• Aucun résultat trouvé

LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager " LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS "

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Math Sup ICAM Toulouse CB01 - correction

C.B. N° 1

LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS

CORRECTION

1- Soit

( )

un n une suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs les expressions suivantes : i)

( )

un n n’est pas une suite constante : ∃

(

p;q

)

∈ℕ2, up≠uq

ii)

( )

un n∈ℕest positive à partir d’un certain rang : ∃ ∈N ℕ, n∀ ∈ℕ, n

(

≥N

)

(

un≥0

)

2- f désigne une fonction définie sur ℝ à valeurs dans ℝ.

Donner la signification puis la négation de l’assertion suivante :

(

∀ ∈y , x∃ ∈/ f (x)=y

)

Cette assertion signifie que f est surjective.

Sa négation est :

(

∃ ∈y , x∀ ∈/ f (x)y

)

3- Donner la contraposée puis la négation de l’implication suivante :

(

a− <b r

)

(

f a

( )

f b

( )

≤ ε

)

Contraposée :

(

f a

( )

f b

( )

> ε ⇒

) (

ab r

)

;

Négation :

(

a− <b r

)

(

f a

( )

f b

( )

> ε

)

4- Soient A, B et C des ensembles. Montrer que A \ B

(

C

) (

= A \ B

) (

A \ C

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A \ B∩C =A∩ B∩C =A∩ B∪C = A∩B ∪ A∩C = A \ B ∪ A \ C

5- Question de cours : Soient f S FE et g S GF. Montrer que : ( g o f injective) (f injective).

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( )

g f injective

f a =f b ⇒ g f a =g f b ⇒ a=b

donc f injective.

La réciproque est-elle vraie ? non ;

Justifier. En prenant f=Id et g :ℝ→ℝavec g(x) = x2, on a f injective et g f = g non injective.

(2)

Math Sup ICAM Toulouse CB01 - correction

C.B. N° 1

LOGIQUE – ENSEMBLES – APPLICATIONS

CORRECTION

1- Soit

( )

un n∈ℕ une suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs les expressions suivantes : i)

( )

un n n’est pas une suite croissante : ∃

(

p; q

)

∈ℕ2, p

(

<q

)

(

up>uq

)

iii)

( )

un n est bornée : M, n∀ ∈, u

(

n M

)

2- f désigne une fonction définie sur ℝ à valeurs dans ℝ. Donner la signification puis la négation de l’assertion suivante :

( ) ( ) ( )

(

x; y 2, f (x)=f (y) x=y

)

Cette assertion signifie que f est injective.

Sa négation est :

(

(

x; y

)

2, x

(

y

)

(

f x

( )

=f y

( ) ) )

3- Donner la contraposée puis la négation de l’implication suivante :

(

n≥n0

)

(

un ≤ ε

)

Contraposée :

(

un > ε ⇒

) (

n<n0

)

Négation :

(

n≥n0

)

(

un > ε

)

4- Soient A, B et C des ensembles. Montrer que A \ B

(

C

) (

= A \ B

) (

A \ C

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A \ B∪C =A∩ B∪C =A∩ B∩C = A∩B ∩ A∩C = A \ B ∩ A \ C

5- Question de cours : Soient f S FE et g S GF. Montrer que : ( g o f surjective) (g surjective).

Soit y∈G, g o f est surjective donc : ∃ ∈x E,g f x

( )

=y donc ∃ ∈a F,g a

( )

=y(a = f(x)).

Donc g est surjective.

La réciproque est-elle vraie ? Non

Justifier. En prenant g=Id et f :ℝ→ℝavec f(x) = x2, on a g surjective et g f = f non surjective.

Références

Documents relatifs

(b) On appelle bon ordre sur E toute relation d’ordre ⩽ telle que tout sous-ensemble non vide de E possède un plus petit élément.. Un ensemble muni d’un bon ordre est appelé

´ equivalences, formes normales, syst` emes complets ; formules propositionnelles, valua- tions, validit´ e, cons´ equence, th´ eor` eme de compacit´ e ; quantificateurs, r`

[r]

Sans entrer dans les détails, les résultats que nous savons vrais sont les axiomes (résultats admis et fondateurs d'une théorie) et les théorèmes déjà démontrés.. •

Exemple 13 : I milieu de [AB] est une condition suffisante pour que I appartienne à la médiatrice de [AB], mais elle est loin d’être nécessaire.. Si x n’appartient pas à E, on note

[r]

(Ne pas justifier).. ii) f n’est pas une fonction constante. iii) f n’est pas de signe constant.. (Ne

La réciproque est-elle