Chap.3 : PGCD, Bezout, Gauss et Fermat.
Objectifs du chapitre :
C3.a - Niv1 - Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers.
C3.b - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Bezout et ses corollaires.
C3.c - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Gauss.
C3.d - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Fermat.
Activité d’approche n°1
Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon
optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?
Fin de l’activité d’approche n°1 Cours n°1 : PGCD
C3.a - Niv1 - Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers.
Définition n°1 : PGCD
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) les ensembles de diviseurs respectifs de a et b. On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de …...
On le note ……….
Remarque :
Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).
Propriété n°1 (propriétés de base) 1. Si a=0 et b≠0, PGCD(a,b)=...
2. Si a=1 et b≠0, PGCD(a,b)=...
3. Si b divise a, alors PGCD(a,b)=...
4. PGCD(ka,kb) = k PGCD(...) Démonstration
1. b divise 0, donc...
2. 1 n'est divisible que par …...
3. ...
...
...…
4. Soit d=PGCD(a,b) et d'=PGCD(ka,kb).
kd divise d' :
...
Donc il existe k' tel que d'=...
d' divise aussi …..., donc k'... divise …..., donc k'd divise
… et … , donc k'd divise aussi … Donc k'=...
Donc d'=...
Exemple n°1
Calculer le PGCD de 68 et 51.
...
...
...
...
...
...
………
………
………
………
………...
Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)
Soient a et b deux nombres entiers naturels non nuls tels que b ne divise pas a.
Alors :
1) La suite des divisions euclidiennes de a par b, puis de b par le reste de la division précédente noté r0, puis de r0 par le reste de la division précédente noté r1, etc. finit par …...
2) Le dernier reste non nul est le …...
Démonstration
a = bq0 + r0 avec b>...⩾....
b=r0 q1 + r1 avec …...
La suite r0, r1,...est constituée d'..., et strictement …...…
donc …...
Soit n0 le rang pour lequel ...
On a rn
0+1=... et donc rn0 divise …...
D = PGCD(a,b) et d = PGCD(b,r0)
→ D ⩽d :
D divise …. et …. . Or r0=...donc D …...
Donc D divise le …...
Donc …...
→ d ⩽ D :
d divise …. et …. . Or a = …... donc d …...
Donc d divise le …...
Donc …...
Donc d … ....
De proche en proche, on a donc : PGCD (…...) =PGCD (…...)
Or rn
0 divise rn
0-1, donc PGCD(rn 0-1,rn
0)=...
Donc ...
Exemple n°2
Calculer le PGCD de -1368 et 1351.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2 : premiers entre eux
Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...
Exemple n°3
1368 et 1351 sont-ils premiers entre eux ?
...
...
...
...
Définition n°3 : PPCM
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
L'ensemble des multiples strictement positifs communs à a et à b admet un plus
petit élément m, ……….. On le note m=………..
Exemple n°4
Calculer PPCM(18;12).
...
...
...
...
.…
Calculer PPCM(24;40)
...
...
...
...
Propriété n°3
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
Si b divise a, alors PPCM(a,b)=....
Démonstration
Si b divise a, a est un …...
Et a est le plus petit multiple de ...
Donc PPCM(a,b)=…
FIN du cours n°1
Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Se Tester C3_1 (/
7)
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 - 2 - 3 : C3.a - Niv1 - Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)
Savoir n°4
Compléter :
a, b, a',b' et c sont des entiers relatifs.
p est un entiers naturel supérieur à 0.
n est un entiers naturel supérieur à 1.
1. Si a b [n] alors ac ….. [n].
2. Si a b [n] et b c [n] alors …….. ………... [n].
3. Si a b [n] et a' b' [n] alors a + a' …... [n].
4. Si a b [n] et a' b' [n] alors a – a' …... [n].
5. Si a b [n] et a' b' [n] alors a a' …... [n]
6. Si a b [n] alors an. …... [n]
Fin du savoir n°4
(Se Tester n°1) - Exercice n°1
[2]Calculer le PGCD de 76 et 57.
(Se Tester n°1) - Exercice n°2
[2]Calculer le PGCD de 238 et 238 .
