Ensembles,applications Chap10

Ensembles, applications

1 Ensembles

1.1 D´efinitions

D´efinition. On appelleensembleune collection d’objets que l’on appelle des´el´ementsde l’ensemble et dont on dit qu’ils appartiennent`a l’ensemble.

On note ∅l’ensemble vide qui n’a aucun ´el´ement.

Exemple.

Remarque.

Vocabulaire.

• A estinclus dansB si et seulement si tout ´el´ement deA appartient `aB;

• Deux ensembles sont´egauxsi et seulement si ils ont les mˆemes ´el´ements.

Vocabulaire.

• A eststrictement inclus dansB si et seulement si il est inclus dansB mais n’est pas ´egal `a B Vocabulaire.

• SiE est un ensemble, ses sous-ensembles, ou parties, sontles ensembles inclus dansE.

• SiE etF sont deux ensembles, leproduit cart´esien deE etF est

Remarque.

Exemple. Pour E t0,1,2u, ´enum´erer les ´el´ements de PpEq. Remarque.

Exercice. D´eterminer PpEq puisPpPpEqq lorsqueE t0u puis lorsqueE ∅.

Exercice. Quel est l’ensembleE∅? Existe-t-il des ensembles E etF tels queEF ∅? 1.2 Op´erations sur les ensembles

SoitE un ensemble, A, B, C des ´el´ements de PpEq.

D´efinition. On appelleintersectionde A etB la partie deE d´efinie par :

AXB txPE t.q.xPA etxPBu

A

B

D´efinition. Deux parties de E sont ditesdisjointessi et seulement si leur intersection est vide.

D´efinition. On appeller´eunionde A etB la partie deE d´efinie par :

AYB txPE t.q.xPA ou xPBu

A

B

Propri´et´e. X et Y sont des applications PpEq PpEq Ñ PpEq. On dit que ce sont des lois de composition

interne dePpEq. Elles v´erifient :

• Commutativit´e :AYB BYA etAXB BXA.

• Associativit´e :pAYBq YCAY pBYCq etpAXBq XC AX pBXCq

• Distributivit´e de X surY : AX pBYCq pAXBq Y pAXCq

• Distributivit´e de Y surX : AY pBXCq pAYBq X pAYCq

D´efinition. On appellediff´erence (ensembliste)de A parB la partie de E d´efinie par :

ArB txPE t.q.xPA etxRBu

A

B

Exemple. ArA∅,Ar ∅A

Exercice. SiAetB sont disjoints, que dire deArB?

D´efinition. On appellecompl´ementaire deA dansE la partie deE d´efinie par :

AEAtxPE t.q.xRAu

A

B

Remarque.

Exemple. AE∅E etAEE ∅. Remarque. Est-ce que ABABrA? Propri´et´e.

• AEAErA;

• ArB AX AEB ArpAXBq;

• A^EpAYBq A^EA X A^EB etA^EpAXBq A^EA Y A^EB.

D´efinition. Soit E un ensemble et A_i des parties de E. On dit que les A_i forment une partition de E si et

seulement si les Ai sont deux `a deux disjoints et leur r´eunion estE.

Exemple.

2 Applications

2.1 G´en´eralit´es

D´efinition na¨ıve. SoitE etF deux ensembles. Une application f de E vers F estla donn´ee d’une relation entre E etF qui `a chaque ´el´ement de E associe un ´el´ement deF.

Notation. f : E Ñ F

x ÞÑ fpxq

Remarque. Pour que f soit une application, il faut dans cette d´efinition qu’elle transformetous les ´el´ements de E, etqu’`a chaque ´el´ement deE elle associe un unique´el´ement deF.

Vocabulaire. E est la source, ou ensemble de d´epart, etF lebut, ou ensemble d’arriv´ee de f. Si x₀ PE ety₀ fpx₀q,

y0 est l’imagede x0 parf,

tandis que x0 estun ant´ec´edentde y0 parf.

Remarque.

