Chapitre II Notion d’un ensemble Leçon 4 Les ensembles

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Chapitre II Notion d’un ensemble Leçon 4 Les ensembles

1. Ensemble et éléments

La théorie des ensembles occupe une place importante en mathématiques car elle sert à trait d’union entre ses différentes branches. Son rôle est considérable dans le domaine du calcul des probabilités et essentiel en informatique.

- Un ensemble est une collection d’objets, et ces objets sont appelés des éléments de l’ensemble. On utilise des accolades

 

pour noter un

ensemble : a l’intérieur de celles-ci, on peut écrire soit la liste des éléments de l’ensemble, soit l’une de ses propriétés caractéristiques.

On peut également designer un ensemble par une lettre majuscule : A, B, C, …et ses éléments par des lettres minuscules : a, b, c, … Signification des symboles

.



appartient

Pour dire qu’un élément appartient à un ensemble.

On écrit par exemple aA : a appartient à A

a est un élément de A

.



n’appartient pas

Pour dire qu’un élément n’appartient pas à un ensemble.

On écrit par exemple bA : b n’appartient pas à A b n’est pas un élément de A.

2. Représentation d’un ensemble 2.1 Principe d’extension

C’est représenter un ensemble par la donnée de la liste de ses éléments.

Exemples :

A =  2 , 4 , 6 , 8 

B=

 lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche 

C =  a , e , i , o , u 

^{N =}  ^{1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 

2.2 Principe de compréhension

C’est représenter un ensemble par l’une de ses propriétés caractéristiques.

Exemples :

1.

^A =  ^x/x  ^{10, x} = ^{2k , k}  ^N 

c’est-à-dire

A =  0 , 2 , 4 , 6 , 8 

.

2.

B =  x/x est le jour de la semaine 

c’est-à-dire

B =  lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche 

3.

^C =  ^x/x  ^N, ( )( ^{x - 1} x + ³ ) = ⁰ 

c’est-à-dire

C =   1

2.3 Diagramme de Venn-Euler

Ce type de diagramme est utilisé pour représenter les éléments : chaque ensemble est représenter par un cercle ou une ellipse, à l’intérieur duquel

20

B tous ses éléments sont situés.

Exemples :

A 1

U

4 6

5 8 3

7

9 10

Le cercle A contient les éléments 1, 4, 5, 8 : ^A=

 ^{1 , 4 , 5 , 8} 

Le cercle B contient les éléments 3, 4, 6, 7, 8 : B=

 3 , 4 , 6 , 7 , 8 

^.

3. Différents types des ensembles 3.1 Ensemble fini

Un ensemble fini est composé d’un nombre déterminé d’éléments. Le nombre d’éléments d’un ensemble fini A s’écrit n(A).

Exemple : A=



2,4,6,8



, n(A)=4

B =  lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche 

n(B)=7.

C =  a , e , i , o , u 

, n(C)=5 3.2 Ensemble infini

Les ensembles dont le nombre déterminé d’éléments est indéterminé sont des ensembles infinis.

Exemples : A={1, 2,3,...}

B =



x

:

x

est un entier relatif 

3.3 Ensemble vide

Un ensemble vide est un ensemble qui ne comporte aucun élément. On le note

 

^ou



.

Exemples : ^A=

 ^{x : x est un triangl e a quatre cotes} 

B=

 x / x est une fourmi aussi grosse qu' un elephant 

4. Ensembles équivalents

Deux ensembles finis A et B sont équivalents si et seulement si les nombres d’éléments de A et de B sont égaux et on le note

A  B

:

A  B  n ( A ) = n ( B )

Exemple 1 :

A {a,b,c,d,e} =

et ^B=

 ^{1 , 5 , 4 , 2 , 3} 

Or

n ( A ) = n ( B ) = 5

, donc AB.

