Ensembles, Récurrences, Logique Feuille 3
Théorie des ensembles
Exercice3.1
SoientEun ensemble etA, B, Dtrois parties deE. Démontrer que : 1. A\B =B\A
2. A\(B∩D) = (A\B)∪(A\D) 3. A\(B∪D) = (A\B)∩(A\D)
4. (A∪B)∩(B∪D)∩(D∪A) = (A∩B)∪(B∩D)∪(D∩A)
Exercice3.2
SoientAetBdeux parties d’un ensembleE. Résoudre l’équation(E) : (A∩X)∪(B∩X) =∅, en l’inconnue X∈ P(E).
Exercice3.3
SoientA, B, CetDquatre ensembles.
1. Démontrer que(A×C)∪(B×C) = (A∪B)×C.
2. Comparer les ensembles(A×C)∩(B×D)et(A∩B)×(C∩D).
Exercice3.4
kdésigne un entier supérieur ou égal à 2 etA1, . . . , Ansontkparties d’un même ensemble. Montrer que A1∪ · · · ∪Ak= (A1\A2)∪(A2\A3)∪ · · · ∪(Ak−1\Ak)∪(Ak\A1)∪(A1∩ · · · ∩Ak).
Exercice3.5
SoientEun ensemble,nun entier non nul,A1, . . . , AnetB1, . . . , Bndes parties deE.
Montrer que
n
[
i=1
(Ai∩Bi) = \
X⊂J1,nK
Ñ [
i∈X
Ai
! [
Ñ [
i6∈X
Bi
éé .
Exercice3.6
SoitEun ensemble non vide. Pour toutes partiesAetB deE, on appelle différence symétrique deAetB la partie deEnotéeA∆Bdéfinie par
A∆B = (A∩B)∪(A∩B) = (A∪B)\(A∩B)
1) Justifier l’égalité affirmée par la définition ci-dessus.
2) Montrer que l’opération∆est commutative et associative.
3) Soitn∈Navecn≥2. SoitA1, . . . , Andes parties deE.
Montrer quex∈A1∆A2∆· · ·∆Ansi et seulement si le cardinal de{i∈ {1, . . . , n}/ x∈Ai}est impair.
Exercice3.7
SiAest un ensemble muni d’une loi interne∗, c’est-à-dire d’une applicationA×A−→A (x, y)7−→x∗y
, on dit que(A, ∗) est un monoïde si et seulement si
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE III - ENSEMBLES, RÉCURRENCES, LOGIQUE
– ∀x, y, z∈A, x∗(y∗z) = (x∗y)∗z
– et s’il existee∈Atel que∀x∈A, x∗e=e∗x=x.Dans ce cas, on dit queeest l’élément neutre deA.
On considère un monoide(G,∗)dont l’élément neutre est notée.
1) SiHest une partie deG, à quelle conditionHest-il un monoïde pour la restriction de∗àH, dont l’élement neutre est aussie? Dans ce cas, on dit queHest un sous-monoïde deG.
2) SoitI un ensemble quelconque et(Hi)i∈I une famille de sous-monoïdes deG.Montrer que \
i∈I
Hiest aussi un sous-monoïde deG.
3) SoitBune partie quelconque deG. Montrer qu’on peut définir le plus petit sous-monoïde deGcontenantB.
Exercice3.8
Soitn∈N∗etX1, . . . , Xndes ensembles.
Soitk∈N. On notePkl’ensemble des parties de cardinalkde{1, . . . , n}.
1) Sik≤ n+ 1
2 , montrer que \
H∈Pk
[
i∈H
Xi ⊂ [
H∈Pk
\
i∈H
Xi.
2) Sik≥ n+ 1
2 , montrer que [
H∈Pk
\
i∈H
Xi ⊂ \
H∈Pk
[
i∈H
Xi.
Exercice3.9
On se place dans le cadre de la théorie des ensembles, pour laquelle tout objet mathématique est un ensemble.
1) On admet l’axiome suivant :Axiome de fondation : Pour tout ensemblex non vide. il existey ∈ x tel que y∩x=∅.
Montrer que, pour toutn∈N∗, il n’existe aucune suite d’ensemblesx1, . . . , xntels quex1 ∈x2∈ · · · ∈xn∈ x1.
2) Posons0 =∅.
Pour tout ensemblea, notonss(a) =a∪ {a}.
On dira qu’un ensembleaest clos par successeur si et seulement si∀x ∈a, s(x)∈a.On admetl’axiome de l’infini: il existe un ensembleM dont0est un élément et qui est clos par successeur.
On noteN l’intersection des parties deM contenant0et closes par successeur.
Montrer queN satisfait les axiomes de Peano que l’on rappelle :
– N est muni d’un élément particulier noté0et d’une application « successeur » notéesdeN dansN.
– 0n’est le successeur d’aucun élement deN :∀n∈N, s(n)6= 0.
– sest une application injective :∀n, m∈N, s(n) =s(m)⇒n=m.
– Pour toute partieF deN, si0∈F ets(F)⊂F (i.e∀n∈N, n∈F ⇒s(n)∈F)alorsF =N.
