Chapitre 4 : logique et ensembles

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LOGIQUE ET ENSEMBLES I – Éléments de logique

La logique s’intéresse aux règles de construction et de transformation de phrases mathématiques correctes d’une part, et aux règles permettant d’établir des théorèmes (phrases mathématiques vraies).

1^o) Propositions, quantificateurs

a) Propositions Définition 1 :

Uneproposition(ou assertion) est une phrase mathématique correcte du point de vue de la syntaxe, pouvant être vraie dans certaines conditions et fausse dans d’autres conditions.

Exemple 1 : A : «x>10 oùx∈R». A est vraie pourx=15, fausse pourx=2.

La notion de vrai ou de faux se détermine à partir d’axiomes, propositions de départ que l’on pose comme étant vraies.

À partir de deux propositions A et B, on peut construire de nouvelles propositions grâce aux connecteurs logiques « non », « et », « ou »,⇐⇒,=⇒.

Définition 2 :

Unetable de véritéest un tableau indiquant si la nouvelle proposition construite à partir de A et B est vraie ou fausse, en fonction de A et B.

Tables de vérité les plus courantes :

A B non A A et B A ou B A=⇒B A⇐⇒B

V V F V V V V

F V V F V V F

V F F F V F F

F F V F F V V

Exemple 2 : A : « il pleut », B : « je révise les maths ».

Si A est vraie et B est vraie, c’est tout à fait normal et A=⇒B est vraie. Si A est fausse et B est fausse, c’est une vraie honte mais A=⇒B est vraie. S’il ne pleut pas et que je révise les maths quand même, j’ai droit à toute l’estime de mon professeur et A=⇒B est toujours vraie.

Remarque :

– « non A » se note parfois A, ou encore¬A.

– « A et B » se note parfois A∧B, « A ou B » peut se noter A∨B.

– A=⇒B peut être vraie sans que A soit vraie. Par convention, A=⇒B est toujours vraie si A est fausse. Ce n’est pas parce que A=⇒B est vraie que nécessairement B est vraie : il faut aussi que A soit vraie.

Exemple 3 : Table de vérité de (non A) ou B. On en déduit que¡

(non A) ou B¢

est synonyme de¡

A=⇒B¢ . Propriété 1 :

– non (non A) = A

– non (A et B) = (non A) ou (non B) – non (A ou B) = (non A) et (non B) – A⇐⇒B = (A=⇒B) et (B=⇒A) – A=⇒B =¡

(non B)=⇒(non A)¢ Démonstration : Faire les tables de vérité.

Remarque : De l’exemple et de la propriété précédents, on doit pouvoir en déduire (et la retenir) la négation de A=⇒B.

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Propriété 2 :

– A et (B ou C) = (A et B) ou (A et C) – A ou (B et C) = (A ou B) et (A ou C)

b) Quantificateurs

On rappelle la définition des deux quantificateurs peut-être déjà utilisés dans les années antérieures : Définition 3 :

Les symboles suivants permettent de quantifier le nombre d’objets mathématiques vérifiant une proposition donnée :

– quantificateur existentiel: il est noté∃et se lit « il existe ». «∃x, A(x) » exprime qu’il y a au moins un objetxvérifiant la proposition A(x).

– quantificateur universel: il est noté∀et se lit « quel que soit » (ou « pour tout »). «∀x, A(x) » exprime que tous les objetsxvérifient la proposition A(x).

Exemple 4 : ∀x, (x∈N=⇒x≥0), que l’on notera∀x∈N,x≥0.

Propriété 3 : 1^o) non¡

∀x, A(x)¢

= ∃x, non A(x).

2^o) non¡

∃x, A(x)¢

= ∀x, non A(x).

3^o) ∃x,∃y, A(x,y)=∃y,∃x, A(x,y).

4^o) ∀x,∀y, A(x,y)=∀y,∀x, A(x,y).