21 A B a

e 1 2 h 3 Exemple 2 :

_n(A)=n(B)=3

Donc AB

Exemple 3 :

^{A =}  ^{x / x est le mois de l' annee} 

^{B =}  ^{y / y est le jour de la semaine} 

Or n(A)=12, n(B)=7, donc AB. 5. Ensembles égaux

Deux ensembles finis A et B sont égaux si et seulement si, pour tout objet x:

si

x

A alors

x

B et si

x

B alors

x

A

que l’on écrit encore, en remplaçant si … alors par implique : x

A



x

B et

x

B



x

A

Exemples : A=

 1 , 2 , 3 , 4 , 5 

;

^B=

 ^{1 , 5 , 4 , 2 , 3} 

^;

C =

 1 , 3 , 4 , 5 , 6 

On a : A=B ; AC et BC. Exemple 2 :

6. Sous-ensembles

L’ensemble A est un sous-ensemble de B si et seulement si : pour tout x

:

x

A



x

B

et on le note : AB

Exemple 1 : ^A=



^{x/xN,x2 =4}



B=



−4,−2,0,2,4



, on a AB. Exemple 2 :

On a :CB et CA.

U

A B

C b

a e i u y o

U

A B

C 11 b a

2 5 o

22 Remarques :

1. Tout ensemble est un sous ensemble de soi-même.

2. L’ensemble vide est un sous ensemble de tous ensembles.

3. _{A= B (AB)(BA).}

7. Ensemble des parties d’un ensemble (Partitions)

L’ensemble des parties d’un ensemble A se note P(A), est un ensemble dont les éléments sont des sous-ensembles de A :

^{P A( )=}



^{X X/ A}



^.

Exemples :

•

A =   1

= ) (A

P

  ,   1 

, n



P

( )

A



=2

• B=



a,b



= ) (B

P

 ^{ ,}   ^{a ,}    ^{b , a , b}  

^, n



P

( )

B



=

4

=

2 ²

.

•

C =  1 , 2 , 3 

= ) (C

P

 ^{ ,}              ^{1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3}  

^, n



P

( )

C



=

8

=

2 ³

. Théorème:

Si A est fini, on a: n

(

P

(

A

))

=

2

^n(A) 8. Ensemble universel

Définition

Un ensemble universel est un ensemble qui se compose de la totalité des éléments donnés dans un problème. On le note : U .

Un ensemble universel est représenté par un rectangle.

Exemples :

1. Les nombres entiers positifs de 1 à 100 : U ={1, 2,3,...,100}.

2. Soit

U = { 1 , 2 , 3 , 4 }

_et

A = { / x x U x  ,

²

= 4}

2

2 =4x=

x mais −2U donc A=

 

2

3. Soit

U = {− 1 , 0 , 1 }

et

B = { / x x U x  ,

²

+ − = x 6 0}

D’après

x

²

+ x − 6 = 0

On a :

( x + 3 )( x − 2 ) = 0  x = − 3 , 2

. puisque −3,2U donc B =.

Exercices

1. Représenter les ensembles suivants par la donnée de la liste des éléments.

a. L’ensemble des nombres entiers impairs de 2 à 20.

b. L’ensemble des nombres entiers pairs de 1 à 20.

c. L’ensemble des nombres entiers de 2 à 27 qui est divisibles par 3.

23

2. Représenter les ensembles ci-dessous par le diagramme de Venn-Euler.

a.

^U =  ^{x / x est le nombre entier positif inferieur a 15} 

^.

 x / x est multiple de 2 

A =

^.

 ^{x / x est multiple de 3} 

B =

.

 ^{x / x est diviseur de 12} 

C =

^.

b.

U =  x / − 4  x  4 

^.



 + − =

= x

/

x

2

x

6 0

A .

( )( )( )

 ^/ − ³ − ² + ¹ = ⁰ 

= x x x x x

B

.

3. Indiquer si chacun des cas suivants les ensembles sont égaux ou équivalents.

a.

A =  0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 

et

^{B =}  ^{x / x est un nombre pair de 3 a 10} 

^.

b. 



  + − =

= x

/

x R

,

x

2

x

30 0

C et

D =  − 5 , 5 

^.

c.

E =  1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 

et

F =  1 8 , 15 , 12 , 9 , 6 , 3 , 1 

4. Sur le diagramme ci-dessous, déterminer : ^P

( ) ( ) ( )

^{A ,P B ,PC .}

U A B

6 5 2

3 b a

C

.



^union

.



intersection

.

A '

complémentaire de l’ensemble A .



sous-ensemble (inclusion)

24

Leçon 5 Operations sur les ensembles.

