le 29 Novembre 2008 UTBM MT11
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
Logique et th´ eorie des ensembles
Accordons nos notations.
N:={entiers naturels}={0,1,2,3, ...}.
Pour n∈N∗ :=N− {0}, l’oppos´e de n n’existe pas dans N.
Z:={entiers relatifs}={n,−n;n ∈N}. Z∗ :=Z− {0}.
Pour z ∈Z− {−1,0,1}, l’inverse de z n’existe pas dans Z.
Q:={nombres rationnels}={pq; (p, q)∈Z×Z∗}avecpq1
1 = pq2
2 ⇐⇒p1.q2 =p2.q1.Q∗ :=Q−{0}.
Mais π,√
2, e6∈Q.
R := {nombres r´eels} = QS
{limites de suites d’´el´ements de Q} (voir chapitre sur les r´eels).
R∗ :=R− {0}.
Mais les racines iet −i dex2+ 1 ne sont pas dans R.
C:={nombres complexes}={a+i.b; (a, b)∈R2}.C∗ :=C− {0}.
1 Logique.
1.1 Propositions logiques.
D´efinition 1.1 On appelleproposition, un ´enonc´e qui ne prend que 2 valeurs : ou bienvrai, ou bien faux.
Exemples 1.2 ”3≤4” est une proposition (vraie).
”√
2 rationnel” est une proposition (montrer qu’elle est fausse).
1.2 N´ egation d’une proposition.
Soit P une proposition, on note ¬P sa n´egation.
Exemples 1.3 ”3>4” est la n´egation de ”3≤4”.
”43 rationnel” est la n´egation de ”43 irrationnel”.
Le tableau de valeurs suivant r´esume la n´egation : P ¬ P
V F
F V
1.3 Connecteurs logiques.
2 propositions P et Q peuvent ˆetre connect´ees pour obtenir une troisi`eme proposition R.
Le connecteur est d´efini par la valeur de la proposition R en fonction des valeurs de P et Q.
1.3.1 Connecteur ”et”.
La conjonction de P et Q est P∧Q.
P∧Q est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie.
P Q P∧Q
V V V
V F F
F F F
F V F
Exemples 1.4 P∧¬P est toujours fausse.
1.3.2 Connecteur ”ou”.
La disjonctionde P et Q est P∨Q (”ou” non exclusif).
P∨Q est fausse si et seulement si P est fausse et Q est fausse.
P Q P∨Q
V V V
V F V
F F F
F V V
Exemples 1.5 P∨¬P est toujours vraie.
Exercice 1.6 Montrer que ¬(P ∨Q) et (¬P)∧(¬Q) ont mˆeme tableau de valeur.
Idem pour ¬(P ∧Q) et (¬P)∨(¬Q).
1.3.3 Connecteur ”implique”.
L’implication de P vers Q est P=⇒Q.
P=⇒Q est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse.
P Q P=⇒Q
V V V
V F F
F F V
F V V
Exercice 1.7 Faire le tableau de valeurs de (¬P)∨Q. Que remarque-t-on ? En d´eduire une proposition ´equivalente `a ”f d´erivable=⇒f continue”
Remarque 1.8 Si P=⇒Q et Q=⇒P, on dit que P est ´equivalente `a Q et on note P⇐⇒Q.
Exemples 1.9 D’apr`es l’exercice pr´ec`edent, on a le th´eor`eme de propositions (i.e. tou- jours vraie quelles que soient les valeurs de P et Q) :
(P =⇒Q)⇐⇒(¬P ∨Q).
Exercice 1.10 i) tableau de valeurs de P⇐⇒Q.
ii) Montrer que ((P=⇒Q)∧(Q=⇒R))=⇒(P=⇒R) est un th´eor`eme de propositions.
iii) Montrer que ((P=⇒Q)⇐⇒(¬Q=⇒ ¬P) est un th´eor`eme de propositions (contrapos´ee).
iv) Donner la n´egation et la contrapos´ee de : ”si tu travailles en MT11 alors tu obtiens l’UV”
v) Loi de Peirce : ((A=⇒B) =⇒A) =⇒A.
Remarque 1.11 (pour aller plus loin...)
1) Le syst`eme de connecteur {¬,∨} est complet (i.e. il suffit pour d´efinir les autres connec- teurs).
2) Connecteur d’incompatibilit´e de Sheffer : P Q P|Q
V V F
V F V
F F V
F V V
Le syst`eme {|} est complet.