Exemple 5 : Une urne contient 5 boules noires et 10 boules rouges. On prélève 3 boules au hasard successivement dans cette urne. On note A : « on obtient au moins 1 boule rouge ». On noteBi,i∈©

1, 2, 3ª

, les boules prélevées (dans l’ordre),N l’ensemble des boules noires etRl’ensemble des boules rouges.

Traduire la proposition A à l’aide de quantificateurs, puis écrire sa négation.

Remarque :– Le contraire de∃est donc∀, et inversement.

– ATTENTION :les propositions∀x,∃y, A(x,y) et∃y,∀x, A(x,y) sont différentes.

Exemple 6 : ∀x∈N,∃y∈N,y=x+1 est vrai, alors que∃y∈N,∀x∈N,y=x+1 est faux.

Il faut donc être très prudent avec les quantificateurs, et garder à l’esprit les règles suivantes : – les quantificateurs sont toujours placés avant la proposition à quantifier ;

– on utilise des parenthèses si le quantificateur ne porte que sur une partie de la phrase.

Exemple 7 : ∀x∈R,£

(∀y∈N, y≥x)=⇒x≤0¤

signifie « tout réel qui est inférieur à tous les entiers naturels est négatif » : cette proposition est vraie. Sans les parenthèses, elle devient∀x∈R,∀y∈N, y≥x=⇒x≤0 ce qui signifie « tout réel inférieur à un entier naturel est négatif » : cette proposition est fausse.

Remarque :

– Il est important de noter que toute quantité affectée d’un quantificateur∃dépend de toutes les quantités affectées d’un∀qui se trouvent placées avant (mais pas de celles placées après si l’on respecte les règles précédentes). Ainsi, dans la proposition (vraie)∀n∈N^,∃p∈N^,ⁿ<p,pdépend den(par exemplep=n+1 convient). On peut le matérialiser en notantpn au lieu dep. Si l’on inverse les quantificateurs : ∃p∈N,

∀n∈N,n<p, la proposition est fausse etpest indépendant den.

– Il existe d’autres quantificateurs, notamment∃! : « il existe un unique objet ».

II – Raisonnements

Il s’agit de voir différentes méthodes permettant d’établir, à partir d’axiomes de départ, si des propositions sont vraies ou fausses.

Une méthode élémentaire pour prouver qu’une proposition B est vraie est de passer par une implication A=⇒B (A est l’hypothèseet B laconclusion). Il faut évidemment dans ce cas s’assurer avant tout que A est

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1^o) Raisonnement par récurrence Théorème 1 :

Soit P(n)une proposition dépendant de n∈N. On suppose qu’il existe n0∈N^{tel que :} 1^o) P(n0)est vraie.

2^o) ∀n∈N^{, n}≥n₀,¡

P(n)=⇒P(n+1)¢ . Alors P(n)est vraie pour tout entier n≥n₀.

Démonstration : Admis.

Exemple 8 : Montrer que pour toutn∈N^∗^{, 1}³+2³+. . .+n³=

µn(n+1) 2

¶2

.

Il peut arriver que le passage de la propriétéPn à la propriétéPn+1ne soit pas possible par une méthode directe, et que l’hérédité nécessite l’utilisation de rangs précédents. Le cas le plus fréquent est celui où deux rangs sont nécessaires, il faut pour cela avoir recours à une récurrence à deux pas :

Théorème 2 :

Soit P(n)une proposition dépendant de n∈N. On suppose qu’il existe n₀∈N^{tel que :} 1^o) P(n0)et P(n0+1)sont vraies.

2^o) ∀n∈N^{, n}≥n0,¡

P(n),P(n+1)¢

=⇒P(n+2).

Alors P(n)est vraie pour tout entier n≥n0.

Démonstration : On applique le théorème 1 à la propriétéQ(n) =h

P(n),P(n+1)i .

Exemple 9 : (un)n≥0est une suite définie paru0=2,u1=5 et la relation de récurrenceun=5un−1−6un−2. Montrer que pour toutn∈N^{on a}^un=2ⁿ+3ⁿ.

2^o) Contraposition

Ce type de raisonnement repose sur la règle vue dans la propriété 1 : A=⇒B = (non B)=⇒(non A).

