquement, soit x∈(A∪B)∩(A∪C).
Alorsx∈A∪B etx∈A∪C.
Si x∈A, alors x∈A∪(B∩C). Si x /∈A, alors x∈B etx∈C.
Doncx∈B∩C etx∈A∪(B∩C).
Donc (A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C).
Par double inclusion, on obtientA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Soit A,B des ensembles.
A∩B =A∪B et
A∪B=A∩B.
Proposition (Lois de Morgan).
Démonstration. (démonstration à connaître) On montre la première identité, la deuxième se montre de façon analogue.
Soit x∈A∩B. Alorsx /∈A∩B. Donc x /∈A oux /∈B. Et x∈A∪B. Donc A∩B ⊂A∪B.
Réciproquement, soit x∈A∪B. Alorsx /∈A oux /∈B. Donc x /∈A∩B, etx∈A∩B.
Donc A∪B ⊂A∩B.
Par double inclusion, on obtientA∩B=A∪B.
3 Produit cartésien
Soit E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E par F, noté E ×F, l'ensemble des couples ordonnés (x, y)où x∈E ety∈F.
Dénition (Produit cartésien).
Remarque. On a :
E×F ={(x, y)|x∈E ety ∈F}.
u∈E×F ⇐⇒ ∃x∈E,∃y ∈F tels que u= (x, y). Exemple 10. R×R=R2 est l'ensemble des couples de réels.
Remarque. On peut généraliser le produit cartésien à plus de deux ensembles : soit (Ai)i∈N une famille de sous- ensembles deE,
n
Y
i=1
Ai=A1×A2× · · · ×An={(x1, x2, . . . , xn)|∀i∈[[1, n]], xi ∈Ai}.
4 Applications
4.1 Dénition
Soit E etF deux ensembles non vides. On dit quef est une application dénie de l'ensemble de départ E dans l'ensemble d'arrivéeF lorsqu'elle associe à tout élémentx de E un et un seul élément y de F. Cet élément y unique, noté f(x), est l'image de x parf. L'élémentx est un antécédent dey parf.
Dénition (Application, image, antécédent).
Exemple 11. Représentation graphique d'une applicationf :
•
•
•
•
•
•
•
•
• E
F
Exemple 12. f :R7−→R, x7−→x2 est une application de l'ensemble de départ R dans l'ensemble d'arrivée R . L'image de2 parf est 4 . Les antécédents de 4parf sont 2et−2 .
Remarque. SiI est un sous-ensemble deE, on note parfois f(I) l'ensemble de toutes les images parf des éléments deI :
f(I) ={f(x)|x∈I}.
4.2 Restriction et prolongement
Soit E, E0 etF des ensembles non vides tels que E ⊂E0. Soit f une application de E dans F, et g une application de E0 dansF.
On dit que f est la restriction deg à E, et queg est un prolongement def à E0, lorsque :
∀x∈E, f(x) =g(x).
Dénition (Restriction, prolongement).
Exemple 13. Représentation graphique des applicationsf etg :
•
•
•
•
•
•
•
•
• E0
E
F
Exemple 14. Soitf :R7−→R, x7−→x2,g: [0,+∞[7−→R, x7−→x2.
Alors,g est la restriction de f à [0,+∞[.f est un prolongement deg à R.
Un autre prolongement deg àR est : h:R7−→R telle queh(x) =x2 six>0,h(x) = 0si x <0. 4.3 Composée de deux applications
Soit Df, Af, Dg et Ag des ensembles non vides. Soit f une application dénie de Df dansAf et g une application dénie deDg dansAg. SiAf ⊂Dg, on appelle composée def parg, notéeg◦f, l'application dénie deDf dansAg par :
∀x∈Df, g◦f(x) =g(f(x)).
Dénition (Composée).
Remarque. Attention, g◦f peut être déni sans que f ◦g le soit. En eet, les conditions de bonne dénition sont diérentes : il fautAf ⊂Dg pour dénirg◦f etAg ⊂Df pour dénirf◦g.
Exemple 15. Soitf : [0,+∞[7−→R, x7−→x2,g:R7−→R, x7−→x3. R⊂R, donc g◦f est bien dénie.
On a de plusg◦f :[0,+∞[→R et pour toutx∈[0,+∞[,g◦f(x) =(x2)3=x6.