D´efinition. On appelle ensemble de d´efinition, ou domaine de d´efinition d’une application f : E ÑF l’ensemble suivant :

Df txPE | DyPF, y fpxqu

La « vraie» application correspondante est

Notation. L’ensemble des applications deE dans F est not´e FpE, Fq ou F^E. D´efinition. L’application identique de E est d´efinie par id : E Ñ E

x ÞÑ x

D´efinition. On dit que deux applications f et g sont´egales si et seulement si elles ont mˆeme source, mˆeme but, et que pour tout xde la source commune, on afpxq gpxq.

2.2 Restriction et prolongement

D´efinition. Soit f : E Ñ F une application et A € E. On appelle restriction de f `a A, et on note f_|A l’application

D´efinition. Soit A€E, F des ensembles etf : AÑF une application. Un prolongementde f `a E est Exemple. Soit f : R Ñ R

x ÞÑ x²

, g : R Ñ R x ÞÑ x²

, h : R Ñ R x ÞÑ x² Exemple. Soit f : R Ñ R

x ÞÑ xlnx . Prolonger f `a R .

Combien y a-t-il de prolongements ? Y en a-t-il un particulier ?

Exemple. Est-ce que Id_R est un prolongement de Id_Z? 2.3 Propri´et´es

2.3.1 Injection

D´efinition. Une application f : E ÑF est diteinjective si et seulement si

@px, x¹q PEE, xx¹ùñfpxq fpx¹q

soit encore, par contrapos´ee

@px, x¹q PEE, fpxq fpx¹q ùñxx¹

N´egation. La n´egation de l’injectivit´e est :

Dpx, x¹q PEE t.q. xx¹ etfpxq fpx¹q

Remarque.

Exemple.

D´efinition. Soit E un ensemble etA€E. L’application i : A Ñ E

x ÞÑ x

est injective. On l’appelle

2.3.2 Surjection

D´efinition. Une application f : E ÑF est ditesurjective si et seulement si

@y PF, DxPE t.q. fpxq y

N´egation. f n’est pas surjective si et seulement si :

Dy PF t.q. @xPE, fpxq y Exemple.

2.3.3 Bijection

D´efinition. Une application f : E ÑF est ditebijective si et seulement si f est injective et surjective.

Caract´erisation.

f est bijective si et seulement si

@yPF, D!xPE t.q.fpxq y ou encore

@yPF, Dx0 PE t.q.

#fpx₀q y

@xPE, fpxq y ùñ xx0

Exemple.

D´efinition. Sif : EÑF est une bijection, on peut d´efinir sonapplication r´eciproque f¹ : F Ñ E

y ÞÑ l’unique ant´ec´edent de y parf

Question. Pourquoi est-il indispensable d’avoir une bijection pour pouvoir d´efinir une application r´eciproque ? Remarque.Il y a un lien fort entre injectivit´e/surjectivit´e def et l’´etude du nombre de solution d’une ´equation

fpxq λ. Sauriez-vous le formaliser ?

2.4 Diagrammes

Illustrations. Les applications vont de E dansF.

E F E

F E

F

E F E

F E

F

Illustrations. Les applications vont de R dansR.

Question. Lorsque les ensemblesE etF ont un nombre fini non nul d’´el´ements, peut-on donner une condition sur ce nombre d’´el´ements pour qu’il soit possible de construire

• une application deE dansF;

• une injection ;

• une surjection ;

• une bijection ?

2.5 Composition des applications

D´efinition. Soit f : E ÑF et g : F Ñ G deux applications. On d´efinit l’application compos´ee de f et g par

gf : E Ñ G x ÞÑ grfpxqs Attention.

Remarque.

Propri´et´e.La compos´ee de deux injections (resp. surjections, resp. bijections) est une injection (resp. surjection, resp. bijection).

Proposition. Soit f : E ÑF etg : F ÑGdeux applications.

• Sigof est injective, alorsf est injective ;

• Sigof est surjective, alorsg est surjective.

Th´eor`eme.