Exemple 10 : Montrer que¡

∀ε>0,|a| ≤ε¢

=⇒a=0.

3^o) Raisonnement par l’absurde Cette règle repose sur : non¡

A=⇒B¢

= A et (non B). Pour prouver A=⇒B, si A est vraie on suppose que B est fausse, et on montre que cela entraîne une contradiction : non¡

A=⇒B¢

étant fausse,¡

A=⇒B¢

est vraie.

Exemple 11 : Montrons queQ⁺_∗n’admet pas de minimum.

4^o) Implications successives

Pour démontrer un énoncé du type A=⇒(B=⇒C) (A est l’hypothèse), on part de B (et non de A), puis on utilise A pour arriver à C.

Exemple 12 : Montrer que sipdiviseq, alors tout multiple deqest un multiple dep.

5^o) Condition nécessaire et suffisante

– Condition nécessaire : pour que A soit vraie, ilfautque B soit vraie. Ceci correspond à A=⇒B.

– Condition suffisante : pour que A soit vraie, ilsuffitque B soit vraie. Ceci correspond à B=⇒A.

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Exemple 13 : I milieu de [AB] est une condition suffisante pour queI appartienne à la médiatrice de [AB], mais elle est loin d’être nécessaire. I A=I Best une condition nécessaire pour queI soit le milieu de [AB], mais loin d’être suffisante.

Ainsi, A⇐⇒B revient à : « une condition nécessaire et suffisante (ou CNS) pour que A soit vraie est que B soit vraie ».

Exemple 14 : Montrer que toute fonction f :R−→Rs’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire(où l’on illustre la méthode d’analyse-synthèse).

6^o) Contre-exemple

Cette méthode s’emploie pour démontrer qu’une proposition débutant par∀est fausse : pour prouver que∀x, A(x)=⇒B(x) est fausse, il suffit de prouver que∃x, A(x) et non B(x) est vrai (négation).

Exemple 15 : Étudier la proposition suivante : « Tout entier naturel non nul est la somme de trois carrés d’entiers naturels » (examiner le cas de 7, et les seuls entiers pouvant entrer dans la décomposition).

III – Ensembles

1^o) Vocabulaire

La définition formelle d’un ensemble est délicate : disons que c’est une collection d’objets distincts.

Définition 4 :

SoitEun ensemble. Tout objet de l’ensemble est appeléélémentde l’ensemble, et on dit que l’élément appartient àl’ensemble : l’élémentxappartient à l’ensembleEs’écrit x∈E . Sixn’appartient pas à E, on notex∉E.

Un ensemble contenant un seul élément est appelésingleton. L’ensemble vide;est l’ensemble qui ne contient aucun élément.

Pour décrire un ensemble, on écrit la liste de ses éléments entre accolades, ou on écrit une condition mathé- matique pour qu’un objet appartienne à l’ensemble.

Exemple 16 : – E=©

2, 3, 4, 5, 6ª

=©

x∈N^,x≥2 etx≤6ª .

– ∀(n,m)∈N²^,^£^£^n,^m^¤^¤désigne l’ensemble des entiers compris entrenetm: ££ n,m¤¤

=©

n,n+1, . . . ,m−1,mª . Avec cette notation, on aE=££

2, 6¤¤ . Définition 5 :

On dit que l’ensembleEestinclusdans l’ensembleE⁰(ou queE est un sous-ensemble deE⁰), et on note E⊂E⁰ si tout élément deEappartient àE⁰.

Remarque : Il y a transitivité de l’inclusion : siA⊂BetB⊂C, alorsA⊂C.

Cette notion est à la base d’une méthode courante pour montrer que deux ensembles sont égaux : la double inclusion.

Propriété 4 : E=E⁰⇐⇒¡

E⊂E⁰et E⁰⊂E¢ .

Exemple 17 : On considère E l’ensemble des fonctions y dérivables surR ^{telles que} ^y⁰ = y. Montrer que E=©

y : R7−→R^/∃C∈R^,∀t∈R^, ^y(t⁾=Ce^tª .