(Se Tester n°1) - Exercice n°3
[2]195 et 255 . Sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
(Se Tester n°1) - Exercice n°4
1]Calculer
PPCM(15;9).Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Se Tester C3_1 (/7)
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 - 2 - 3 : C3.a - Niv1 - Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)
Savoir n°5
Compléter :
Soient trois matrices A, B et C de coefficients respectifs aij, bij et cij , et k un nombre réel, alors :
1. A + B =...
2. ( A+B ) + C = …...
3. k ( A + B ) = …...
4. ( k + k' ) A = …...
5. k ( k' A ) = …...
6. In × A = ………… = …..
7. On×A = ………… = …..
Fin du savoir n°5
(Se Tester n°1) - Exercice n°5
[2]Calculer le PGCD de 76 et 76.
(Se Tester n°1) - Exercice n°6
[2]Calculer le PGCD de 266 et 285.
(Se Tester n°1) - Exercice n°7
[2]238 et 169 . Sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
(Se Tester n°1) - Exercice n°8
1]Calculer
PPCM(18;20).Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 Interrogation n°1 :Objectif : C3.a - Niv1 - Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers.
Exercices du cours n°1
(Cours n°1) - Exercice n°9
Ex.23 et 24 p.62 Résultat :
ex23 : a. Non, b. Non, c. Oui, d. Non – ex24 : a. Non, b. Non, c. Oui, d. Oui.
(Cours n°1) - Exercice n°10
Ex.11 p.62 Résultat :
246 ; 6617
(Cours n°1) - Exercice n°11
2839 Ex.32 p.63Résultat :
a. (3;24),(6;21),(9;18),(12;15),(15;12),(18;9),(21;6) et (24;3) b. (5;10),(10,5) c. (16;12)
(Cours n°1) - Exercice n°12
Ex.97 p.67 Résultat :
(6;120), (24;30), (30;24) et (120;6)
FIN des exercices du cours n°1 Activité d’approche n°2
1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de a = 3456 et b = 5000, en écrivant les égalités successives.
2. En utilisant ces égalités, démontrer qu'il existe deux nombres u et v relatifs tels que au + bv = PGCD(a,b).
3. Déduire de ce qui précède une solution relative de l'équation ax + by = 24 Fin de l’activité d’approche n°2
Cours n°2 : Bezout
C3.b - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Bezout et ses corollaires.
Bezout est un mathématicien militaire, qui a publié de
nombreux ouvrages au XVIIème siècle.
Propriété n°1 : Égalité de Bezout
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls . Alors :
………
………...
Démonstration
Soit G l'ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme ma + nb.
G est une partie de N non vide : …...
G admet donc un plus petit élément d = au+bv. (cf axiome n°1)
→ PGCD(a,b) ⩽ d :
...
...
...
→ d ⩽ PGCD(a,b) : a = dq +r avec 0 ⩽ r < d.
Donc r = ... = …...= a(...)+b(...)
Donc r appartient à ….
Or r < d.
Donc r = ... Donc d …... a.
De même, d …... …. (même raisonnement) Donc d ….. PGCD(a,b).
Donc
→ d ….. PGCD(a,b).
Propriété n°2 : Théorème de Bezout
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration (R.O.C.)
→ Si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux, D=PGCD(a,b)=...
D'après l'égalité de Bezout ...
→ Si deux entiers naturels a et b sont tels qu'il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = 1.
PGCD(a,b) divise ….. et divise ….., donc PGCD(a,b) divise …...…
Donc PGCD(a,b) vaut … Exemple n°1
Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tels que 59x + 27y = 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...………..
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………...
Propriété n°3 : conséquence n°1 du théorème de Bezout
L'équation ax + by = k admet des solutions entières si, et seulement si, k est un
…...
Démonstration Si
→ k est un multiple de PGCD(a,b) : il existe k' tel que …...
D'après la propriété n°2, il existe .…...
…...
Choisissons x=…... et y = …... : ce sont alors des solutions de
...
...
Si
→ k n'est pas un multiple de PGCD(a,b) :
PGCD(a,b) divise a et b, donc divise ….... Ce qui est contradictoire.