Soit f : EÑF une application.

f est une bijection si et seulement si il existe une application g : F Ñ E telle que gf Id_E et

fgIdF.

Lorsqu’elle existe,cette application g est unique et on agf¹.

Corollaire.

(a) Sif est uneinvolutionde E (i.e.ff Id_E), alorsf est bijective et f¹f.

(b) Soit f : EÑF etg : F ÑGdeux bijections. Alors gf estune bijection et

pgfq¹ f¹g¹

3 Images directe et r´ eciproque d’une partie

3.1 Image directe

D´efinition. Soit f : E ÑF etA€E. L’image directe de A par f est fpAq !

yPF t.q.DxPA t.q. yfpxq)

E F

A

Propri´et´e. f est surjective si et ssifpEq F. Propri´et´e. SoitA etA¹ deux parties deE.

• A€A¹ùñfpAq €fpA¹q

• fpAYA¹q fpAq YfpA¹q

• fpAXA¹q€ fpAq XfpA¹q Remarque.

3.2 Image r´eciproque

D´efinition. Soit f : E ÑF etB €F. L’image r´eciproque de B par f est

f¹pBq !

xPE t.q. fpxq PB )

E F B

Exemple.

Propri´et´e. SoitB etB¹ deux parties deF.

• B €B¹ùñf¹pBq €f¹pB¹q

• f¹pBYB¹q f¹pBq Yf¹pB¹q

• f¹pBXB¹q f¹pBq Xf¹pB¹q

• f

f¹pBq

€B

• f¹rfpAqsA Attention.

4 Compl´ ements

4.1 D´efinition d’une application par son graphe

D´efinition. Soit E etF deux ensembles. Nous appelleronsgraphetoute partie Gde EF. Le domaine de d´efinition d’un graphe est

D_GtxPE t.q. DyPF, px, yq PGu

Un graphe est dit fonctionnelsi

@xPE, tyPF t.q.px, yq PGu est vide ou singleton.

Remarque.

Question. Comment quantifier qu’un graphe n’est pas fonctionnel ?

D´efinition.La donn´ee d’un graphe fonctionnel dont le domaine de d´efinition estEpermet de d´efinir l’application

f deE dansF qui `a toutxPE associel’unique ´el´ement appartenant `atyPF t.q. px, yq PGu

Notation.

f : E Ñ F

x ÞÑ fpxq

Remarque. Cette d´efinition est coh´erente avec la d´efinition de la repr´esentation graphique d’une fonction vue au lyc´ee. Pour que f soit une application, il faut qu’elle transforme tous les ´el´ements de E, et qu’`a chaque

´

el´ement deE elle associeununique´el´ement deF. Le graphe de f est alorsl’ensemble des couplespx, fpxqq, c’est-`a-dire l’ensemble des couplespx, yqtels queyfpxq. On dit queyfpxqest une´equation de la courbe repr´esentative def.

Exemple. Parmi les sch´emas du paragraphe 2.4, d´eterminer ceux correspondant `a un graphe, `a un graphe fonctionnel, `a une injection, `a une surjection, `a une bijection.

4.2 Famille d’´el´ements d’un ensemble

D´efinition. On appelle famille d’´el´ements d’un ensemble E index´ee par un ensemble I une application de I dansE :

I Ñ E i ÞÑ xi

Notation. On note g´en´eralementpx_iqiPI une telle famille.

Exemple. LorsqueI t1,2u, on peut identifier les familles d’´el´ements deE index´ees part1,2uavec le produit cart´esienEE. (La d´efinition d’une famille, c’est la donn´ee dex₁ etx₂.)

Plus g´en´eralement, lorsque I t1, . . . , nu, l’ensemble des familles d’´el´ements de E index´ees par t1, . . . , nu s’identifie `aEⁿ.

Notation. On noteE^I l’ensemble des familles d’´el´ements deE index´ees parI.

Remarque.La notion de famille est bien la mˆeme que celle d’application. Seule la notation (et le point de vue) change.