Remarque : Une autre façon de démontrer une égalité d’ensembles est de procéder par équivalences successives (lorsque cela est possible) : six∈E⁰ ⇐⇒ x∈E, alorsE =E⁰. On pourrait tester cette méthode sur l’exemple précédent à condition d’être sûr que la fonctiony ne s’annule pas surR... On la teste plutôt pour montrer que

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Définition 6 :

On dit queAest unepartied’un ensembleEsiA⊂E. On note P(E) l’ensemble des parties deE.

Exemple 18 : On considèreE={a,b,c}. Amusons-nous à décrireP(E).

2^o) Opérations sur les ensembles

Dans tout le paragraphe,Edésigne un ensemble non vide.

Définition 7 :

SoientAetBdeux parties deE. On appelleintersectiondeAetB, que l’on note A∩B , l’ensemble des éléments deEappartenant àAetàB.

Définition 8 :

On dit que les partiesAetBsontdisjointessi A∩B= ;. Propriété 5 :

Si A, B et C sont des parties de E :

1^o) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C , ce que l’on note A∩B∩C (l’intersection est associative).

2^o) A∩B=B∩A (l’intersection est commutative).

3^o) A∩B⊂A et A∩B⊂B .

Remarque : On peut considérer l’intersection denparties deE:A1,A2. . .An. On note (puisqu’il y a associativité)

n

\

k=1

Ak leur intersection : un élément appartient à cette intersection s’il appartient à tous les ensemblesAk. On en profite également pour illustrer la notion d’intersection de 2 ensembles sur un diagramme.

Définition 9 :

Soient A etB deux parties d’un ensembleE. On appelleréunionde A etB, que l’on note A∪B , l’ensemble des éléments deEappartenant àAouàB.

Propriété 6 :

Si A, B et C sont des parties de E :

1^o) A∪(B∪C)=(A∪B)∪C , ce que l’on note A∪B∪C (la réunion est associative).

2^o) A∪B=B∪A (la réunion est commutative).

3^o) A⊂A∪B et B⊂A∪B .

Remarque : On peut considérer la réunion denparties deE : A₁,A₂. . .A_n. On note (puisqu’il y a associativité)

n

[

k=1

A_k leur réunion : un élément appartient à cette réunion s’il appartient au moins à l’un des ensemblesA_k. Propriété 7 :

∀(A,B,C)∈¡ P(E)¢3

, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)et(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(distributivité de∩ sur∪et inversement).

Démonstration : Admis

Remarque : On n’a donc pasA∪(B∩C)=(A∪B)∩Cdans le cas général.

Définition 10 :

x∈E,x∉Aª

, c’est-à-direx∈A ⇐⇒ x∉A.

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Propriété 8 :

1^o) ∀(A,B)∈¡ P(E)¢2

, B=A ⇐⇒ A=B . 2^o) ; =E et E= ;.

3^o) ∀(A,B)∈¡ P(E)¢2

, A∩B=A∪B et A∪B=A∩B (loi de Morgan).

Démonstration : Des équivalences et un peu de logique.

Remarque : On déduit de 1^o) que∀A∈P(E), A=A .

x∈E|x∈ Aetx∉Bª

. On montre que A\B=A∩B, et on étudie son complémentaire (2 écritures, l’une d’elles contenant 2 ensembles disjoints).

Définition 11 :

SoientE1,E2, . . .En des ensembles. On appelleproduit cartésiendeE1,E2, . . .En, l’ensemble noté E₁×E₂×. . .×En, défini par E₁×E₂×. . .×En=©

(x₁,x₂, . . . ,xn)| ∀k∈££ 1,n¤¤

,x_k∈E_kª .

Dans le cas oùE1=E2=. . .=En=E, on note le produit cartésien à l’aide de puissances : Définition 12 :

Eⁿ=E×E×. . .×E

| {z }

ntermes

. Tout élément deEⁿest appelén-uplet (oun-liste) d’éléments deE.

x1,x2, . . . ,xnª : la première est ordonnée, le second ne l’est pas.