Exemple n°2
L'équation 4x + 7y = 2 admet-elle une solution dans Z ?
...
...
L'équation 4x + 8y = 2 admet-elle une solution dans Z ?
...
...
Propriété n°4 : conséquence n°2 du théorème de Bezout Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d leur PGCD. 1) Soient a' = a
d et b' = b
d . Alors a' et b' …...
2) Réciproquement, s'il existe d tel que a' = a
d et b' = b
d soient …...
…..., alors d est
…...
Démonstration :
1) Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d leur PGCD.
La propriété n°1 donne : il existe u et v tels que :...
En divisant chaque membre par d : ...
Donc, d'après la propriété n°2 : ………...
...
...…
2) Supposons que a' et b' soient premiers entre eux.
→ d ⩽ PGCD (a,b) :
d …... a et …..., donc
…...
→ PGCD (a,b) ⩽ d :
a' et b' soient premiers entre eux, donc il existe …...
donc d = au+...
Mais PGCD(a,b) divise a et …..., donc ...
...
...
→ Donc d = …...
Exemple n°3
Soit n un entier naturel. Montrer que les nombres 3n + 5 et 5n + 8 seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur de n choisie.
...
...
Exemple n°4
Soit n un entier naturel. Montrer que la fraction6n –3
3n –2 est irréductible.
...
...
...
...
FIN du cours n°2
Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Se Tester C3_2
(Se Tester n°2) - Exercice n°13
Montrer que 255 et 169 sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tels que 255x + 3315y = 1.
(Se Tester n°2) - Exercice n°14
L'équation 102x + 52y = 2 admet-elle une solution dans Z ? Justifier.
(Se Tester n°2) - Exercice n°15
Soit n un entier naturel. Montrer que les nombres 6n+7 seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur de n choisie.
E
(Se Tester n°2) - Exercice n°16
Soit n un entier naturel. Montrer que la fraction 3n+4
2n+3 est irréductible.
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Se Tester C3_2
(Se Tester n°2) - Exercice n°17
Montrer que 238 et 169 sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tels que 238x + 3094y = 1.
(Se Tester n°2) - Exercice n°18
L'équation 136x + 78y = 4 admet-elle une solution dans Z ? Justifier.
(Se Tester n°2) - Exercice n°19
Soit n un entier naturel. Montrer que les nombres 3n+4 et 2n+3 seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur de n choisie.
E
(Se Tester n°2) - Exercice n°20
Soit n un entier naturel. Montrer que la fraction 3n+4
2n+3 est irréductible.
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2
Interrogation n° 2 :
Objectif : C3.b - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Bezout et ses corollaires.
Exercices du cours n°2
(Cours n°2) - Exercice n°21
Ex.33 et 34 p.63
Résultats :
Indications : Par tâtonnement...
(Cours n°2) - Exercice n°22
Démontrer que, pour tout entier relatif k, 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.
Résultats :
-2×...+7×...
(Cours n°2) - Exercice n°23
Prouver que la fraction n
2n+1 est irréductible pour tout entier naturel n. Résultats :
-2×.... +1×...
(Cours n°2) - Exercice n°24
Prouver que la fraction 2n+1
n(n+1) est irréductible pour tout entier naturel n. Résultats :
Prouver que 2n+1 est premier avec n, puis que 2n+1 est premier avec ….
(Cours n°2) - Exercice n°25
Déterminer , en justifiant par des calculs, un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que :
221x – 331y = 1
Résultats :
(3 ;-1)
FIN des exercices du cours n°2 Cours n°3 : Gauss
C3.c - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Gauss Propriété n°1 : Théorème de Gauss
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et c un entier relatif.
Si a divise bc et si a est premier avec b , alors …...
Démonstration (ROC)
a et b sont premiers entre eux, donc …...
Donc, acu + …... = … a divise acu.
a divise …...., donc a divise …...
Donc a divise ….
Propriété n°2 : Conséquence n°1 du théorème de Gausss Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et p un nombre premier.
Si p divise ab, alors p divise …. ou …...
Démonstration
Si p ne divise pas a, a et p sont premiers entre eux. Donc …...