1. Union (



^{) :}

Soient A et B deux sous-ensembles de l’ensemble universel U . L’union ou la réunion de deux ensembles A et B notée

A  B

, est un ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A ou à B :



x x A B

A =

/

 ou

^{x  B} 

^.

Propriétés

1. AA=A 2. A=A 3. A U =U 4. AB=BA

5. (AB)C=A(BC) 6. A

(

AB

)

et B

(

AB

)

. Exemples :

1. Soit A=

 1 , 2 , 3 , 4 , 5 

;

B =  2 , 4 , 6 , 8 

On a

A  B =  ^{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8} 

. 2.

^{A  B =}  ^{a , b , c , d} 

3.

A  B =  a ,b , 1 , 2 

A

B

B A  B

A 

A B

U U

A B

B A 

U

U

A B

b

e d

f c a

U

A B

b a 2

1

25 2. Intersection (



⁾

Soient A et B deux sous-ensembles de l’ensemble universel U. L’intersection de deux ensembles A et B, notée

A  B

, est un ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et a B.



^{x x A}

B

A =

/

 et ^xB



^.

Propriétés

1. A =U A 2. A= 3. AA=A 4. AB=BA

5. (AB)C=A(BC) 6.

(

^A^B

)

^A et

(

^A^B

)

^B 7. (AB)C=(AC)(BC) 8. (AB)C=(AC)(BC).

Exemples :

1. A=



a

,

b

,

c

,

d



; B=



c

,

d

,

e

,

f



AB=



^c

^,

^d



2. A=



1,3,5



; B=

 2 , 4 , 6 



=

B A

A B

B A 

U

A

B

B A 

U

U

A B

b d e f c a

U

A B

3 2

4 5 6

1

26

3. A=

 1 , 2 , 3 

^; B=

 1 , 2 , 3 , 4 , 5 

AB=

 1 , 2 , 3 

^.

3. Différence de deux ensembles

Soient A et B deux sous-ensembles de l’ensemble universel U. On appelle différence de deux ensembles A et B, notée

A − B

^.



x x A B

A− =

/

 ^et xB





x x B A

B− =

/

 et xA



Propriétés:

1. A−A=

2. (A−B)C=(AC)−(BC) 3. A−B=A−(AB)

4. A=(AB)(A−B). Exemple : A=

 1 , 2 , 3 , 8 

, B=

 2 , 3 , 4 , 5 

On a : A−B=

  1 , 8

B − A =  4 , 5 

4. Complémentaire de l’ensemble A

Soit A un sous-ensemble de l’ensemble universel U. Le complémentaire de A dans U est l’ensemble des éléments de U qui n’appartiennent pas à A.

A B

3

4 2 5

1

U

U

A B

3 2 4

5 8

1

U

A B

B

A − B − A

27 On le note U−A ou A' ou

A

^.

' ,

A =A U A U A'= −

A ' = { x / x  U

et

x  A }

Propriétés

1. (A')'= A 2. '=U et U'=

3. (AB)'=A'B' 4. (AB)'=A'B'.

Exemples: Soient A et B deux sous-ensembles de l’ensemble universel U tels que

 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 

U = ^; A=

 1 , 3 , 5 

^; B=

 2 , 4 , 6 

On a ^A

^'

⁼

 ^{2 , 4 , 6 , 7} 

^;

 1 , 3 , 5 , 7 

B

'=

.

5. Différence symétrique de deux ensembles

La différence symétrique de deux ensembles A et B est se note AB : )

( )

(A B B A

B

A = −  − ou AB=(AB)−(AB)

Propriétés

1. ^A^B=^B^A 2. A =A 3. AA=

4. AB=(A−B)(B−A)=

(

AB

) (

− AB

)

Exemple : Sur le diagramme ci-dessous, on a :

A B

b d e

g a c

U

A

' A U

U

A B

3

2 4 5 6

1

U

A B

A B

28

A  B =  a , d , c , g 

^{A  C =}  ^{a , b , f , g} 

^{B  C =}  ^{b , c , d , f} 

6. Calcul de cardinaux

On peut calculer le nombre d’éléments ou le cardinal d’un ensemble fini.

