La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien

I L A FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Nous savons, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, que l’équation e^x = k admet une unique solution réelle, lorsque k est un réel strictement positif.

Cette solution se note lnk et s’appelle le logarithme népérien dek.

Définition

La fonction qui a tout réel k strictement positif associe l’unique solution de l’équation e^x = k est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln.

Cette fonctionln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

II C ONSÉQUENCES IMMÉDIATES DE LA DÉFINITION

Propriété

• La fonctionln est définie sur ]0 ; +∞[.

• ln 1 = 0et lne= 1.

• Pour tout réel x strictement positif :e^lnx =x.

• Pour tout réel x :lne^x =x.

• Pour tout réel a et tout réelb strictement positif :e^a =b ⇐⇒ a= lnb

Démonstration.

• Dans la définition k est un réel strictement positif.

• 0 est l’unique solution de l’équatione^x = 1, cette unique solution étant notéeln 1, on a donc : ln 1 = 0.

1 est l’unique solution de l’équatione^x =e, cette unique solution étant notée lne, on a donc : lne= 1.

• lnxest par définition l’unique solution de l’équation (d’inconnue X) e^X =x.

• lne^x est par définition l’unique solution de l’équation (d’inconnueX) e^X =e^x, comme x est aussi solution de cette équation on a bien par unicité de la solution lne^x =x.

• Si e^a =b, comme lnb est l’unique solution de l’équation e^x=b et que a est aussi solution de cette équation, on a : a= lnb.

Réciproquement, si a= lnb alors :e^a =e^lnb =b.

III P ROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Propriété

Pour tous réels a etb strictement positifs et tout entiern :

• ln (ab) = lna+ lnb;

• ln (^a_b) = lna−lnb;

• ln (¹_b) =−lnb;

• ln (aⁿ) =nlna;

• ln√

a = ¹₂lna.

Démonstration.

• Pour le produit :

on a d’une part e^{ln (ab)} =ab et d’autre part e^lna+lnb =e^lna×e^lnb =ab.

D’où :e^{ln (ab)} =e^lna+lnb et doncln (ab) = lna+ lnb.

• Pour le quotient : ln (^a_b) + lnb= ln (^a_bb) = lna, d’oùln (^a_b) = lna−lnb.

• Pour l’inverse : ln (¹_b) = ln 1−lnb=−lnb;

• Pour la puissance :

on a d’une part e^{ln (an)} =aⁿ et d’autre part e^nlna = (e^lna)ⁿ=aⁿ. D’où :e^{ln (an)}=e^nlna et doncln (aⁿ) =nlna.

• Pour la racine carrée : lna= ln (√

a²) = 2 ln√

a, d’où le résultat.

IV E TUDE DE LA FONCTION ln

IV.1 Continuité

Propriété (admise)

La fonctionln est continue sur ]0 ; +∞[.

IV.2 Dérivée

Propriété

La fonctionln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout x∈]0 ; +∞[: ln^′x= _x¹.

La dérivablité de la fonction lnest admise.

On noteh la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x) =e^lnx. On a : h=f ◦g, avec f(x) = e^x etg(x) = lnx.

La fonction f = ln étant dérivable sur ]0 ; +∞[ et f = exp étant dérivable sur R, h = g ◦f est dérivable sur ]0 ; +∞[.

Démonstration.

Et donc : h^′(x) = ln^′(x)×e^lnx. Or : e^lnx =x, donc h^′(x) = ln^′(x)×x.

Comme on a aussih(x) =x, on obtient également h^′(x) = 1.

Ainsi : 1 = ln^′(x)×x ⇐⇒ ln^′(x) = 1 x.

IV.3 Sens de variation et convexité

Propriété

La fonctionln est strictement croissante sur]0 ; +∞[.

La fonctionln est concave sur]0 ; +∞[.

Démonstration.

La fonction f = ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout x ∈]0 ; +∞[ : f^′(x) = ¹_x. Donc ln a une dérivée strictement positive sur ]0 ; +∞[, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

De plus comme f^′ est décroissante sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est concave sur]0 ; +∞[.

Conséquences :

• Pour tous réels a et b strictement positifs : a < b ⇐⇒ lna <lnb et a=b ⇐⇒ lna= lnb.

• En particulier : 0< x < 1 ⇐⇒ lnx <0.

IV.4 Limites

Propriété

xlim→0⁺lnx=−∞ et lim

x→+∞lnx= +∞

Démonstration.

• Pour la limité en +∞ : (on applique la définition de lim

x→+∞f(x) = +∞) On considère un réel A quelconque.

Il s’agit de prouver qu’il existe un réel mA tel que pour toutx>mA : lnx>A.

Considérons la suite(un)définie parun= ln (2ⁿ). Commeln (2ⁿ) =nln 2, il s’agit d’une suite arithmétique de raisonln 2. Orln 2est strictement positif, donc cette suite a pour limite+∞. Ainsi il existe un entier naturelnA, tel que unA >A.