…...
...
ATTENTION :
Si p n'est pas premier, il y a des cas où p divise le produit tout en ne
divisant pas chaque facteur : p=21, a = 9 et b = 49 : ab = 441 qui est divisible par 21.
Propriété n°3 : conséquence n°2 du théorème de Gauss
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, et c un entier relatif.
Si c est divisible par a et b, alors c est …... ab. Conséquence :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls quelconques, et c un entier relatif. Dans
ℤ, l’équation ax + by = c n’admet de solution que si PGCD(a,b)
……….
Démonstration
a et b sont premiers entre eux, donc …...
Donc, acu + …... = …
a divise c, donc il existe k tel que …...
b …...
Donc acu + …... peut s'écrire : …...
Comme ab divise …... et …..., ab divise c. Exemple n°1
L'équation 4x + 7y = 2 admet-elle une solution dans Z ?
...
..
L'équation 4x + 8y = 2 admet-elle une solution dans Z ?
...
...
Propriété n°4 : conséquence n°3 du théorème de Gauss Soient a,b,c et d quatre entiers relatifs non nuls.
On suppose que ab=cd.
Si a et c sont premiers entre eux, alors a divise ... et c divise ….. Démonstration :
Puisque ab=cd, a divise …. (le résultat donne … ) Comme a est premier avec c, a
divise …. (théorème de Gauss) Exemple n°2
Soit A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2). Montrer que A est divisible par 10.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Résoudre l'équation 17x – 33y = 1.
1. On vérifie que cette équation a des solutions :
………
………
………
………
………...
2. On cherche une solution particulière (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°1 du cours n°2) :
...
...
...
...
...
...
...…
3. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre :
...
...
...
...
...…
4. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique la propriété n°4 :
...
...
...
...
...…
5. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z :
...
...
...
...
...
...
...…
Exemple n°4
Résoudre l'équation 15x + 8y = 5.
1. On vérifie que cette équation a des solutions :
………
………
………
………...
2. On cherche une solution particulière à l'équation 15x + 8y = 1, et on multiplie cette solution pour trouver une solution particulière de départ :
...
...
...
...
...
...
...
3. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre :
...
...
...
...
...…
4. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique la propriété n°4 :
...
...
...
...
...
5. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z :
...
...
...
...
...
...
...…
Exemple n°5
Résoudre l'équation 100x –196y=2
On vérifie que cette équation a des solutions :
………
………
………
………...
Exemple n°6
Résoudre l'équation 30x –63y=−99
1. On vérifie que cette équation a des solutions :
………
………
………
………...
2. On divise chaque membre de l’équation jusqu’à ce que ce ne soit plus possible :
………
………
………
………
2. On applique la méthode précédente :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°7
Application : dans une loterie, seulement deux possibilités existent : certaines personnes gagnent 30 euros et d’autres perdent 63 euros. Au total, il y a 93
participants. Combien de personnes perdent de l’argent ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
FIN du cours n°3
Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : Se Tester C3_3
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 - 2 - 3 : C3.c - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Gauss.
Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)
Savoir n°5
Compléter :
Soient trois matrices A, B et C de coefficients respectifs aij, bij et cij , et k un nombre réel, alors :
1. A + B =...
2. ( A+B ) + C = …...
3. k ( A + B ) = …...
4. ( k + k' ) A = …...
5. k ( k' A ) = …...
6. In × A = ………… = …..
7. On×A = ………… = …..
Fin du savoir n°5
(Se Tester n°3) - Exercice n°26
Soit A=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4). Montrer que A est divisible par 14.
(Se Tester n°3) - Exercice n°27
Résoudre l'équation 60x –126y=2
(Se Tester n°3) - Exercice n°28
Résoudre l'équation 16x –36y=−160
(Se Tester n°3) - Exercice n°29
Dans une loterie seulement deux possibilités existent : certaines personnes gagnent 16 euros et d’autres perdent 36 euros. Au total, il y a 68 participants.
Combien de personnes perdent de l’argent ?
Résultats et indices 1er ex : Réponse donnée.
2ème ex : Pas de solution.
