Math Sup ICAM Toulouse CB01 - correction
C.B. N° 1
LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS
CORRECTION1- Soit
( )
un n∈ℕ une suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs les expressions suivantes : i)( )
un n∈ℕ n’est pas une suite constante : ∃(
p;q)
∈ℕ2, up≠uqii)
( )
un n∈ℕest positive à partir d’un certain rang : ∃ ∈N ℕ, n∀ ∈ℕ, n(
≥N)
⇒(
un≥0)
2- f désigne une fonction définie sur ℝ à valeurs dans ℝ.
Donner la signification puis la négation de l’assertion suivante :
(
∀ ∈y ℝ, x∃ ∈ℝ/ f (x)=y)
Cette assertion signifie que f est surjective.
Sa négation est :
(
∃ ∈y ℝ, x∀ ∈ℝ/ f (x)≠y)
3- Donner la contraposée puis la négation de l’implication suivante :
(
a− <b r)
⇒(
f a( )
−f b( )
≤ ε)
Contraposée :
(
f a( )
−f b( )
> ε ⇒) (a−b ≥r)
;
Négation :
(
a− <b r)
∧(
f a( )
−f b( )
> ε)
4- Soient A, B et C des ensembles. Montrer que A \ B
(
∩C) (
= A \ B) (
∪ A \ C)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A \ B∩C =A∩ B∩C =A∩ B∪C = A∩B ∪ A∩C = A \ B ∪ A \ C
5- Question de cours : Soient f S FE et g S GF. Montrer que : ( g o f injective) ⇒ (f injective).
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ) ( )
g f injective
f a =f b ⇒ g f a =g f b ⇒ a=b
donc f injective.
La réciproque est-elle vraie ? non ;
Justifier. En prenant f=Idℝ et g :ℝ→ℝavec g(x) = x2, on a f injective et g f = g non injective.
Math Sup ICAM Toulouse CB01 - correction
C.B. N° 1
LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS
CORRECTION1- Soit
( )
un n∈ℕ une suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs les expressions suivantes : i)( )
un n∈ℕ n’est pas une suite croissante : ∃(
p; q)
∈ℕ2, p(
<q)
∧(
up>uq)
iii)
( )
un n∈ℕ est bornée : ∃M∈ℝ, n∀ ∈ℕ, u(
n ≤M)
2- f désigne une fonction définie sur ℝ à valeurs dans ℝ. Donner la signification puis la négation de l’assertion suivante :
( ) ( ) ( )
(
∀ x; y ∈ℝ2, f (x)=f (y) ⇒ x=y)
Cette assertion signifie que f est injective.
Sa négation est :
(
∃(
x; y)
∈ℝ2, x(
≠y)
∧(
f x( )
=f y( ) ) )
3- Donner la contraposée puis la négation de l’implication suivante :
(
n≥n0)
⇒(
un ≤ ε)
Contraposée :
(
un > ε ⇒) (
n<n0)
Négation :
(
n≥n0)
∧(
un > ε)
4- Soient A, B et C des ensembles. Montrer que A \ B
(
∪C) (
= A \ B) (
∩ A \ C)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A \ B∪C =A∩ B∪C =A∩ B∩C = A∩B ∩ A∩C = A \ B ∩ A \ C
5- Question de cours : Soient f S FE et g S GF. Montrer que : ( g o f surjective) ⇒ (g surjective).
Soit y∈G, g o f est surjective donc : ∃ ∈x E,g f x
( )
=y donc ∃ ∈a F,g a( )
=y(a = f(x)).Donc g est surjective.
La réciproque est-elle vraie ? Non
Justifier. En prenant g=Idℝ et f :ℝ→ℝavec f(x) = x2, on a g surjective et g f = f non surjective.