2 Th´ eorie des ensembles.
2.1 D´ efinition-notation.
Tentative de d´efinition d’un ensemble.Des objets pr´esentant une ou plusieurs propri´et´es communes constituent un ensemble.
Exemples 2.1 Ensemble des ´el`eves de MT11.
Q est l’ensemble des nombres rationnels.
D´efinition 2.2 Soient E, A des ensembles.
i) e∈E signifie ”e est un ´el´ement de E”.
ii) Si A est fini le cardinal de A, card(A) ou ]A, d´esigne le nombre d’´el´ements de A.
iii) On d´esigne par ∅ l’ensemble vide.
2.2 Inclusion
D´efinition 2.3 On dit que A est inclus dans B, not´e A ⊂ B si la proposition suivante est vraie :
(a∈A) =⇒(a∈B).
A est alors un sous-ensemble ou une partie de B.
On dit que A=B ssi A⊂B et B ⊂A.
Exemples 2.4 N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
pour tout ensemble A, on a ∅ ⊂A.
2.3 Op´ erations sur les ensembles.
2.3.1 R´eunion.
D´efinition 2.5 Soient A, B ensembles. La r´eunion de A et B, not´ee A∪B, est l’ensemble des ´el´ements appartenant `a A ou `a B :
(x∈A∪B)⇐⇒((x∈A)∨(x∈B)).
Exemples 2.6 Z=N∪ {−n, n∈N}.
2.3.2 Intersection.
D´efinition 2.7 SoientA, B ensembles. L’intersection deA etB, not´eeA∩B, est l’ensemble des ´el´ements appartenant `a A et `a B :
(x∈A∩B)⇐⇒((x∈A)∧(x∈B)).
Exemples 2.8 Z∩Q=Z.
Q+∩Z=N.
R∩ {x∈C/Im(x)6= 0}=∅.
2.3.3 Compl´ementaire.
D´efinition 2.9 Soient A ⊂ E ensembles. Le compl´ementaire de A dans E, not´ee E/A ou CEA (ouAc si E est ´evident), est l’ensemble des ´el´ements de E n’appartenant pas `a A :
(x∈ CEA)⇐⇒((x∈E)∧ ¬(x∈A)).
Exemples 2.10 CZN={−n, n∈N∗} 2.3.4 Produit d’ensembles.
D´efinition 2.11 Soient A, B ensembles. On appelleproduit de A par B l’ensemble A×B ={(a, b), a∈A, b∈B}.
Exemples 2.12 R2 ={(u, v), u∈R, v ∈R}.
{1,2,3} × {i,−i}={(1, i),(2, i),(3, i),(1,−i),(2,−i),(3,−i)}.
Remarque 2.13 Si les ensembleA, B sont finis alors card(A×B) = card(A).card(B).
3 quantificateurs.
Une proposition logique peut d´ependre d’une variable appartenant `a un ensemble donn´e.
Par exemple, x∈R∗+ =⇒x3+ 1>1 signifie ”pour toutx∈R∗+, on a x3 + 1>1”.
On introduit le quantificateur ∀ qui signifie ”pour tout”.
L’exemple pr´ec´edent devient : ∀x∈R∗+, x3+ 1>1.
A l’inverse, une proposition peut n’ˆetre vraie que pour certains ´el´ements d’un ensemble.
On introduit le quantificateur ∃ qui signifie ”il existe”.
Exemples 3.1 ∃x ∈R, x3 + 1>1 signifie ”il existe au moins un x ∈ R tel que x3+ 1> 1.
Ce qui est vrai.
Remarque 3.2 ∃! signifie ”il existe un unique ´el´ement” :
∃!x∈R, x3+ 1 = 1.
Exercice 3.3 Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Quelle est la n´egation de celles qui sont fausses ?
i) ∀x∈R, x≥1.
ii) ∃x∈N, x∈R.
iii) ∀x∈R∗+,ln(x) = 1.
iv) ∀x∈R,∃n∈N, n≤x < n+ 1.
v) ∃n ∈Z,∀x∈R, n≤x < n+ 1.
Exercice 3.4 quel le plus grand sous-ensemble F de E sur lequel la proposition A est un th´eor`eme ?
1) E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A=”Si x∈F alors x est divisible par 2”.
2) E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A=”Si x∈F est divisible par 2 alors x est divisible par 3”.
3) E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A=”Si x∈F est divisible par 2 et par5 alors x est divisible par 3”.
4) E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A=”Si x ∈F est divisible par 2 alors x est divisible par 3 sinon x est sup´erieur ou ´egal `a 5”