Question. Qu’est-ce qu’une suite ?

Remarque. Y a-t-il une diff´erence entrepx_kqkPK ettx_k | kPKu?

D´efinition.On peut g´en´eraliser aux familles de parties d’un ensembleEles notions d’intersection et de r´eunion :

£

iPI

AitxPE t.q.@iPI, xPAiu

¤

iPI

A_i txPE t.q. DiPI, xPA_iu

Remarque.

xP£

iPI

A_i ðñ @iPI, xPA_i

xP¤

iPI

Ai ðñ DiPI t.q.xPAi

4.3 R´edactions classiques

Ce ne sont pas les seules r´edactions possibles, mais elles permettent de s’en sortir dans la plupart des cas.

Les notations sont les notations usuelles.

Pour montrer A€B.

Soit xPA quelconque . . . alorsxPB Pour montrer AB.

M1 On montre d’abordA€B puis B €A.

M2 xPA ðñ . . . ðñ xPB Pour montrer f g.

On v´erifie l’´egalit´e des sources et buts

Soit xPsource quelconque. . . alors fpxq gpxq Pour montrer f injective.

Soit x, yPE quelconques.

On suppose fpxq fpyq. . . alors xy.

Pour utiliser que f injective.

Dans notre raisonnement, on a x, yPE tels quefpxq fpyq. On en d´eduit quexy.

Pour montrer f surjective.

Soit yPF quelconque.

On cherche xPE t.q. yfpxq ðñ . . . . cette ´equation admet au moins une solution donc f est surjective.

Pour utiliser que f surjective.

Dans notre raisonnement, on a un yPF. On en d´eduit qu’il existe xPE tel queyfpxq.

Pour montrer f est bijective.

M1 On montre quef est surjective puisinjective.

M1bis On montre que f est surjective et unicit´e de l’ant´ec´edent.

M2 Soit g : F ÑE, yÞÑ. . ..

On a f g r. . .s Id_F etgf r. . .s Id_E doncf bijective.

Pour montrer xPf¹pBq. c’est facile !

Calculons fpxq . . .. On a bienfpxq PB.

Pour montrer yPfpAq. c’est « dur »!

On cherche xPA t.q.yfpxq. Posons x. . ., il convient.

4.4 Utilisation de Maple

Un ensembleest de type set. C’est une collection non ordonn´ee d’expressions toutes diff´erentes, s´epar´ees

par des virgules, not´ees entre accolades. On peut effectuer des op´erations sur les ensembles en utilisantunion,

intersect,minus.

Unefonction est de typeprocedure et est caract´eris´e par l’op´erateur fl`eche ->. Certaines fonctions sont

pr´ed´efinies. Par d´efaut, les variables sont complexes.

On veillera `a ne pas confondre une fonction avec une expression. L’utilisation des outils de Maplen´ecessite

de savoir si l’argument `a fournir est une fonction ou une expression. On doit ˆetre capable de transformer une

fonction en expression et r´eciproquement. Voir le cours deMaple`a ce sujet.