Théorème :

1. n(AB)=n(A)+n(B)−n(AB),

2.

n ( A  B  C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) − n ( A  B ) − n ( A  C )

− n ( B  C ) + n ( A  B  C )

, 3.

n ( A − B ) = n ( A ) − n ( A  B )

,

4.

n(A') n( U) n(A) = −

. À l’aide du diagramme de Venn-Euler

- Dans ce type de problème, il faut bien comprendre à quelle catégorie chaque région du diagramme correspond.

Exemple 1 : Pour les besoins d’une enquête portant sur les sports préférés dans un lycée, 40 élèves ont été interrogés ; les résultats furent les suivants :

21 élèves préfèrent le football ; 19 préfèrent le basketball et 12 préfèrent le football et le basketball.

a. Combien y a-t-il d’élèves qui préfèrent le football ou le basketball ? b. Combien y a-t-il d’élèves qui ne préfèrent le football ni le basketball ? c. Combien y a-t-il d’élèves qui préfèrent le football mais ne préfèrent

pas le basketball ?

Solutions : Considérons :

U l’ensemble des élèves interrogés.

A l’ensemble des élèves qui préfèrent le football.

B l’ensemble des élèves qui préfèrent le football.

On veut calculer :

U

A B

(

^{A B}

)

n  ⁿ

(

^A−^B

)

( )



A B '



n 

(

^{B A}

)

n −

29 a. n A( B)

b. n A(( B) ') c. n A B( − ).

On a : ⁿ

( )

^{U =40,} n(A)=21, n(B)=19, n(AB)=12. D’après le théorème :

a. n(AB)=n(A)+n(B)−n(AB)=21+19−12=28 28

) (AB =

n

Il y a 28 élèves qui préfèrent le football ou le basketball.

b.

n (( A  B )' ) = n ( U ) − n ( A  B )

=40−28=12 12

) )' ((AB = n

Il y a 12 élèves qui ne préfèrent le football ni le basketball.

c.

n ( A − B ) = n ( A ) − n ( A  B )

=21−12=9 9

) (A−B =

n

Il y a 9 élèves qui préfèrent le football mais ne préfèrent pas le Basketball.

À l’aide du diagramme de Venn-Euler

Ne tenir compte que des cercles correspondant à chaque catégorie d’élèves.

Celui-ci se compose de quatre régions ou zones représentant : Région 1 : n(AB)=12

Région 2 : n⁽A−B⁾=n⁽A⁾−n

(

AB

)

=²¹−¹²=⁹ Région 3 : n(B−A)=n(B)−n

(

AB

)

=19−12=7 Région : n(AB)'=n(U)−n(AB)

n(AB)'=n(U)−[n(A)+n(B)−n(AB)=40−(21+19−12)=12

Exemple 2 :

Les 120 étudiants dont chacun doit inscrire l’une au moins des matières suivantes : mathématiques, physique et chimie. D’après cette inscription, on constate que :

. 60 étudiants choisissent les mathématiques ; . 50 choisissent la physique ;

. 72 choisissent la chimie ;

. 27 choisissent les mathématiques et la chimie ; . 30 choisissent la chimie et la physique ;

. 20 choisissent les trois matières.

U

A B

12 7 9

12

30

Combien y a-t-il d’étudiants ne choisissent que les mathématiques, sachant que 15 étudiants ne choisissent que la physique ?

Solutions :

Soit U, ensemble des étudiants

A, ensemble des étudiants qui choisissent les mathématiques B, ensemble des étudiants qui choisissent la physique C, ensemble des étudiants qui choisissent la chimie D’après le problème, on a:

120 ) ( U = n

60 ) ( A =

n

;

n ( B ) = 50

;

n ( C ) = 72

;

n ( A  C ) = 27

;

30 ) ( B  C =

n

;

n ( A  B  C ) = 20

^; n(B−(AC)=15 On demande de calculer n(U−(BC)).

On complète le diagramme de Venn.

On a : n(U−(BC)=n(A)−n(BC).

n(U−(BC)=n(U)−n(B)−n(C)+n(BC) n(U−(BC)=120−50−72+30=28.

Il y a donc 28 étudiants qui ne choisissent que les mathématiques.