Récurrences
Exercice3.10
Suites arithmético-géométriques
On fixe deux réelsaetb.On considère une suite(un)n∈Ntelle que, pour toutn∈N, un+1=aun+b.On souhaite exprimerunen fonction denet deu0.
1) Traiter les casa= 1etb= 0.
Pour la suite, on suppose quea6= 1.
2) Montrer qu’il existe un unique réel`tel que`=a`+b 3) Pour toutn∈N, on posevn=un−`.
Calculervnen fonction denet dev0. Conclure.
Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea
FEUILLE III - ENSEMBLES, RÉCURRENCES, LOGIQUE
4) La suite(un)est-elle convergente ?
Exercice3.11
Montrer que pour toutn∈N\{0,1},
n
X
k=1
1
k2 > 3n 2n+ 1.
Exercice3.12
SoitE ={x1, . . . , xn}un ensemble fini. Montrer qu’on peut lister les éléments deP(E)de sorte que la liste commence par∅, se termine par{xn}et que chaque nouveau terme de la liste est obtenu depuis le précédent par ajout ou retrait d’un unique élément deE.
Exercice3.13
On note(un)n∈Nla suite définie paru0 = 1et pour toutn∈N∗, un=ubn
2c+ubn
3c+ubn
6c. 1) Montrer que, pour toutn∈N, un≥n+ 1.
2) TrouverC >0tel que, pour toutn∈N, un≤C(n+ 1).
Exercice3.14
La fonction d’Ackermann est définie récursivement par :
∀n∈N, A(0, n) =n+ 1
∀m∈N∗, A(m,0) =A(m−1,1)
∀m, n∈N∗ A(m, n) =A(m−1, A(m, n−1))
La troisième ci-dessus donne l’impression d’un cercle vicieux, car la fonction « s’appelle elle-même » (on dit qu’elle est définie récursivement). La question de cet exercice est donc toute naturelle : démontrer que la fonetion d’Ackermann est bien définie !
Exercice3.15
Soitf une application deN∗dansN∗telle que : pour toutn∈N∗, f(n+ 1)> f(f(n)).
Montrer que, pour toutn∈N∗, f(n) =n.
Logique
Exercice3.16
Montrer de deux manières différentes que les formules propsitionnelles suivantes sont logiquement équiva- lentes :
A⇒(B∧C)et(A⇒B)∧(A⇒C), (A∨B)⇒Cet(A⇒C)∧(B ⇒C), (A∧B)⇒Cet(A⇒B)⇒(A⇒C).
Exercice3.17
Soit(un)n∈Nune suite de nombres réels.
1) Écrire, à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes : 1. la suite(un)n∈Nest majorée parM ∈R;
2. la suite(un)n∈Nest majorée ; 3. la suite(un)n∈Nn’est pas majorée ;
4. la suite(un)n∈Nest strictement décroissante :
5. la suite(un)n∈Nest stationnaire (c’est-à-dire constante à partir d’un certain rang) ; 6. la suite(un)n∈Nest périodique à partir d’un certain rang.
2) Inversement, traduire en langage « clair » les assertions suivantes :
Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea
FEUILLE III - ENSEMBLES, RÉCURRENCES, LOGIQUE
(a) ∀n∈N,∃p≥n, up = 0; (b) ∃n∈N, ∃p≥n, up < un;
(c) ∀n∈N, ∃p≥n, up 6=un.
Exercice3.18
Alice, Bruno et Camille sont au restaurant.
– Si Alice ne prend pas de dessert, Bruno non plus ;
– parmi Alice et Camille, exactement une personne prend un dessert ; – si Camille prend un dessert, Bruno aussi ;
– Bruno ou Camille prennent un dessert.
Déterminer parmi Alice, Bruno et Camille, celles et ceux qui prennent un dessert.
Exercice3.19
Écrire les négations logiques des trois phrases suivantes :
1) Dans chaque devoir surveillé, il y a toujours une question qu’aucun élève ne sait résoudre.
2) Pour être admissible aux Mines en 2018, il fallait avoir au moins 177 points à la barre scientifique et 363 points à la barre générale.
3) L’an dernier en MPSI2, certains élèves ont eu au moins 12 à toutes leurs colles de maths.
Exercice3.20
Dans cet énoncé, la négation d’une formule propositionnelleP sera notée indifféremment¬P ouP . 1) La barre de Scheffer, notée « | » est le connecteur logique défini par :
Pour toute formule propositionnelleP etQ, (P|Q)est logiquement équivalente à(P ∨Q).
Montrer que l’on peut dire que la barre de Scheffer est le connecteur logique « est incompatible avec ».
2) Exprimer les connecteurs¬,∧,∨et⇒en utilisant uniquement la barre de Scheffer.
Exercice3.21
Donner la contraposée des expressions suivantes : 1. (A∧(B∨C))⇒(B∨(A∧C)).
2. (∃!x, (x∈A et x∈B))⇒(∀y, ∃!x, (x∈Aet(y−x)∈B)).
Ces propositions sont-elles vraies ?
Quentin De Muynck 4 Sous licencecbea