Alphabet grec

nom minuscule majuscule

alpha α

bˆeta β

gamma γ Γ

delta δ ∆

epsilon ε

zˆeta ζ

ˆ

eta η

thˆeta θ Θ

iota ι

kappa κ

lambda λ Λ

mu µ

nu ν

xi ξ Ξ

pi π Π

rhˆo ρ

sigma σ Σ

tau τ

upsilon υ

phi φ,ϕ Φ

chi χ

psi ψ Ψ

omega ω Ω

Op´erationssurlesensembles 10.1Nierlesd´efinitionsducoursportantsurl’inclusion,l’´egalit´e, l’inclusionstricte,lecaract`eredisjointsdedeuxensembles.ensappl_26.tex 10.2SoitA,B,Ctroispartiesd’uneensembleEnonvide. (a)SiAYBAYC,a-t-onBC? (b)SiAYBAXB,a-t-onAB? (c)MontrerquesiAYBAYCetAXBAXC,alorsBC. (d)MontrerquesiAYBEetAXB∅,alorsAABet BAA. ensappl_29.tex 10.3SoitEunensemble,A,B,CtroispartiesdeE.Montrerque: (a) AXB€AXCetAYB€AYCùñB€C; (b)ArBArCùñAXBAXC; (c) AXBAYCetAYBAXCùñABC; (d)A€BðñAEpAqAEpBqðñAYBB ðñAXBAðñArB∅ðñAEpAqYBE. ensappl_24.tex 10.4SoitEunensemblenonvide,PpEql’ensembledespartiesde E;Ond´efinitdansPpEql’op´erationM,appel´eediff´erencesym´etrique, par: @pA,BqPPpEq2 ,AMBpAYBqrpAXBq (a)ExprimerautrementAMBetfaireundiagrammerepr´esentant AMB; (b)DonnerAMEetAM∅; (c)DonnerAMA; (d)SiAMB∅,quediredeAetB? (e)Reformulerlesr´esultatsde(c)et(d)enunephrasemath´ema- tique.

ensappl_25.tex 10.5MontrerqueA∆BA∆B,o`uAd´esignelecompl´ementaire deAdansE,et∆ladiff´erencesym´etrique. ensappl_30.tex 10.6SoitEl’ensembledesfonctionsdeNdanst1,2,...,57u.Pour iPt1,2,...,57u,onposeAitfPE|fp0qiu.MontrerquelesAi formentunepartitiondeE.ensappl_4.tex 10.7Donnerlalistedes´el´ementsdePpPpt1,2uqq.ensappl_27.tex 10.8SoitEetFdeuxensembles.MontrerquePpEXFq PpEqXPpFq. ensappl_31.tex Imagesdirecteetr´eciproque 10.9Soitf:EÑFuneapplication.Onseposelesdeuxquestions suivantes: (a)SoitAunepartiedeE.Comparerf1 fpAq etA.Quepeut-on direlorsquefestinjective? (b)SoitBunepartiedeF.Comparerf f1 pBq etB.Quepeut-on direlorsquefestsurjective? R´epondre`acesquestionsen´etudiantd’abordlesdeuxexemplessui- vants: f:RÑR xÞÑx2Ar0,1sBr1 4,1 4s g:R ÑR xÞÑlnxAs0,1rBr1,8r ensappl_10.tex 10.10Soitf:EÑFuneapplication,APPpEq,BPPpFq. MontrerquefAXf1 pBq fpAqXB. ensappl_11.tex 10.11Soitf:EÑFo`uEetFsontdeuxensembles.Montrer quefestinjectivesietssi: @pA,BqPPpEq2 ,fpAXBqfpAqXfpBq

ensappl_38.tex Illustrationdespropri´et´esdesapplications 10.12«M`ere»est-elleuneapplication?Et«sœur»?ensappl_1.tex 10.13Soit: f:RÑR xÞÑx2 2x3 fest-elleinjective,surjective?Trouverdeuxintervallesd’amplitude maximaleIetJtelsquefinduiseunebijectiondeIsurJ.S’agit-il d’unerestrictiondef? (Onn’attendpasicided´emonstrationpr´ecise.)ensappl_8.tex 10.14 (a)Soitfl’applicationdeRdansr1,1sd´efinieparfpxqsinpπxq. fest-elleinjective,surjective,bijective? (b)Onnoteglarestrictiondef`as1 2,1 2r.Montrequegestune applicationbijectivedes1 2,1 2rsurs1,1r. (c)Soithl’applicationdeRdanss1,1rd´efinieparhpxqx 1|x|. Montrerquehestbijectiveetd´eterminersar´eciproque. ensappl_14.tex 10.15Soitf:NÑN nÞÑ2netg:NÑN nÞÑ# n 2sinpair n1 2sinimpair D´eterminerlesapplicationsfg,gf,´etudierinjectivit´eetsurjectivit´e def,g,fgetgf.ensappl_34.tex Propri´et´esdesapplications 10.16SoitE,F,Gtroisensemblesetf:EÑF,g:FÑG deuxapplications.D´emontrerque: (a)gfinjectiveùñfinjective; (b)(gfinjectiveetfsurjective)ùñginjective; (c)gfsurjectiveùñgsurjective;