4.4 Injection, surjection, bijection
SoitE etF deux ensembles, et f une application dénie deE dansF. On dit que f est une injection de E dansF lorsque deux éléments deE distincts ont des images distinctes dansF :
∀(x, x0)∈E2, f(x) =f(x0) =⇒x=x0 (contraposée). Dénition (Injection).
Remarque. Pour montrer qu'une application n'est pas injective, il faut donc montrer :
∃(x, x0)∈E2 tels quex6=x0 etf(x) =f(x0),
c'est-à-dire qu'on peut trouver deux éléments distincts deE qui ont la même image parf.
Soit E etF deux ensembles, et f une application dénie de E dansF. On dit que f est une surjection de E dansF lorsque tout élément deF admet au moins un antécédent dansE :
∀y ∈F,∃x∈E tel que f(x) =y.
Dénition (Surjection).
Remarque. La fonctionf est une surjection si et seulement sif(E) =F.
Remarque. Pour montrer qu'une application n'est pas surjective, il faut donc montrer :
∃y ∈F tel que ∀x∈E, f(x)6=y, c'est-à-dire qu'on peut trouver un élément deF qui n'a pas d'antécédent parf.
SoitE etF deux ensembles, et f une application dénie deE dansF. On dit que f est une bijection de E surF lorsque f est une surjection et une injection :
∀y∈F,∃!x∈E tel que f(x) =y.
Dénition (Bijection).
Remarque. Les termes application injective, surjective, bijective peuvent également être utilisés à la place d'injection, surjection, bijection.
Exemple 16. Soitf : R 7→R
x 7→x2 .f est :
Une injection de [0,+∞[ dansR. En eet, soit(x, y)∈[0,+∞[2, on suppose quef(x) =f(y). Alors x2 =y2, donc par passage à la racine et par positivité de ety, y.
Une surjection de R dans [0,+∞[ . En eet, siy ∈ [0,+∞[, √
y est bien déni. On a alors f(√
y) = y, et donc √
y est un antécédent dey.
Une bijection de [0,+∞[ dans [0,+∞[. Exemple 17. On considère l'applicationg: Z 7→Z
n 7→2n+ 2 . Est-elle injective, surjective, bijective ?
Soit(n1, n2)∈Z2. Supposons queg(n1) =g(n2). Alors2n1+ 2 = 2n2+ 2, et doncn1 =n2. Doncgest injective.
Montrons que g n'atteint pas les termes impairs, et 1 en particulier. Supposons qu'il existe n ∈ Z tel que g(n) = 1. Alors2n+ 2 = 1, doncn=−12 ∈/Z : absurde. Donc 1 n'a pas d'antécédent par g. Donc g n'est pas surjective.
g n'est pas surjective, donc pas bijective.
Exemple 18. On considère l'application :h: R3 7→R2
(x, y, z) 7→(x+ 2y, x−z) . Est-elle injective, surjective, bijective ? h n'est pas injective car h((2,−1,2)) = (0,0) =h((0,0,0)).
Soit (α, β) ∈R2. Alors h((α,0, α−β)) = (α+ 2×0, α−(α−β)) = (α, β). Comme (α,0, α−β)∈ R3,h est surjective.
h n'est pas injective, donc pas bijective.
4.5 Application réciproque
Sif est une bijection deE surF, on peut associer à touty ∈F son antécédent uniquex∈E. On dénit ainsi l'application réciproque f−1 def.
Dénition (Application réciproque).
Soit x∈E,y∈F,f une application bijective de E dansF etf−1 l'application réciproque def. Alors x=f−1(y)⇐⇒y=f(x).
Proposition.
Exemple 19. Soitf l'application dénie de Rdans]2,+∞[parf(x) =ex−1+ 2. Montrer quef réalise une bijection de son ensemble de départ vers son ensemble d'arrivée, et déterminer son application réciproque.
Soit (x, x0)∈R2, on suppose quef(x) =f(x0). Alorsex−1+ 2 =ex0−1+ 2, donc ex−1 =ex0−1 >0. Par passage au logarithme, on trouve x−1 =x0−1 et doncx=x0.
Donc f est injective de Rdans ]2,+∞[.
Soity >2. On cherche un réelxtel quef(x) =y. Le réelx= ln(y−2) + 1convient (et est bien dans l'ensemble de départ).
Donc f est surjective deR dans]2,+∞[.
Doncf est bijective de R dans]2,+∞[, et∀y >2,f−1(y) = ln(y−2) + 1.
