E3 – Etude de fonction
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Etude de fonction 1
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
Soit 𝑔 la fonction défibnie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 − 3 1. Calculer lim
𝑥→−∞𝑔(𝑥) et lim
𝑥→+∞𝑔(𝑥)
2. Etudier les variations de 𝑔 puis dresser son tableau de variation.
3. Démontrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution sur ℝ. On notera 𝛼 cette solution. Déterminer un encadrement de 𝛼 d’amplitude 0,1.
4. Dresser le tableau de signes de 𝑔 sur ℝ
Partie B : étude d’une fonction 𝒇
On désigne par 𝑓 la fonction définie sur ℝ \ {−1; 1}, par 𝑓(𝑥) =2𝑥3+3
𝑥²−1
On note 𝐶𝑓 la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ⃗ ; 𝑗 ⃗⃗ ) (unité : 1 cm).
1. Calculer les limites de 𝑓 aux bornes de son domaine de définition. On donnera une interprétation graphique quand cela est possible.
2. Calculer la fonction dérivée, 𝑓′(𝑥), de 𝑓 sur ℝ \ {−1; 1} et montrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ \ {−1; 1}, 𝑓′(𝑥) =2𝑥×𝑔(𝑥)
(𝑥2−1)²
3. Etablir le tableau de signe de 𝑓′(𝑥), sur ℝ \ {−1; 1}. En déduire le sens de variation de la fonction 𝑓 puis construire son tableau de variation.
4. Construire la courbe 𝐶𝑓 et les asymptotes éventuelles.
Partie C : seuil au voisinage de +∞
1. Reproduire et compléter le tableau suivant à l’aide des valeurs 𝑢 et 𝑚 calculées par l’algorithme ci-contre
Etape 1 Etape 2 …
𝑢 2 …
𝑚 (à 10−1 𝑝𝑟è𝑠) 6,3 …
2. Que représente la valeur affichée ?
Variables : 𝑢 et 𝑚 sont des réels Initialisation : 𝑢 prend la valeur 2
𝑚 prend la valeur de 𝑓(𝑢) Traitement : Tant que 𝑚 ≤ 20 Faire
𝑢 prend la valeur de 𝑢 + 1 𝑚 prend la valeur de 𝑓(𝑢) Fin Tant que
Sortie : Afficher la valeur de 𝑢