(d)(gfsurjectiveetginjective)ùñfsurjective. ensappl_6.tex 10.17SoientE,F,Gtroisensembles,funeapplicationde EdansFetguneapplicationdeEdansG.Onconsid`ere h:EÑFG xÞÑpfpxq,gpxqq (a)Montrerquesifougestinjective,alorshl’est´egalement.R´e- ciproque? (b)Onsupposefetgsurjectives,qu’enest-ildeh? ensappl_9.tex 10.18SoitE,FetGtroisensembles.Soitf:FÑG.Montrer quefestinjectivesietssi: @pg,hqPpFE q2 ,pfgfhùñghq ensappl_36.tex Familles 10.19SoitpAiqiPIunefamilledepartiesd’unensembleE,i0PI etF€E. (a)Donnerlesrelationsd’inclusionentreAi0,£ iPIAiet¤ iPIAi. (b)Quevalent £ iPIAi YFet ¤ iPIAi XF? (c)Commentmontrer £ iPIAi €F, £ iPIAi F, ¤ iPIAi €F, ¤ iPIAi F? ensappl_43.tex 10.20Quevalent¤ nPNrn,ns,¤ nPNrn,n1s,¤ nPN 0,11 n , ¤ nPN 0,11 n ,£ nPN 0,11 n ,£ nPN 0,11 n ?ensappl_44.tex

10.21Calculer,pourEensemblenonvide,¤ XPPpEqX,¤ XPPpEqrtEuX, £ XPPpEqX,£ XPPpEqrt∅uX.ensappl_45.tex D´eclass´es 10.22PourtoutepartieAdeE,onappellefonctionindicatricede Al’application χA:EÑt0,1u xÞÑ" 1sixPA 0sixRA SoitAetBdeuxpartiesd’unensembleE.MontrerqueχAXB χAχBetχAYBχAχBχAχB.ensappl_2.tex 10.23SoitEunensemblenonvideetf:PpEqÑRtelleque @pA,BqPPpEq2 ,AXB∅ùñfpAYBqfpAqfpBq Montrerque: (a)fp∅q0; (b)@pA,BqPPpEq2 ,fpAYBqfpAqfpBqfpAXBq; (c)@pA,BqPPpEq2 ,A€BùñfpAq¤fpBq. ensappl_3.tex 10.24Montrerqu’iln’existepasd’applicationsurjectived’unen- sembleEversl’ensembledesespartiesPpEq. Indication:Consid´erertxPEt.q.xRfpxquensappl_41.tex 10.25D´etermineretrepr´esenterlapartieXtxP Rt.q.xsatisfaitPuo`uPest:

(a)xPZùñx¡1; (b)x¡1ùñxPZ; (c)x¡1ðñxPZ; (d)xPZùñxPN; (e)x2  1ùñxπ; (f)x2 ¡1ùñxπ; (g)x¤1ùñxRZ; Comparerlesensemblesassoci´esauxpropri´et´es(a)et(g).Qu’end´e- duire. Onditque(g)estlacontrapos´eede(a). Donnerlacontrapos´eede(b),(e)et(f).ensappl_15.tex 10.26Ecrirelan´egationdesphrasessuivantes (a)@x,Dnt.q.x¤n. (b)DMt.q.@n,|un|¤M. (c)@x,@y,xyyx. (d)@x,Dyt.q.yxy1 x. (e)@ε¡0,DNPNt.q.@n¥N,|un| ε. (f)@xPR,@ε¡0,Dα¡0t.q.@fPF,@yPR,|xy| αùñ |fpxqfpyq| ε. ensappl_22.tex 10.27Montrerque @ε¡0,DNPNt.q.pn¥Nùñ2ε 2n1 n 2εq ensappl_23.tex