Eléments de logique et ensembles
I) Eléments de logique
1) Tables de vérité et connecteurs logiques
• Une assertion ou propriété p est vraie (V) ou fausse (F).
La table de vérité de p est donc la suivante : p
V F
• Un théorème, une proposition, un lemme sont des propriétés toujours vraies.
• La négation d’une propriété p est notée non(p) ou p .
p p
V F
F V
• Les connecteurs logiques utilisés en mathématiques sont : – « et » noté ∧
– « ou » noté ∨
– « implication » notée ⇒ – « équivalence » notée ⇔
p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
• Remarque : Soit P : (p ⇒ q).
p s’appelle l’hypothèse et q la conclusion.
La réciproque est (q ⇒ p).
• Propriétés :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
p q non p q
p q non q non p non p q p non q
⇒ ⇔ ∨
⇒ ⇔ ⇒
⇒ ⇔ ∧
2) Les quantificateurs universels
• « pour tout » ou « quelque soit » noté ∀exprime un choix arbitraire.
Exemple : ∀ >α 0
• « il existe au moins » noté ∃ exprime une dépendance.
Exemple : ∀ >ε 0, ∃ >α 0 Ici, α dépend de ε !
• La négation de ∀ est ∃. La négation de ∃ est ∀.
II) Les différents types de démonstration
1) La démonstration directe
Exemple :
Soit ,
1
Montrer que : n , 0 1
n
n
u n n
n
u
= ∈
+ ∀ ∈ ≤ ≤ ℕ
ℕ
• Soit n ∈ V, on a n ≥ 0 et (n + 1) ≥ 0.
Donc, n , 0
n n1
u n
∀ ∈ = ≤
ℕ +
• Soit n ∈ V, on a (n + 1) ≥ n avec n > 0 et (n + 1) > 0
Donc,
n , 1
n
1 u n
∀ ∈ = n ≤ ℕ +
2) La démonstration par récurrence
Exemple :0
1
Soit 2
2 , n
Montrer que : n , 2
n n
n
u
u u
u
+
=
= + ∈
∀ ∈ ≥ ℕ ℕ
Par récurrence, on a u0 = 2 ≥ 2.
• u1 = 2 u+ 0 et u0 ≥ 0 et (2 + u0) ≥ 2 et on sait que la fonction racine est croissante si x ≥ 0 d’où le résultat.
• On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé et on montre qu’elle est vraie au rang (n + 1).
Supposons que
u
n≥ 2
pour un n fixé.On a un+1= 2+un et on sait que un ≥ 0 donc (2 + un) ≥ 2 et comme la fonction racine est croissante, on obtient que
1 2
n n
u + = +u ≥ 2
• Donc, la propriété est vraie pour tout n entier.
3) La démonstration par l’absurde
• Soit la propriété (A ⇒ B).
On suppose que B est fausse et on abouti à une contradiction.
• Vous en verrez au cours de l’année.
La plus classique est de savoir démontre que 2 n’est pas
rationnel. (cf cours de prépa MPSI)
4) La démonstration par un contre exemple
• On suppose que la propriété (A ⇒ B) est vraie et on veut savoir si la réciproque est vraie. Il suffit de trouver un exemple pour lequel B est vraie et A est fausse.
III) Eléments sur les ensembles
1) Les ensembles
• On note E un ensemble d’éléments fini ou infini.
Exemples : E = {0, 1 , …, n} ; E = Y
• Si E est un ensemble en général, les éléments de E sont notés x, y, z…
• Si x appartient à E alors on note x ∈ E. Dans le cas contraire, on note x ∉ E.
• Soit A une partie de E.
Cela signifie que x∀ ∈A⇒x∈E Exemple : E = V et A = {n = 2p, p ∈ V}
• On note ∅ l’ensemble vide.
• Soit E et F deux ensembles.
On dit que E est inclus dans F et on le note E ⊂ F si et seulement si ∀ ∈x E ⇒x∈F
• Soit E un ensemble.
On note P(E) l’ensemble des parties de E et on a :
( )
A∈P E ⇔ ⊂A E
• Remarques :
Soit E, F et G des ensembles.
– Si x est un élément de E alors {x} ∈ P(E).
– Si x, y ∈ E alors {x, y} ∈ P(E).
– Si E = F alors (E ⊂ F) et (F ⊂ E) – ∅ ⊂ E et E ⊂ E (réflexivité)
– Si E ⊂ F et F ⊂ G alors E ⊂ G (transitivité).
2) Les opérations sur P(E)
• Soit E un ensemble et soient A, B ∈ P(E).