3ème ex : S=(8k+16;8k+36), k∈ℤ
4ème ex : 44
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : Se Tester C3_3
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 - 2 - 3 : C3.c - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Gauss.
Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)
Savoir n°6
Compléter :
Soit A une matrice de dimension n×p
(
aaa...n11211 aaa...1222n2 ............ aaa...12nppp)
et B(
bbb...1121p1 bbb...1222p2 ............ bbb...1q2qpq)
une matrice de dimensions p×q.
Les coefficients cij de la matrice produit AB sont définis par :
...
Fin du savoir n°6
(Se Tester n°3) - Exercice n°30
Soit A=(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3). Montrer que A est divisible par 14.
(Se Tester n°3) - Exercice n°31
Résoudre l'équation 100x –84y=2
(Se Tester n°3) - Exercice n°32
Résoudre l'équation 12x –27 y=−45
(Se Tester n°3) - Exercice n°33
Dans une loterie seulement deux possibilités existent : certaines personnes gagnent 12 euros et d’autres perdent 27 euros. Au total, il y a 45 participants.
Combien de personnes perdent de l’argent ?
Résultats et indices 1er ex : Réponse donnée.
2ème ex : Pas de solution.
3ème ex : S=(3k+12;3k+27), k∈ℤ
4ème ex : 30
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3
Interrogation n° 3 :
Objectif : C3.c - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Gauss
(Cours n°3) - Exercice n°34
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les couples d'entiers relatifs (a,b) qui vérifient : 33a –45b = 0.
Résultats :
Indications : 11a=15b et th. de Gauss.
(Cours n°3) - Exercice n°35
Ex.36 p.63 Résultats :
(5 ;-8), et (5+13k,-8-21k)
(Cours n°3) - Exercice n°36
Ex.37 p.63 Résultats :
(9 ;-3), et (9+5k,-3-2k)
(Cours n°3) - Exercice n°37
Ex.93 p.66 Résultats :
1. n doit être un multiple de 5 2. x=1+4k et y=8-k
(Cours n°3) - Exercice n°38
Ex.89 p.66 Résultats :
1.(1;2) et (5;9) ; (1;0) et (4;6) 2. (1+4k;2+7k) 3. (4+k';6+2k') 4. (2;5) 5. (9;16)
(Cours n°3) - Exercice n°39
Sujet A p.73 Résultats :
P.A.1.11×(-7)-26×(-3)=1 2. (19;8) P.B.1. W devient Q 2.a.x=19 2.b. y=11x+8(26) et
19y=x+22(26) … W devient G.
(Cours n°3) - Exercice n°40
Sujet C p.73 Résultats :
P.B. 1.a. (-2;1) 1.b. x = -2 + 47k et y = 1 – 23k avec k entier. 1.c. 23x = 1 – 47y, 23x ≡ 1 [47], 1 ⩽ x ⩽ 46 , 1 ⩽-2 + 47k ⩽ 46, donc k=1 et x=45. 3.b. p=1 et p=46.
FIN des exercices du cours n°2 Cours n°4 : Fermat
C3.d - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Fermat
Propriété n°1 (Relations entre PPCM et PGCD) (admis)
Soient a et b deux entiers naturels.
1) On a : ab = …... × …...
2) Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a,b)=...
Exemple n°1
Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b tels que ab=6480 et
PPCM(a,b)=540.
1. On calcule le pgcd de a et b :
...
...
...
2. On en déduit le produit a'b' des quotients de a par le PGCD et de b par le
PGCD :
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3. On regarde toutes les possibilités d'entiers pour a' et b' et on en déduit toutes les possibilités pour a et b :
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Propriété n°2 (Petit théorème de Fermat) (admis)
Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors
a p-1 – 1 est divisible par p.
Propriété n°3 : Conséquence du petit théorème de Fermat Si p est un nombre premier et a un entier naturel, alors ap a (p)
Démonstration
Si a=0, …...
Sinon : a p – a = a ( …...). Donc …... divise a p – a.
→ Si a n'est pas un multiple de p : on applique le petit théorème de Fermat :
…...
Par transitivité, p divise …... et donc ap …. (p).
