E2 – Etude de fonction
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ETUDE DE FONCTION 1
1) Soit la fonction définie sur 0; +∞ par : = 1 +. Calculer ′ .
2) Soit la fonction définie et dérivable sur 0; +∞. On note ′ la dérivée de . On sait que 2 = 1 et pour tout réel > 0, = .
Donner le tableau de variation de la fonction .
3) On considère la fonction définie sur 0 ; +∞ par =
On admet que est dérivable sur 0 ; +∞ et on note ′ la dérivée de la fonction . a) Calculer 1
b) Calculer
c) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. La tracer sur le graphique
Correction
1) Soit la fonction définie sur ; +∞ par : = +. Calculer ′.
= − 1 ²
2) Soit " la fonction définie et dérivable sur ; +∞. On note "′ la dérivée de ". On sait que "# = et pour tout réel > , " = .
Donner le tableau de variation de la fonction ".
A partir du tableau de signe de ′ , on obtiendra le sens de variation de . Etude du signe de la dérivée ′
= − 1 − 1 = 0⇔ = 1 ≠ 0
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2
Tableau de variations de
0 1 +∞
′ - +
3) On considère la fonction & définie sur ; +∞ par & = "
On admet que & est dérivable sur ; +∞ et on note &′ la dérivée de la fonction &.
a) Calculer &
1 = 1 Or 1 = 1 + = 2 D’où
1 = 1 = 2 = 1
b) Calculer &
= × = (− 1
)* × + 1
1 + 1 , = (− 1
)* × + 1
+ 1, = (− 1
)* ×1
× + 1 = −1 ² + 1
c) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe -& au point d’abscisse 1. La tracer sur le graphique
.: 0 = 1 − 1 + 1 1 = −1
1²1 + 1 =−1 2 1 = 1
.: 0 =−1
2 − 1 + 1 = −1 2 +3
2
+∞ +∞
Pour tracer ., faire un tableau de valeurs :
0 1 0 3
2 1