Exercices

1. Soit A = {2, 4, 5, 8, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 9, 12} et C = {1, 3, 5, 7}

Déterminer :

a.

A  B

b.

A  B

c.

A  ( B  C )

d.

A  ( B  C )

e.

A − B

f.

A  ( B  C )

.

2. Sur le diagramme ci-dessous, A, B et C sont les sous-ensembles de l’ensemble universel U.

U A B

2 3 11

1 5 9

7

25 15 51

A B

C 5 15 28

8

U

7 20 10

35

31

C

Déterminer les ensembles suivants par la donnée de la liste des éléments.

a. AB, AC, BC, AB, AC, BC. b. (AB)C, (AB)C.

c. A', B', C', ((AB)C)', ((AB)C)'. d. (AB)'C, (AC)'B, (CA)'B. e. AB, AC, BC.

3. Soit A, B et C trois sous-ensembles de l’ensemble universel U tels que ^A=



^a,b,c,d,e



, ^B=



^a,c,e,g



, ^C=



^b,e,g



.

a. Représenter a, B et C par le diagramme de Venn-Euler.

b. Déterminer les ensembles :

• AB, AB, A−C, B'.

• A'−B, B'C, (A−C)', (A−B')'.

• (AA')', (AB)−C, (AB)'(A'B). 4. Sur le diagramme ci-dessous:

U

A B Compléter:

1 2 3 C D

5. On considère les ensembles U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, AB = {1,4,9}, AB = {2}, AB = {6,8}.

Trouver les ensembles A et B’.

6. On considère les ensembles AB = {3,4,5,7,8}; AC = {1,2,3,4,5,6,8};

AC = ; BC = {8}; (BC)A = {3,5} et 4B.

Déterminer les ensembles A, B, C.

7. Pour les besoins d’une enquête portant sur les disciplines enseignées dans une école, 40 élèves ont été interrogés ; les résultats furent les suivants :

25 élèves aiment les mathématiques ; 22 aiment la physique et 24 aiment la chimie. 12 aiment les mathématiques et la physique ; 18 aiment les mathématiques et la chimie ; 15 aiment la chimie et la physique et 10 aiment tous les trois matières.

a. Combien d’élèves qui aiment les mathématiques ou la physique ou la chimie ? b. Combien d’élèves qui n’aiment pas les mathématiques, ni la physique, ni la chimie ?

1. La région 1 est l’ensemble ...

2. La région 2 est l’ensemble ………

3. La région 3 est l’ensemble ………

32

8. Chez un mini- marché, il y a la réduction de ceintures et de chaussures. 100 clients de 400 ont acheté les ceintures, 250 ont acheté les chaussures et 50 ont acheté tous les deux. Trouver le nombre de clients qui ont acheté au moins une de ces deux marchandises.

9. Pour les besoins d’une enquête portants sur les quotidiens Vientiane- mai et Siengpaxaxonh, 150 personnes ont été interrogés ; les résultats furent les suivant :

. 105 personnes lisent Vientiane- mai ; . 50 lisent Siengpaxaxonh ;

. 8 ne lisent aucun de ces deux quotidiens.

a. Combien de personnes lisent tous les deux quotidiens ? b. Combien de personnes ne lisent que Vientiane- mai ? c. Combien de personnes lisent Siengpaxaxonh ?

10. Lors d’une enquête des étudiants d’une université ; les résultats furent les suivant : . 260 étudient la statistique ;

. 280 étudient les mathématiques ; . 160 étudient l’informatique ;

. 76 étudient la statistique et les mathématiques . 48 étudient la statistique et l’informatique ; . 62 étudient les mathématiques et l’informatique ; . 30 étudient les trois matières ;

. 150 n’étudient aucunes matières.

Calculer le nombre d’étudiants qui n’étudient que l’informatique ?

33

Leçon 6 Produit cartésien

Voici le résultat du lancer une pièce de monnaie deux fois successives :

( ) ( ) ( ) ( )



F F F P P F P P



S= , , , , , , , tel que

F désigne la face et P désigne le pile.

Les couples

(

F,P

)

et

(

P,F

)

sont différents :

- Le couple

(

F,P

)

signifie que : le 1^er lancer, on obtient la face le 2^e lancer, on obtient le pile.