On définie les parties suivantes : (1) Complémentaire de A dans E
{ , }
(2) Réunion de A et B
{ , ou }
(3) Intersection de A et B
{ , et }
(4) Différence A moins B
{ , et
C AE A x E x A
A B x E x A x B
A B x E x A x B
A B x E x A
= = ∈ ∉
∪ = ∈ ∈ ∈
∩ = ∈ ∈ ∈
− = ∈ ∈ }
(5) Différence symétrique de A et B
( ) ( )
x B
A B A B B A
∉
= − ∪ −
△
• Propriétés :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A A A
A A
A B A B A B A B
A B C A B A C
A B C A B A C
∪∅ = ∅ ∪ =
∩∅ = ∅ ∩ = ∅
∪ = ∩
∩ = ∪
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
IV) Relations
1) Définitions et relation d’équivalence
• Soit E un ensemble et x, y deux éléments de E.
On appelle couple l’élément noté (x, y). Deux couples (x, y) et (x’, y’) sont égaux si et seulement si (x = x’) et (y = y’).
• Soit E et F deux ensembles.
On appelle produit cartésien de E et F noté E × F, l’ensemble : E × F = {(x, y) ; x ∈ E et y ∈ F}
Remarque : E × E = E2
• Soit E1, E2, …, En n ensembles avec n un entier naturel. On a :
1 2
1
...
n
k n
k
E E E E
=
= × × ×
∏
Un élément de cet ensemble noté (x1, …, xn) s’appelle un n – uplet.
Propriétés :
( ) ( ) ( )
E F E ou F
E F E G E F G
× = ∅ ⇔ = ∅ = ∅
× ∪ × = × ∪
• Soit E et F deux ensembles.
On appelle relation (ou correspondance) de E vers F tout triplet (E, Γ, F) où Γ ⊂ (E × F). On note ℜ cette relation et :
( , )
x ℜ ⇔ y x y ∈Γ
Propriétés :, ,
( ) ( )
S T
E F F G G H
T S T S
→
ℜ→ →
ℜ = ℜ
• On appelle relation binaire, une relation de E dans lui-même.
Remarque : Soit E un ensemble, ℜ est une relation binaire sur E et A ⊂ E.
• On appelle relation binaire induite sur A la relation :
( , ) x y A A , ( x
A) y ( ) x y
∀ ∈ × ℜ ⇔ ℜ
• Une relation binaire ℜ dans E est dite :
( )
( )
2 2 3
Reflexive : , ( )
Symétrique : ( , ) , ( ) ( )
Antisymétrique : ( , ) , ( ) ( )
Transitive : ( , , ) , ( ) ( z) ( )
x E x x
x y E x y y x
x y E x y et y x x y
x y z E x y et y x z
∀ ∈ ℜ
∀ ∈ ℜ ⇒ ℜ
∀ ∈ ℜ ℜ ⇒ =
∀ ∈ ℜ ℜ ⇒ ℜ
• Soit ℜ une relation binaire sur E.
On dit que ℜ est une relation d’équivalence sur E si elle est réflexive, symétrique et transitive.
• Soit ℜ une relation d’équivalence sur E.
Pour x appartenant à E, on appelle classe d’équivalence de x modulo ℜ l’ensemble noté x, ɵx ou cl(x) et :
( ) { , } cl x = y ∈ E x ℜ y
On appelle ensemble quotient modulo ℜ l’ensemble :
{ ( ), }
E ℜ = cl x x ∈ E
Remarque :
Si E est muni d’une opérateur + et . et si ℜ est une relation d’équivalence sur E alors sur l’ensemble quotient E /ℜ, on définie les deux opérations +ɵ et ɵ. en écrivant :
ɵ ɵ ɵ ɵ
. . et
x y = x y x + = + y x y
2) Relation d’ordre
• Soit ℜ une relation binaire sur E.
On dit que E est une relation d’ordre dans E si eu seulement si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. On note :
x ℜ ⇔ ≤ y x y
Remarque :L’ensemble (E, ≤) est dit ensemble ordonné.
• Soit (E, ≤) un ensemble ordonné.
On dit que x et y de E sont comparables si x ≤ y ou y ≤ x. On dit alors que la relation d’ordre ≤ est totale.
Exemple :
(Y, ≤) est un ensemble ordonné et la relation ≤ est totale.
• Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie de E.
– On dit que β ∈ E est un majorant de A si :
∀ ∈ x A x , ≤ β
– Soit M l’ensemble des majorants de A. On appelle borne supérieure de A si elle existe le plus petit majorant de A et M = Sup(A).
– On appelle élément maximal b de A l’élément b de A tel que
∀ ∈ x A x , ≤ b
• Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie de E.
– On dit que α ∈ E est un minorant de A si :
∀ ∈ x A , α ≤ x
– Soit M l’ensemble des minorants de A. On appelle borne inférieure de A si elle existe le plus grand minorant de A et M = Inf(A).
– On appelle élément minimal a de A l’élément b de A tel que