On pose alors mA = 2^nA. Ainsi on a : x > mA ⇐⇒ x > 2^nA et lnx > ln (2^nA) puisque la fonction lnest croissante. Donc lnx>unA, puis lnx>A.

• pour la limite en 0⁺ :

Pour tout réel x∈]0 ; +∞[: lnx=−ln

1

x

. Or lim

x→0⁺

1

x = +∞ et lim

x→+∞lnx= +∞, donc par composition : lim

x→0⁺ln

1

x

= +∞. D’où : lim

x→0⁺lnx=−∞.

IV.5 Tableau de variation, tableau de signe et courbe représentative

x

Signe de ln^′(x) = ¹_x

Variation deln

Signe de lnx

0 1 +∞

+ +

−∞

−∞

+∞ +∞

− 0 +

Pour la courbe réprésentative de la fonction ln une tangente est particulièrement intéressante, celle au point d’abscisse 1.

Dans le repère orthonormal (O;~ı, ~) cette tangente(T) a pour équation réduite : y=x−1.

En effet, ln étant dérivable en 1, l’équation réduite de (T)est donnée par : y= ln^′(1)(x−1) + ln(1).

Or ln^′(1) = 1.

A noter aussi que la courbe réprésentative de la fonction ln admet l’axe des ordonnées pour asymptote verticale puisque lim

x→0⁺lnx=−∞.

Les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symé- triques par rapport à la droite d’équation y=x.

~ı x

~

O

y=e^x

(T)

y = lnx

e

V C ROISSANCES COMPARÉES

Propriété

Pour tout entier natureln non nul :

x→+∞lim lnx

xⁿ = 0 et lim

x→0⁺xⁿlnx= 0

Pour lim

x→+∞

lnx x = 0 :

On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par : f(x) = lnx−√ x.

Cette fonctionf est dérivable sur ]0; +∞[comme différence de la fonction lnet de la fonction racine carrée toutes deux dérivables sur ]0; +∞[.

Et f^′(x) = _x¹ − ₂^√1x = ²⁻₂^√_x^x. Doncf^′(x)est du signe de 2−√

x, c’est à dire strictement positif sur ]0; 4[ et strictement négatif sur ]4; +∞[. Ainsi f présente un maximum en 4.

Or f(4) = ln 4 −2 = 2 ln 2 −2 = 2(ln 2 −1) et ln 2 < 1, puisque 2 < e et ln étant croissante ln 2<lne ⇐⇒ ln 2<1.

Ainsi f admet un maximum négatif, doncf(x)<0 pour toutx ∈]0; +∞[.

On obtient donc pour tout x∈]0; +∞[: lnx−√

x <0 ⇐⇒ lnx <√

x ⇐⇒ lnx x <

√x

x ⇐⇒ lnx x < 1

√x

On peut donc écrire pour tout x∈[1; +∞[ :06 ^ln_x^x < ^√1_x. Or lim

x→+∞

√1

x = 0, donc d’après le théorème des gendarmes lim

x→+∞

lnx x = 0.

Démonstration.

Démonstration.

• Pour lim

x→+∞

lnx

xⁿ = 0, où n>2 : pour tout réel x∈]0; +∞[: lnx

xⁿ = lnx

x×xⁿ⁻¹ = lnx

x × 1

xⁿ⁻¹. On a : lim

x→+∞

lnx

x = 0 et lim

x→+∞

1

xⁿ⁻¹ = 0, donc par produit : lim

x→+∞

lnx xⁿ = 0.

• Pour lim

x→0⁺xⁿlnx= 0, où n >1 : pour tout réel x∈]0; +∞[: xⁿlnx= 1

1 xⁿ

×

−ln

1

x

=−ln ¹_x

1 x

ⁿ . Or lim

x→0⁺

1

x = +∞ et lim

x→+∞

lnx

xⁿ = 0, donc par composition : lim

x→0⁺

ln _x¹

1 xⁿ

= 0.

D’où : lim

x→0⁺xⁿlnx= 0.

VI D ^{ÉRIVÉE DE} ln u

Propriété

Si u est une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction lnuest aussi définie et dérivable sur I et(lnu)^′ = u^′

u.

Démonstration.

On applique la dérivée de g◦f avec : f =uet g = ln.

On a alors : f^′ =u^′ et g^′(x) = 1 x. Ainsi : g^′◦f = 1

f.

Et donc : (e^u)^′ = (g◦f)^′ =f^′×g^′◦f =u^′× 1 u = u^′

u.

Table des matières

I La fonction logarithme népérien . . . 1

II Conséquences immédiates de la définition . . . 1

III Propriétés algébriques . . . 2

IV Etude de la fonction ln . . . 2

IV.1 Continuité . . . 2

IV.2 Dérivée . . . 2

IV.3 Sens de variation et convexité . . . 3

IV.4 Limites . . . 3

IV.5 Tableau de variation, tableau de signe et courbe représentative . . . 4

V Croissances comparées . . . 5

VI Les fonctions lnu . . . 6

VII Dérivée de lnu . . . 6