→ Si a est un multiple de p : p divise …. et a divise …...
Par transitivité, p divise …... et donc ap …. (p).
Exemple n°2
Montrer que n13 – n est divisible par 39.
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FIN du cours n°4
Premier ‘Se tester’ du cours n°4 : Se Tester C3_4
Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)
Savoir n°6
Compléter :
Soit A une matrice de dimension n×p
(
aaa...n11211 aaa...1222n2 ............ aaa...12nppp)
et B(
bbb...1121p1 bbb...1222p2 ............ bbb...1q2qpq)
une matrice de dimensions p×q.
Les coefficients cij de la matrice produit AB sont définis par :
...
Fin du savoir n°6
(Se Tester n°4) - Exercice n°41
Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b tels que ab=30240 et
PPCM (a ,b)=2520.
(Se Tester n°4) - Exercice n°42
n7– n est-il toujours divisible par 21 ?Résultats et indices 1
er ex: Indication : rechercher tous les couples d’entiers dont le produit vaut 210, puis multiplier les résultats par 12
2ème ex : oui.Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°4
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4 : Se Tester C3_4
Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)
Savoir n°6
Compléter :
Soit A une matrice de dimension n×p
(
aaa...n11211 aaa...1222n2 ............ aaa...12nppp)
et B(
bbb...1121p1 bbb...1222p2 ............ bbb...1q2qpq)
une matrice de dimensions p×q.
Les coefficients cij de la matrice produit AB sont définis par :
...
Fin du savoir n°6
(Se Tester n°4) - Exercice n°43
Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b tels que ab=7056 et PPCM (a ,b)=1176.
(Se Tester n°4) - Exercice n°44
n7– n est-il toujours divisible par 21 ?Résultats et indices 1
er ex: Indication : rechercher tous les couples d’entiers dont le produit vaut 196, puis multiplier les résultats par 6
2ème ex : oui.Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4
Interrogation n° 4 :
Objectif : C3.d - Niv1 - Savoir utiliser le théorème de Fermat
(Cours n°4) - Exercice n°45
Ex.47 p.63 Résultats :
PGCD(x;y)=5 ; (5;130),(10;65),(130,5) et (65;10)
(Cours n°4) - Exercice n°46
Ex.50 et 51 p.63 Résultats :
Ex50 : 2. n ne doit pas être divisible par 307. Ex51 : 1. n non divisible par 11. 2. non divisible par 7 3. non divisible par 11 et non divisible par 7.
(Cours n°4) - Exercice n°47
Ex.107 p.68 Résultats :
Utiliser la propriété n°3 du cours n°4
(Cours n°4) - Exercice n°48
Ex.112 p.68 Résultats :
Z (Soit A=x5 – x. 2 est premier, donc x2≡x[2] … x5≡x[2], donc A est... De même, prouver que A est divisible par 3 et 5 et en déduire que A est divisible par...)
Dans les exercices suivants, à chaque lettre de l'alphabet, on associe son ordre dans l'alphabet, en commençant par 0 : A 0, B 1, etc.→ →
(Cours n°4) - Exercice n°49
On associe au n° d'ordre x un nombre y tel que y ax + b (26).
Partie A
On choisit a = 2 et b=7.
1. Montrer que le chiffrement de MATH donne FHTV.
2. Chiffrer le mot BOLIDE.
3. On veut trouver une méthode pour déchiffrer. Montrer qu'il y a un problème.
Partie B
1. Montrer que, avoir un chiffrement affine fonctionnel ou non revient à étudier la divisibilité du produit a(x – x') par 26, x et x' étant les n° d'ordre de deux lettres distinctes.
2. Quelle condition faut-il sur a pour que x – x' soit divisible par 26 ? Justifier.
3. Proposer un chiffrement efficace et un exemple de déchiffrement.
Résultats :
2. JJDXNP Partie B.2.a doit être premier avec 26.
(Cours n°4) - Exercice n°50 le chiffrement à clé publique.
Problème n°6 p.51
Résultats :
3.a. clef publique : (369;58) – clef privé : 70. 3.d.116-0-111-116 et 3.e. OK.