- Le couple

(

P,F

)

signifie que : le 1^er lancer, on obtient le pile le 2^e lancer, on obtient la face.

1. Couple

Le couple x,y s’écrit

( )

x,y .

est le 1^er élément de

( )

x,y .

(

x, y

)

est le 2^e élément de

( )

x,y . Définition

Soit deux couples

( )

x,y et

( )

a,b .

( ) ( )

x,y = a,b x=a et y=b.

Exemple :

( 1 , x ) = ( y , − 4 )  y = 1 et x = − 4

2. Produit cartésien de deux ensembles

Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples ayant :

à la première place, un élément de A et à la seconde place, un élément de B.

On le note

A  B

et se lit « A croix B »

^AB=

 ⁽

^x

^,

^y

^{) /}

^xA

^et

^yB



Propriétés

1. A  B  B  A

2.

AA= A² =

 (

x

,

y

) /

xA

et

yB



3. A 3 = A 2  A =  ( x , y , z ) / x  A , y  A , z  A 

4. A   =   A = 

5. n ( A  B ) = n ( A )  n ( B )

6. n ( A  B ) = n ( B  A ) = n ( A )  n ( B ) = n ( B )  n ( A )

34 Exemple 1 : A=

 

1,2 et B=



a,b



On a :

• AB=

 1 , 2  

 a

,

b

,

c



AB=

 ( ) ( ) ( ) ( 1 ,

a

, 1 ,

b

, 1 ,

c

, 2 ,

a

) ( , 2 ,

b

) ( , 2 ,

c

) 

n ( A  B ) = n ( A )  n ( B ) = 2  3 = 6

• ^BA=



^a

^,

^b

^,

^c

  

^

^{1 , 2}

BA=

 ( ) (

a

, 1 ,

a

, 2 ) ( ) ( ,

b

, 1 ,

b

, 2 ) ( ) ( ,

c

, 1 ,

c

, 2 ) 

n ( B  A ) = n ( B )  n ( A ) = 3  2 = 6

Exemple 2 : Soit

A =   1 , a

On a :

• ^A

²

=^A^A=

    ^{1 ,}

^a 

^{1 ,}

^a

( ) ( ) ( ) ( )



^{a a a a}



A

2

=

1 , 1 , 1 , , , 1 , ,

• A³ = A²A

^A

³

=

 ( ) ( ) ( ) ^{1 , 1 , 1 ,}

^a

^,

^a

^{, 1 ,} (

^a

^,

^a

)   



^{1 ,}

^a

^A

³

=

 ( ^{1 , 1 , 1} ) ( ^{, 1 , 1 ,}

^a

) ( ^{, 1 ,}

^a

^{, 1} ) ( ^{, 1 ,}

^a

^,

^a

) ( ^,

^a

^{, 1 , 1} ) ( ^,

^a

^{, 1 ,}

^a

) ( ^,

^a

^,

^a

^{, 1} ) ^, (

^a

^,

^a

^,

^a

) 

A B a b

1 (1, a) (1, b) 2 (2, a) (2, b)

B A 1 2

a (a, 1) (a, 2)

b (b, 1) (b, 2)

35

Exercices

1. On considère les ensembles A = {1,2, 3}, B = {a,b, c} et C =

 

m,n . Déterminer les ensembles :

a. AB BA AC CA

b. BC CB A² B²

c. A

(

BC

)

d. A

(

BC

)

e.

(

CA

) (

 CB

)

f.

(

CA

) (

 CB

)

g.

(

BB

) (

 AA

)

h.

(

CC

) (

 AB

)

2. Soit

A =  a , b , c , d , e , f 

,

B =  1 , 3 , 5 , 7 , 9 

et

C =  x , y , z 

. Calculer le cardinal de chacun des ensembles suivants.

a. AA BB CC AB

b. BA AC CA BC

c. CB d.

(

^AB

)

^{C e.}

(

^AB

)

^C

f.

(

AC

)

A g.

(

AC

)

B h.

(

BC

)

A 3. Soit

A =  2 , 4 , 6 

,

B =   a , b

et

C =  x , y 

.

Déterminer les ensembles puis donner leur cardinal.

a. ABC b. ACB c. (AB)C d.

(

^B^C

) (

 ^A^C

)